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Professor: Hiron Pereira Farias
Disciplina:Probabilidade Estatística
1 Distribuição Normal
Dizemos que a variável aleatória contínua X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2,
−∞ < µ < +∞ e 0 < σ2 <∞, se sua função densidade de probabilidade (f.d.p) é dada por
f(x;µ, σ2) =
1
σ
√
2pi
e−
1
2
(x−µ
σ
)2 , −∞ < x < +∞ (1.1)
em que:
pi = 3,1415 . . .
e = 2,718281828 . . .
Os parâmetros µ e σ2 representam, respectivamente, a média e a variância da distribuição,
neste caso escrevemos que E(X) = µ e V ar(X) = σ2 respectivamente . Usaremos a notação
X ∼ N(µ, σ2), para indicar que X tem distribuição Normal com parâmtros µ e σ2 .
A densidade f(x;µ, σ2) é simétrica em relação a reta x = µ, isto é:
f(µ+ x;µ, σ2) = f(µ− x;µ, σ2) para todo x real;
Para x = µ f(x;µ, σ2) assumi valor máximo ,isto é, f(x;µ, σ2) = 1
σ
√
2pi
;
Para x = µ− σ e x = µ+ σ são pontos de inflexão de f(x;µ, σ2);
Para f(x;µ, σ2) −→ 0, quando x−→ ±∞.
Com auxílio do Cálculo, vamos verificar as afirmações sobre a função fazendo o esboço do
gráfico de f(x;µ, σ2), e para que não se perca nos cálculos o leitor tem que ater ao fato que os
parâmetros µ e σ2 são conhecidos ou estimáveis, sendo assim sempre olharemos os parâmetros µ e
σ2 como constantes. Para esboçar o gráfico de f(x;µ, σ2) seguiremos o seguinte roteiro:
Primeiro, determinaremos o domínio de f(x;µ, σ2), identificando assim, para quais valores reais
a função f(x;µ, σ2) terá como valor um número real; Segundo, faremos a derivada primeira de
f(x;µ, σ2) e igualaremos a zero para determinarmos os candidatos a máximos e mínimos da função
em estudo;
Terceiro, faremos a derivada segunda de f(x;µ, σ2) e ao igualar a zero e resolvendo esta equação
encontraremos caso exista os pontos de inflexão, isto é, os valores de x onde a função muda de
concavidade;
Quarto, estudaremos o sinal da função f ′(x;µ, σ2) determinando os pontos de máximos e ou míni-
mos caso existam de f(x;µ, σ2);
Quinto, estudo do sinal de f ′′(x;µ, σ2), determinando assim os valores de x para os quais a função
assume o valor zero, ao determinarmos estes valores, estudaremos o sinal de f ′′(x;µ, σ2) nos in-
tervalos gerados, tendo assim conclusão a respeito do comportamento da função nos intervalos
gerados.
Podemos olhar a função f(x;µ, σ2) como o produto de dois fatores, a saber, 1
σ
√
2pi
e e−
1
2
(x−µ
σ
)2 .
Observe que o primeiro fator é uma constante positiva e o segundo uma função exponencial, que
como sabemos so assume valores positivos, desta observação conclui-se que a função
f(x;µ, σ2) =
1
σ
√
2pi
e−
1
2
(x−µ
σ
)2
tem como domínio os reais, isto é, para qualquer x real f(x;µ, σ2) terá como valor um número
real e positivo, ou seja, f(x) > 0 para todo x real. Sabendo que o domínio de f(x) é os reais
podemos calcular o limite dessa função quando x tende para +∞ e quando x tende para −∞, mas
é fácil ver que ambos os limites tenderam para zero, pois, a medida que x assume valores cada vez
maiores o valor de f(x) assume valor cada vez menor, tendo em vista que o expoente −1
2
(x−µ
σ
)2
é negativo e cada vez menor levando assim a potência e−
1
2
(x−µ
σ
)2 assumir valores cada vez menor,
matemáticamente podemos escreve
lim
x→+∞
f(x) =
1
σ
√
2pi
lim
x→+∞
e−
1
2
(x−µ
σ
)2 = 0 e lim
x→−∞
f(x) =
1
σ
√
2pi
lim
x→−∞
e−
1
2
(x−µ
σ
)2 = 0.
