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02_regioes

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Descrevendo Regio˜es no Plano Cartesiano
e no Espac¸o Euclidiano
Americo Cunha
De´bora Mondaini
Ricardo Sa´ Earp
Departamento de Matema´tica
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro
1 Regio˜es no Plano
Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio˜es como unio˜es de regio˜es, onde
cada uma destas sera´ descrita em um dos dois formatos padro˜es:
“Tipo I”: R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ a ≤ x ≤ b e f(x) ≤ y ≤ g(x)} ,
ou
“Tipo II”: R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ c ≤ y ≤ d e h(y) ≤ x ≤ j(y)} ,
explicitando o intervalo [a, b] ou [c, d] e as func¸o˜es f e g ou h e j.
Exemplo 1.1 Considere a regia˜o do plano definida por
R1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x2 ≤ y ≤ 1− x2} .
Para descrever R1 como uma regia˜o de “Tipo I”, tomaremos f(x) = x
2 e g(x) =
1−x2. Os gra´ficos dessas func¸o˜es se intersectam nos pontos do plano cujas abscissas
satisfazem a equac¸a˜o x2 = 1− x2, i.e., x =
√
2
2
ou x = −
√
2
2
. Assim, temos que
R1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
e x2 ≤ y ≤ 1− x2
}
.
Um esboc¸o da regia˜o R1 pode ser visto na Figura 1.
A fronteira de R1 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = 1− x2 e − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
}
,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = x2 e − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
}
.
1
−
√
2
2
√
2
2
1
2
1
x
y
Figura 1: Esboc¸o da regia˜o R1.
Vamos agora descrever R1 como uma regia˜o de “Tipo II”. Para isso, sera´ neces-
sa´rio escrever as curvas de sua fronteira atrave´s de equac¸o˜es da forma x = h(y):
y = x2 ⇔ x = ±√y
y = 1− x2 ⇔ x = ±
√
1− y .
Devemos dividir R1 em duas sub-regio˜es para poder descreveˆ-la no formato de-
sejado, como indicado na Figura 2.
x
y
R′′1
R′1
Figura 2: Divisa˜o horizontal da regia˜o R1.
Enta˜o R1 = R
′
1 ∪R′′1, onde
R′1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ y ≤ 1
2
e −√y ≤ x ≤ √y
}
,
R′′1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1
2
≤ y ≤ 1 e −
√
1− y ≤ x ≤
√
1− y
}
.
Exemplo 1.2 Agora vejamos a regia˜o
R2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ |x| ≤ y ≤ 1− x2} .
Observe que a regia˜o R2 esta´ definida por duas inequac¸o˜es. Nessas inequac¸o˜es, a
varia´vel y e´ limitada inferiormente por |x| e superiormente por 1− x2. Assim, para
descreveˆ-la como uma regia˜o de “Tipo I”, tomaremos f(x) = |x| e g(x) = 1−x2. Os
limites do intervalo [a, b] sa˜o determinados pelas abscissas dos pontos de intersec¸a˜o
das curvas y = |x| e y = 1− x2, i.e., pelos valores de x que satisfazem |x| = 1− x2.
2
Se x ≥ 0, a u´ltima equac¸a˜o equivale a x2+x−1 = 0, a qual possui duas soluc¸o˜es:
x1 =
√
5− 1
2
e x2 =
−√5− 1
2
.
Sendo x na˜o negativo, a u´nica soluc¸a˜o va´lida e´ x1.
Se x < 0, a equac¸a˜o de interesse se torna x2 − x− 1 = 0, cujas soluc¸o˜es sa˜o:
x3 =
1 +
√
5
2
e x4 =
1−√5
2
.
Como x e´ negativo, a u´nica soluc¸a˜o va´lida e´ x4.
Logo, a regia˜o R2 (esboc¸ada na Figura 3) pode ser escrita como
R2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1−√5
2
≤ x ≤
√
5− 1
2
e |x| ≤ y ≤ 1− x2
}
.
