02_regioes

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Descrevendo Regio˜es no Plano Cartesiano
e no Espac¸o Euclidiano
Americo Cunha
De´bora Mondaini
Ricardo Sa´ Earp
Departamento de Matema´tica
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro
1 Regio˜es no Plano
Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio˜es como unio˜es de regio˜es, onde
cada uma destas sera´ descrita em um dos dois formatos padro˜es:
“Tipo I”: R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ a ≤ x ≤ b e f(x) ≤ y ≤ g(x)} ,
ou
“Tipo II”: R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ c ≤ y ≤ d e h(y) ≤ x ≤ j(y)} ,
explicitando o intervalo [a, b] ou [c, d] e as func¸o˜es f e g ou h e j.
Exemplo 1.1 Considere a regia˜o do plano definida por
R1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x2 ≤ y ≤ 1− x2} .
Para descrever R1 como uma regia˜o de “Tipo I”, tomaremos f(x) = x
2 e g(x) =
1−x2. Os gra´ficos dessas func¸o˜es se intersectam nos pontos do plano cujas abscissas
satisfazem a equac¸a˜o x2 = 1− x2, i.e., x =
√
2
2
ou x = −
√
2
2
. Assim, temos que
R1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
e x2 ≤ y ≤ 1− x2
}
.
Um esboc¸o da regia˜o R1 pode ser visto na Figura 1.
A fronteira de R1 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = 1− x2 e − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
}
,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = x2 e − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
}
.
1
−
√
2
2
√
2
2
1
2
1
x
y
Figura 1: Esboc¸o da regia˜o R1.
Vamos agora descrever R1 como uma regia˜o de “Tipo II”. Para isso, sera´ neces-
sa´rio escrever as curvas de sua fronteira atrave´s de equac¸o˜es da forma x = h(y):
y = x2 ⇔ x = ±√y
y = 1− x2 ⇔ x = ±
√
1− y .
Devemos dividir R1 em duas sub-regio˜es para poder descreveˆ-la no formato de-
sejado, como indicado na Figura 2.
x
y
R′′1
R′1
Figura 2: Divisa˜o horizontal da regia˜o R1.
Enta˜o R1 = R
′
1 ∪R′′1, onde
R′1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ y ≤ 1
2
e −√y ≤ x ≤ √y
}
,
R′′1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1
2
≤ y ≤ 1 e −
√
1− y ≤ x ≤
√
1− y
}
.
Exemplo 1.2 Agora vejamos a regia˜o
R2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ |x| ≤ y ≤ 1− x2} .
Observe que a regia˜o R2 esta´ definida por duas inequac¸o˜es. Nessas inequac¸o˜es, a
varia´vel y e´ limitada inferiormente por |x| e superiormente por 1− x2. Assim, para
descreveˆ-la como uma regia˜o de “Tipo I”, tomaremos f(x) = |x| e g(x) = 1−x2. Os
limites do intervalo [a, b] sa˜o determinados pelas abscissas dos pontos de intersec¸a˜o
das curvas y = |x| e y = 1− x2, i.e., pelos valores de x que satisfazem |x| = 1− x2.
2
Se x ≥ 0, a u´ltima equac¸a˜o equivale a x2+x−1 = 0, a qual possui duas soluc¸o˜es:
x1 =
√
5− 1
2
e x2 =
−√5− 1
2
.
Sendo x na˜o negativo, a u´nica soluc¸a˜o va´lida e´ x1.
Se x < 0, a equac¸a˜o de interesse se torna x2 − x− 1 = 0, cujas soluc¸o˜es sa˜o:
x3 =
1 +
√
5
2
e x4 =
1−√5
2
.
Como x e´ negativo, a u´nica soluc¸a˜o va´lida e´ x4.
Logo, a regia˜o R2 (esboc¸ada na Figura 3) pode ser escrita como
R2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1−√5
2
≤ x ≤
√
5− 1
2
e |x| ≤ y ≤ 1− x2
}
.
1−√5
2
√
5−1
2
1
x
y
Figura 3: Esboc¸o da regia˜o R2.
