lista1_2011

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Universidade Federal de Pernambuco
Lista de exerc´ıcios de A´lg. Linear - 2011.1
CCEN - Depto Matema´tica - A´rea II
Questa˜o 1. Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares:

3x− 5y = 1
2x+ z = 3
5x+ y − z = 0
a) Escreva o sistema acima na forma de uma equac¸a˜o matricial e exiba a
matriz ampliada (associada) do sistema;
b) Reduza a matriz ampliada a` sua forma escada reduzida por linhas. De-
termine o posto da matriz ampliada, e o posto e a nulidade da matriz de
coeficientes.
c) Escreva o sistema de equac¸o˜es lineares correspondente a` matriz obtida no
item anterior e resolva este sistema.
Questa˜o 2. Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a
para os quais o sistema na˜o tem soluc¸a˜o, tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas
soluc¸o˜es.
a)

x+ 2y + 3z = 4
3x+ y + 5z = 2
4x+ y + (a2 − 14)z = a+ 2
b)

x+ y + z = 2
2x+ 3y + 2z = 5
2x+ 3y + (a2 − 1)z = a+ 1
Questa˜o 3. Encontre as condic¸o˜es sobre os bi’s para que cada um dos sistemas
tenha soluc¸a˜o:
a)

x1 − 2x2 + 5x3 = b1
4x1 − 5x2 + 8x3 = b2
−3x1 + 3x2 − 3x3 = b3
b)

x1 − 2x2 − x3 = b1
−4x1 + 5x2 + 2x3 = b2
−4x1 + 7x2 + 4x3 = b3
Questa˜o 4. Considere um sistema linear cuja matriz ampliada A e´ da forma
Preprint submitted to Elsevier 31 de marc¸o de 2011
abaixo, onde a e b sa˜o nu´meros reais.
1 1 3 2
1 2 4 3
1 3 a b

a) Para que valores de a e b o sistema possui infinitas soluc¸o˜es?
b) Para que valores de a e b o sistema e´ incompat´ıvel?
Questa˜o 5. O benzeno l´ıquido queima na atmosfera. Se um objeto frio e´
colocado diretamente sobre o benzeno, havera´ condensac¸a˜o de a´gua no objeto
e tambe´m se formara´ um depo´sito de fuligem (carbono) sobre o objeto. A
reac¸a˜o qu´ımica para esta reac¸a˜o e´ da forma
x1C6H6 + x2O2 → x3C + x4H2O.
Determine valores de x1, x2, x3 e x4 para balancear a equac¸a˜o.
Questa˜o 6. Sejam A e B matrizes 3 × 3 com determinante detA = 4 e
detB = 6, e seja E uma matriz elementar obtida pela operac¸a˜o permutac¸a˜o
de linhas. Considere AT a matriz transposta de A. Determine:
a) det(1
2
A)
b) det(B−1AT )
c) det(EA2)
Questa˜o 7. Dizemos que uma matriz e´ singular quando na˜o e´ invers´ıvel,
e na˜o singular se e´ invers´ıvel. Usando as propriedades de determinantes,
responda:
a) Se A e´ uma matriz na˜o singular n × n, mostre que ATA e´ na˜o singular e
det(ATA) > 0.
b) Seja A uma matriz n× n. Mostre que se B = S−1AS para alguma matriz
na˜o singular S, enta˜o det(B) = det(A).
c) Sejam A e B matrizes n × n e seja C = AB. Mostre que se A ou B e´
singular, enta˜o C deve ser singular.
Questa˜o 8. Calcule a matriz inversa, se existir, de dada matriz abaixo:
a)

1 2 3
1 1 2
0 1 2
 b)

2 1 0 0
1 0 −1 1
0 1 1 1
−1 0 0 3

c)

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1

d)

1 0 x
1 1 x2
2 2 x2
,
x 6= 0.
2
Questa˜o 9. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V com as operac¸o˜es
indicadas e´ um espac¸o vetorial sobre R, justifique.
a) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) e α(x1, y1) = (αx1, αy1).
b) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e α(x1, y1) = (αx1, yα1 ).
(OBS.:Caso na˜o sejam especificadas, as operac¸o˜es sa˜o as usuais.)
Questa˜o 10. Verifique se em cada um dos itens o subconjunto W e´ subespac¸o
vetorial do espac¸o V .
a) V = R4; W = {(x, x, y, y);x, y ∈ R}.
b) V = Pn(R); W = {p ∈ Pn(R); p′(t0) = 0}, para um t0 ∈ R fixado.
c) V = Mn×n(R); W = {A ∈Mn×n(R);AT = A}.
Questa˜o 11. Responda justificando:
a) R3 = [(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)]?
Considere nas letras b) e c):
v1 =