1−√5
2
√
5−1
2
1
x
y
Figura 3: Esboc¸o da regia˜o R2.
A fronteira de R2 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = 1− x2 e 1−√5
2
≤ x ≤
√
5− 1
2
}
,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = |x| e 1−√5
2
≤ x ≤
√
5− 1
2
}
.
Podemos ainda descrever a regia˜o R2 como uma regia˜o de “Tipo II”. Para isto,
e´ importante saber expressar sua fronteira atrave´s de equac¸o˜es do tipo x = h(y).
Observe que:
y = x ⇔ x = y
y = −x ⇔ x = −y
y = 1− x2 ⇔ x = ±
√
1− y .
Verifique que R2 = R
′
2 ∪R′′2 (Figura 4), onde
3
R′2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ y ≤ √5− 1
2
e − y ≤ x ≤ y
}
,
R′′2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ √5− 1
2
≤ y ≤ 1 e −
√
1− y ≤ x ≤
√
1− y
}
.
x
y
R′′2
R′2
Figura 4: Divisa˜o horizontal da regia˜o R2
Exemplo 1.3 Considere agora a seguinte regia˜o do plano:
R3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ y ≤ 1 e √1− y2 ≤ x ≤√2− y2} .
Observe que R3 ja´ esta´ descrita como uma regia˜o do “Tipo II” (pois y varia
entre duas constantes e x varia entre duas func¸o˜es de y). Um esboc¸o desta regia˜o e´
apresentado na Figura 5
1
−1
1
√
2
x
y
Figura 5: Esboc¸o da regia˜o R3.
A fronteira de R3 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = 1 e 0 ≤ x ≤ 1} ,
4
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = −1 e 0 ≤ x ≤ 1} ,
C3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = √1− y2 e − 1 ≤ y ≤ 1} ,
C4 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = √2− y2 e − 1 ≤ y ≤ 1} .
Para descrever R3 como uma regia˜o de “Tipo I”, vamos estudar sua fronteira
(lembrando que agora queremos expressa´-la atrave´s de equac¸o˜es da forma y = f(x)):
x =
√
1− y2 ⇔ y = ±
√
1− x2
x =
√
2− y2 ⇔ y = ±
√
2− x2 .
Este exemplo e´ um pouco mais complicado do que os que vimos ate´ agora, pois
sera´ necessa´rio dividir R3 em treˆs sub-regio˜es: R
′
3 ∪R′′3 ∪R′′′3 (Figura 6), onde
R′3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤ y ≤ −√1− x2} ,
R′′3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ x ≤ 1 e √1− x2 ≤ y ≤ 1} ,
R′′′3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1 ≤ x ≤ √2 e −√2− x2 ≤ y ≤ √2− x2} .
x
y
R′3
R′′3
R′′′3
Figura 6: Divisa˜o vertical da regia˜o R3.
Vamos agora considerar um exerc´ıcio interessante: descrever a regia˜o R3 como
unia˜o de regio˜es escritas na forma {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β e f(θ) ≤ r ≤ g(θ)} (ou
seja, descrever R3 em coordenadas polares). Lembrando que a relac¸a˜o entre as
coordenadas cartesianas e polares e´ dada por x = r cos(θ) e y = r sin(θ), temos que
a equac¸a˜o da reta y = 1 em coordenadas polares e´ r = 1/ sin(θ). Analogamente,
y = −1 e´ reescrita como r = −1/ sin(θ). Logo, verifique que R3 e´ dada como unia˜o
das seguintes sub-regio˜es:{
(r, θ)
∣∣ − pi
2
≤ θ ≤ −pi
4
e 1 ≤ r ≤ − 1
sin(θ)
}
,
5
{
(r, θ)
∣∣ − pi
4
≤ θ ≤ pi
4
e 1 ≤ r ≤
√
2
}
,{
(r, θ)
∣∣ pi
4
≤ θ ≤ pi
2
e 1 ≤ r ≤ 1
sin(θ)
}
.