A fronteira de R2 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = 1− x2 e 1−√5
2
≤ x ≤
√
5− 1
2
}
,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = |x| e 1−√5
2
≤ x ≤
√
5− 1
2
}
.
Podemos ainda descrever a regia˜o R2 como uma regia˜o de “Tipo II”. Para isto,
e´ importante saber expressar sua fronteira atrave´s de equac¸o˜es do tipo x = h(y).
Observe que:
y = x ⇔ x = y
y = −x ⇔ x = −y
y = 1− x2 ⇔ x = ±
√
1− y .
Verifique que R2 = R
′
2 ∪R′′2 (Figura 4), onde
3
R′2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ y ≤ √5− 1
2
e − y ≤ x ≤ y
}
,
R′′2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ √5− 1
2
≤ y ≤ 1 e −
√
1− y ≤ x ≤
√
1− y
}
.
x
y
R′′2
R′2
Figura 4: Divisa˜o horizontal da regia˜o R2
Exemplo 1.3 Considere agora a seguinte regia˜o do plano:
R3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ y ≤ 1 e √1− y2 ≤ x ≤√2− y2} .
Observe que R3 ja´ esta´ descrita como uma regia˜o do “Tipo II” (pois y varia
entre duas constantes e x varia entre duas func¸o˜es de y). Um esboc¸o desta regia˜o e´
apresentado na Figura 5
1
−1
1
√
2
x
y
Figura 5: Esboc¸o da regia˜o R3.
A fronteira de R3 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = 1 e 0 ≤ x ≤ 1} ,
4
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = −1 e 0 ≤ x ≤ 1} ,
C3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = √1− y2 e − 1 ≤ y ≤ 1} ,
C4 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = √2− y2 e − 1 ≤ y ≤ 1} .
Para descrever R3 como uma regia˜o de “Tipo I”, vamos estudar sua fronteira
(lembrando que agora queremos expressa´-la atrave´s de equac¸o˜es da forma y = f(x)):
x =
√
1− y2 ⇔ y = ±
√
1− x2
x =
√
2− y2 ⇔ y = ±
√
2− x2 .
Este exemplo e´ um pouco mais complicado do que os que vimos ate´ agora, pois
sera´ necessa´rio dividir R3 em treˆs sub-regio˜es: R
′
3 ∪R′′3 ∪R′′′3 (Figura 6), onde
R′3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤ y ≤ −√1− x2} ,
R′′3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ x ≤ 1 e √1− x2 ≤ y ≤ 1} ,
R′′′3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1 ≤ x ≤ √2 e −√2− x2 ≤ y ≤ √2− x2} .
x
y
R′3
R′′3
R′′′3
Figura 6: Divisa˜o vertical da regia˜o R3.
Vamos agora considerar um exerc´ıcio interessante: descrever a regia˜o R3 como
unia˜o de regio˜es escritas na forma {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β e f(θ) ≤ r ≤ g(θ)} (ou
seja, descrever R3 em coordenadas polares). Lembrando que a relac¸a˜o entre as
coordenadas cartesianas e polares e´ dada por x = r cos(θ) e y = r sin(θ), temos que
a equac¸a˜o da reta y = 1 em coordenadas polares e´ r = 1/ sin(θ). Analogamente,
y = −1 e´ reescrita como r = −1/ sin(θ). Logo, verifique que R3 e´ dada como unia˜o
das seguintes sub-regio˜es:{
(r, θ)
∣∣ − pi
2
≤ θ ≤ −pi
4
e 1 ≤ r ≤ − 1
sin(θ)
}
,
5
{
(r, θ)
∣∣ − pi
4
≤ θ ≤ pi
4
e 1 ≤ r ≤
√
2
}
,{
(r, θ)
∣∣ pi
4
≤ θ ≤ pi
2
e 1 ≤ r ≤ 1
sin(θ)
}
.
Exemplo 1.4 Considere a seguinte regia˜o do plano:
R4 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − ln(x+ 1) ≤ y ≤ ln(x) e 0 < x ≤ 3} .