−1
2
3
, v2 =

3
4
2
, u =

2
6
6
 e w =

−9
−2
5
.
b) u ∈ [v1, v2]?
c) w ∈ [v1, v2]?
d) P3(R) = [x+ 2, x+ 1, x2 − 1]?
Questa˜o 12. Seja C = {x1, · · · , xk} um conjunto gerador para o espac¸o ve-
torial V , V = [x1, · · · , xk].
a) Se adicionarmos outro vetor xk+1 ∈ V ao conjunto C, ainda teremos um
conjunto gerador de V ? Explique.
b) Se retirarmos um vetor de C, digamos xk, ainda sera´ gerador? Explique.
Questa˜o 13. Determine se sa˜o conjuntos linearmente independentes em V :
a) {x+ 2, x− 1, x2 − 1} em P2(R).
b)

 1 −1
2 0
 ,
 3 −1
5 2
 ,
−3 −1
−4 −4
 ,
 2 −1
0 −1

 em V = M2×2(R).
Questa˜o 14. Seja C = {x1, · · · , xn} um conjunto linearmente independente
de V espac¸o vetorial.
a) Se adicionarmos outro vetor xk+1 ∈ V ao conjunto C, ainda teremos um
conjunto linearmente independente em V ? Explique.
3
b) Se retirarmos um vetor de C, digamos xk, ainda sera´ linearmente indepen-
dente? Explique.
Questa˜o 15. Justifique porque, independente do espac¸o vetorial V , sa˜o ver-
dadeiras as afirmac¸o˜es:
a) Qualquer conjunto finito de vetores que contenha o vetor nulo deve ser
linearmente dependente.
b) Se acrescentarmos qualquer vetor a um conjunto gerador de V , este con-
junto torna-se linearmente dependente.
c) Se retirarmos qualquer vetor de um conjunto linearmente independente de
V , este conjunto na˜o pode ser gerador de V .
Questa˜o 16. Determine uma base e a dimensa˜o dos espac¸os vetoriais seguintes:
a) U = {(a+ b, a− b+ 2c, b, c); a, b e c ∈ R}
b) W = {p ∈ P3(R); p(x) = ax2 + bx+ 2a+ 3b; a, b ∈ R}
c) S = [x, x− 1, x2 + 1, x2 − 1]
Questa˜o 17. Em cada item abaixo, determine uma base o subespac¸o U+W e
outra para o subespac¸o U ∩W , onde U e W sa˜o subespac¸os do espac¸o vetorial
V indicado.
a) V = R4;
U = {(x, y, z, t) ∈ R4; x− y + z = 0 e y + z = 0} e
W = {(x, y, z, t) ∈ R4; 2x+ y + 2z − 3t = 0}.
b) V = Mn×n(R);
U =

 a b
c d
 / a− 2b = 0
 e W =

 0 e
0 f
 / e, f ∈ R
 .
c) V = P3(R); U = {p ∈ P3(R); p′′(t) = 0} e W = {q ∈ P3(R); q′(t) = 0}.
Questa˜o 18. Sejam W e U os subespac¸os de R4 definidos abaixo:
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x+ y + 2t = 0 e z − 3t = 0} e
U = [(0, 1, 2, 1), (1,−1, 7, 3)].
a) Calcule uma base e a dimensa˜o de W .
b) Calcule uma base e a dimensa˜o de W ∩ U .
Obs.: Justifique para cada base (nas letras a e b) porque seus vetores sa˜o
de fato linearmente independentes (LI).
c) Verifique que W + U 6= R4 (na˜o e´ preciso calcular W + U).
Questa˜o 19. Seja V = P2 = {a0 + a1x+ a2x2 | ai ∈ R, i = 1, 2, 3}. Dadas as
bases: α = {1− x2, 1− x, 1 + x+ x2} e β = {1 + x, x+ x2, 1 + x2}.
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Seja v ∈ V o polinoˆmio tal que [v]α =

3
1
2

a) Determine o polinoˆmio v.
b) Calcule a matriz mudanc¸a de base apropriada para encontrar as coorde-
nadas [v]β a partir das coordenadas [v]α. A seguir calcule as coordenadas
[v]β usando esta matriz.
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