Exemplo 1.4 Considere a seguinte regia˜o do plano:
R4 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − ln(x+ 1) ≤ y ≤ ln(x) e 0 < x ≤ 3} .
O limite inferior para a varia´vel x e´ a abscissa do ponto de intersec¸a˜o entre as
curvas y = − ln(x+1) e y = ln(x), ou seja, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o − ln(x+1) = ln(x):
− ln(x+ 1) = ln(x)
⇔ ln
(
1
x+ 1
)
= ln(x)
⇔ 1
x+ 1
= x
⇔ x2 + x− 1 = 0
⇔ x = −1±
√
5
2
.
Como x > 0, consideraremos apenas a soluc¸a˜o positiva da equac¸a˜o acima. Logo,
R4 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ √5− 1
2
≤ x ≤ 3 e − ln(x+ 1) ≤ y ≤ ln(x)
}
.
Um esboc¸o desta regia˜o e´ dado pela Figura 7.
√
5−1
2 3
ln 3
− ln 4
ln
√
5−1
2
x
y
Figura 7: Esboc¸o da regia˜o R4.
6
A fronteira de R4 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = ln(x) e √5− 1
2
≤ x ≤ 3
}
,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = − ln(x+ 1) e √5− 1
2
≤ x ≤ 3
}
,
C3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = 3 e − ln(4) ≤ y ≤ ln(3)} ,
Para descreveˆ-la como uma regia˜o de “Tipo II”, devemos expressar suas fronteiras
atrave´s de equac¸o˜es da forma x = h(y):
y = ln(x) ⇔ x = ey
y = − ln(x+ 1) ⇔ y = ln
(
1
x+ 1
)
⇔ ey = 1
x+ 1
⇔ x = 1
ey
− 1
Para encontrar os extremos do intervalo [c, d], basta procurar pelas ordenadas
dos pontos de intersec¸a˜o das curvas y = − ln(x+ 1) e y = ln(x) com a reta vertical
x = 3. Logo, c = − ln(4) e d = ln(3). Entretanto, sera´ ainda necessa´rio dividir
horizontalmente a regia˜o R4 em duas sub-regio˜es, como ilustrado na Figura 8.
x
y
R′′4
R′4
Figura 8: Divisa˜o horizontal da regia˜o R4.
E enta˜o R4 = R
′
4 ∪R′′4, onde
R′4 =
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − ln(4) ≤ y ≤ ln
(
−1 +√5
2
)
e
1
ey
− 1 ≤ x ≤ 3
 ,
R′′4 =
(x, y) ∈ R2 ∣∣ ln
(
−1 +√5
2
)
≤ y ≤ ln(3) e ey ≤ x ≤ 3
 .
7
Exerc´ıcio 1.1 Calcule os centro´ides das regio˜es planas estudadas nos Exemplos
1.1 a 1.4.
Exerc´ıcio 1.2 Seja R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x2 ≤ y ≤ √1− x2}. Esboce esta regia˜o
e calcule seu centro´ide.
Exerc´ıcio 1.3 Seja R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 e √1− x2 ≤ y ≤ √2− x2}.
Descreva esta regia˜o em coordenadas polares e calcule seu centro´ide.
2 Regio˜es no Espac¸o
Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio˜es do espac¸o no formato padra˜o
U =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ F (x, y) ≤ z ≤ G(x, y) e (x, y) ∈ R} ,
explicitando a regia˜o R e as func¸o˜es F e G.
Exemplo 2.1 Considere a regia˜o
U1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + y2 ≤ z ≤√1− x2 − y2} .
Nesse exemplo temos que F (x, y) =
√
x2 + y2 e G(x, y) =
√
1− x2 − y2. Os gra´-
ficos dessas func¸o˜es se intersectam ao longo de uma curva no espac¸o, cuja represen-
tac¸a˜o cartesiana