O limite inferior para a varia´vel x e´ a abscissa do ponto de intersec¸a˜o entre as
curvas y = − ln(x+1) e y = ln(x), ou seja, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o − ln(x+1) = ln(x):
− ln(x+ 1) = ln(x)
⇔ ln
(
1
x+ 1
)
= ln(x)
⇔ 1
x+ 1
= x
⇔ x2 + x− 1 = 0
⇔ x = −1±
√
5
2
.
Como x > 0, consideraremos apenas a soluc¸a˜o positiva da equac¸a˜o acima. Logo,
R4 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ √5− 1
2
≤ x ≤ 3 e − ln(x+ 1) ≤ y ≤ ln(x)
}
.
Um esboc¸o desta regia˜o e´ dado pela Figura 7.
√
5−1
2 3
ln 3
− ln 4
ln
√
5−1
2
x
y
Figura 7: Esboc¸o da regia˜o R4.
6
A fronteira de R4 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = ln(x) e √5− 1
2
≤ x ≤ 3
}
,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = − ln(x+ 1) e √5− 1
2
≤ x ≤ 3
}
,
C3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = 3 e − ln(4) ≤ y ≤ ln(3)} ,
Para descreveˆ-la como uma regia˜o de “Tipo II”, devemos expressar suas fronteiras
atrave´s de equac¸o˜es da forma x = h(y):
y = ln(x) ⇔ x = ey
y = − ln(x+ 1) ⇔ y = ln
(
1
x+ 1
)
⇔ ey = 1
x+ 1
⇔ x = 1
ey
− 1
Para encontrar os extremos do intervalo [c, d], basta procurar pelas ordenadas
dos pontos de intersec¸a˜o das curvas y = − ln(x+ 1) e y = ln(x) com a reta vertical
x = 3. Logo, c = − ln(4) e d = ln(3). Entretanto, sera´ ainda necessa´rio dividir
horizontalmente a regia˜o R4 em duas sub-regio˜es, como ilustrado na Figura 8.
x
y
R′′4
R′4
Figura 8: Divisa˜o horizontal da regia˜o R4.
E enta˜o R4 = R
′
4 ∪R′′4, onde
R′4 =
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − ln(4) ≤ y ≤ ln
(
−1 +√5
2
)
e
1
ey
− 1 ≤ x ≤ 3
 ,
R′′4 =
(x, y) ∈ R2 ∣∣ ln
(
−1 +√5
2
)
≤ y ≤ ln(3) e ey ≤ x ≤ 3
 .
7
Exerc´ıcio 1.1 Calcule os centro´ides das regio˜es planas estudadas nos Exemplos
1.1 a 1.4.
Exerc´ıcio 1.2 Seja R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x2 ≤ y ≤ √1− x2}. Esboce esta regia˜o
e calcule seu centro´ide.
Exerc´ıcio 1.3 Seja R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 e √1− x2 ≤ y ≤ √2− x2}.
Descreva esta regia˜o em coordenadas polares e calcule seu centro´ide.
2 Regio˜es no Espac¸o
Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio˜es do espac¸o no formato padra˜o
U =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ F (x, y) ≤ z ≤ G(x, y) e (x, y) ∈ R} ,
explicitando a regia˜o R e as func¸o˜es F e G.
Exemplo 2.1 Considere a regia˜o
U1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + y2 ≤ z ≤√1− x2 − y2} .
Nesse exemplo temos que F (x, y) =
√
x2 + y2 e G(x, y) =
√
1− x2 − y2. Os gra´-
ficos dessas func¸o˜es se intersectam ao longo de uma curva no espac¸o, cuja represen-
tac¸a˜o cartesianae´ dada pelas equac¸o˜es z =
√
x2 + y2 e z =
√
1− x2 − y2. Ao eli-
minarmos a varia´vel z das equac¸o˜es anteriores, obtemos
√
x2 + y2 =
√
1− x2 − y2,
a equac¸a˜o que define a fronteira da projec¸a˜o ortogonal de U no plano xy. A u´ltima
equac¸a˜o equivale a x2 + y2 = 1/2. Logo, a projec¸a˜o ortogonal U no plano xy e´ um
disco centrado na origem de raio
√
2/2.
Assim, temos que
U1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + y2 ≤ z ≤√1− x2 − y2 e (x, y) ∈ R1} ,
onde
R1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
e −
√
1
2
− x2 ≤ y ≤
√
1
2
− x2
}
.
A fronteira de U1 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = √x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 1
2
}
,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = √1− x2 − y2 , x2 + y2 ≤ 1
2
}
.
Um esboc¸o da regia˜o U1 pode ser visto na Figura 9.
8
−
√
2
2
√
2
2
y
z
x
Figura 9: Esboc¸o da regia˜o U1.
Em coordenadas cartesianas, o volume do so´lido U1 e´ dado por:
Vol(U1) =
∫ √2
2
x=−
√
2
2
∫ √ 1
2
−x2
y=−
√
1
2
−x2
(√
1− x2 − y2 −
√
x2 + y2
)
dy dx .
Esta e´ uma integral muito dif´ıcil de ser calculada, mas podemos simplificar nossa
tarefa se usarmos o fato de que a regia˜o de integrac¸a˜o, R1, e´ um c´ırculo centrado na
origem de raio
√
2/2. Em coordenadas polares, o volume do so´lido U1 e´ dado por:
Vol(U1) =
∫ 2pi
θ=0
∫ √2
2
r=0
(√
1− r2 − r
)
rdr dθ =
pi(2−√2)
3
.
Como exerc´ıcio, calcule o volume do seguinte so´lido:
U˜1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + z2 ≤ y ≤ √1− x2 − z2} .
Exemplo 2.2 Observe a regia˜o
U2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 ≤ 1 e − 2 ≤ z ≤ 7− y} ,
que corresponde ao so´lido contido no cilindro x2 + y2 ≤ 1, delimitado pelos planos
z = −2 e z = 7− y (veja Figura 10).
A projec¸a˜o ortogonal de U2 no plano xy e´ obviamente um c´ırculo centrado na
origem de raio 1. Logo, no formato padra˜o, esta regia˜o e´ descrita como
U2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 2 ≤ z ≤ 7− y e (x, y) ∈ R2} ,
onde
R2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 e −√1− x2 ≤ y ≤ √1− x2} .
9
−2
y
z
x
Figura 10: Esboc¸o da regia˜o U2.
A fronteira de U2 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = −2 e x2 + y2 ≤ 1} ,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 7− y e x2 + y2 ≤ 1} ,
S3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 = 1 e − 2 ≤ z ≤ 7− y} .
O volume do so´lido U2 e´ dado por:
Vol(U2) =
∫ 1
x=−1
∫ √1−x2
y=−√1−x2
(
7− y − (−2)) dy dx = 9pi .
Assim como no exemplo anterior, tambe´m seria conveniente aqui usar coordena-
das polares para descrever a regia˜o de integrac¸a˜o, R2. O volume de U2 seria enta˜o
dado por:
Vol(U2) =
∫ 2pi
θ=0
∫ 1
r=0
(
9− r sin(θ)) rdr dθ = 9pi .
Exemplo 2.3 Considere as regio˜es
U ′3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 + z2
4
≤ 1
}
,
e
U ′′3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 4
3
(
x2 + y2
) ≤ z2} .
10
−
√
3
2
√
3
2
y
z
x
Figura 11: Esboc¸o da regia˜o U3.
Seja U3 = U
′
3 ∩ U ′′3 ∩ {z ≥ 0}. Na Figura 11 vemos um esboc¸o desta regia˜o.
Como z ≥ 0, para encontrar a equac¸a˜o da curva no espac¸o onde o elipso´ide U ′3
e o cone U ′′3 se interceptam, basta igualar a parte de cima do elipso´ide a` parte de
cima do cone:
2
√
1− x2 − y2 = 2
√
3
3
√
x2 + y2 .
A projec¸a˜o ortogonal de U3 no plano xy e´ obtida simplificando-se a equac¸a˜o
acima: x2 + y2 = 3/4 (um c´ırculo centrado na origem, de raio
√
3/2). Logo, des-
crevemos a regia˜o U3 da seguinte forma:
U3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 2√3
3
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 2
√
1− x2 − y2 e (x, y) ∈ R3
}
,
onde
R3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √3
2
≤ x ≤
√
3
2
e −
√
3
4
− x2 ≤ y ≤
√
3
4
− x2
}
.
A fronteira de U3 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 2√3
3
√
x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 3
4
}
,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 2√1− x2 − y2 , x2 + y2 ≤ 3
4
}
,
O volume do so´lido U3 e´ dado por:
Vol(U3) =
∫ √3
2
x=−
√
3
2
∫ √ 3
4
−x2
y=−
√
3
4
−x2
(
2
√
1− x2 − y2 − 2
√
3
3
√
x2 + y2
)
dy dx =
2pi
3
.
11
Usando coordenadas polares, o ca´lculo da integral acima e´ bem mais simples:
Vol(U3) =
∫ 2pi
θ=0
∫ √3
2
r=0
(
2
√
1− r2 − 2
√
3
3
r
)
rdr dθ =
2pi
3
.
Exemplo 2.4 Considere U4 a regia˜o do espac¸o delimitada pelos planos y = 0, z = 0
e y+ z = 5 e pelo cilindro sobre a curva z = 4−|x|. Um esboc¸o de U4 pode ser visto
na Figura 12.
4
4
5 y
z
x
Figura 12: Esboc¸o da regia˜o U4.
A maneira mais fa´cil de descrever esta regia˜o e´ no seguinte formato:
U4 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ F (x, z) ≤ y ≤ G(x, z) e (x, z) ∈ R} ,
onde R e´ uma regia˜o do plano xz.
A projec¸a˜o ortogonal de U4 no plano xz e´ a regia˜o delimitada pelas retas z = 4−x,
z = 4 + x e z = 0. Logo,
U4 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 0 ≤ y ≤ 5− z e (x, y) ∈ R4} ,
onde
R4 =
{
(x, z) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ z ≤ 4 e − 4 + z ≤ x ≤ 4− z} .
A fronteira de U4 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 0 , −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 5} ,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y = 0 , 0 ≤ z ≤ 4− |x|} ,
12
S3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 4− |x| , −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 5− z} ,
S4 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y = 5− z , 0 ≤ z ≤ 4− |x|} .
O volume do so´lido U4 e´ dado por:
Vol(U4) =
∫ 4
z=0
∫ 4−z
x=−4+z
(5− z) dx dz = 176
3
.
Como exerc´ıcio, calcule ∫∫
R4
xz dx dz .
Exerc´ıcio 2.1 Seja
R =
{
(y, z) ∈ R2 ∣∣ |y| ≤ z ≤ 1− y2} .
Considere a regia˜o U ⊂ R3, obtida girando-se R em torno do eixo z. Descreva U
usando desigualdades.
Exerc´ıcio 2.2 Seja U a regia˜o do espac¸o delimitada pelo parabolo´ide z = x2 + y2
e pelo plano z = y + 2.
a) Escreva U usando desigualdades.
b) Explicite R, regia˜o do plano xy, obtida pela projec¸a˜o ortogonal de U nesse plano.
Exerc´ıcio 2.3 Considere a seguinte regia˜o
U =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 ≥ 1 + z2, x2 + y2 + z2 ≤ 5 e z ≥ 0} .
Descreva essa regia˜o como a unia˜o de duas regio˜es U1 e U2 escritas no formato
padra˜o.
Exerc´ıcio 2.4 Esboce as regio˜es do espac¸o a seguir e determine suas respectivas
projec¸o˜es no plano xy.
a) U1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 + z2 ≤ 4 e z ≥√x2 + y2}
b) U2 = U1 ∩ {z ≥ 1}
c) U3 = U2 ∩ {x ≥ 0 e y ≥ 0}
13