Um fato importante que se apresenta é que aos estudarmos os sinais das derivadas primeira
e segunda de f(x;µ, σ2) não precisaremos considerar o fator e−
1
2
(x−µ
σ
)2 , pois , será positivo para
qualquer valor de x, sendo assim, não infuenciará no estudo do sinal das funções f ′(x) e f ′′(x).
Sendo X ∼ N(µ, σ2) , sua f.d.p é
f(x;µ, σ2) =
1
σ
√
2pi
e−
1
2
(x−µ
σ
)2
e sua derivada é dada por
f ′(x;µ, σ2) =
1
σ
√
2pi
e−
1
2
(x−µ
σ
)2 .− 1
2
.2(
x− µ
σ
).
1
σ
reescrevendo f ′(x;µ, σ2), temos
f ′(x;µ, σ2) = − 1
σ2
√
2pi
.(
x− µ
σ
)e−
1
2
(x−µ
σ
)2 (1.2)
fazendo f ′(x) = 0, temos
−x+µ
σ
= 0⇒ x = µ.
Neste caso, temos que para x = µ é um ponto de máximo, pois, para x = µ − σ temos que
f ′(x) = 1
σ2
√
2pi
e−
1
2 > 0 e para x = µ+ σ temos que f ′(x) = − 1
σ2
√
2pi
e−
1
2 < 0 e consequentemente
a função f(x;µ, σ2) e crescente no intervalo (−∞;µ] e decrescente no intervalo (µ; +∞] .
Fazendo a derivada segunda, temos o seguinte resultado
f ′′(x) =
1
σ
√
2pi
e−
1
2
(x−µ
σ
)2 .
[(−x+ µ
σ2
)2
− 1
σ
]
que pode ser reescrito assim,
f ′′(x) = f(x).
[(−x+ µ
σ2
)2
− 1
σ2
]
. (1.3)
Como f(x) > 0, fazendo f ′′(x) = 0, obtemos
(
−x+µ
σ2
)2
= 1
σ2
o que implica que
∣∣∣−x+µσ ∣∣∣ = 1σ .
Daí
x = µ± σ.
Para x = µ − 2.σ , temos que f ′′(µ − 2.σ) = 3
σ3
√
2pi
e−2 > 0 , para x = µ + 2.σ , temos que
f ′′(µ + 2.σ) = 3
σ3
√
2pi
e−2 > 0 e para x = µ , temos que f ′′(µ) = −1
σ3
√
2pi
< 0. Desses resultados
obtidos, temos que, a função f(x;µ, σ2) tem concavidade para cima nos intervalos (−∞;µ− σ] e
(µ+ σ; +∞] e concavidade para baixo no intervalo (µ− σ;µ+ σ) .
Uma propriedade muito importante do modelo normal, cuja demonstração será omitida, é
aquela que garante que qualquer combinação linear de variáveis Normais independentes, também,
terá distribuição normal. Em outras palavras, se X1, X2, . . . , Xn formam uma sequência de va-
riáveis aleatórias N(µi, σ2i ) independentes e a1, a2, . . . , an, são constantes quaisquer, então W=
n∑
i=1
aiXi terá distribuição normal. Seus parâmetros são determinados a partir das propriedades do
valor esperado e da variância, ou seja,
µw = E(
n∑
i=1
aiXi) =
n∑
i=1
E(aiXi) =
n∑
i=1
aiE(Xi) =
n∑
i=1
aiµi
σ2w = V ar(
n∑
i=1
aiXi) =
n∑
i=1
V ar(aiXi) =
n∑
i=1
a2iV ar(Xi) =
n∑
i=1
a2iσ
2
i
este resultado amplia, consideravelmente, o uso da Normal em várias situações.
No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, devemos resolver a integral da função
densidade, isto é,
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
1
σ
√
2pi
e−
1
2
(x−µ
σ
)2dx (1.4)
Entretanto, a integral só pode ser resolvida de modo aproximado e por métodos numéricos.
Por essa razão utiliza-se uma transformação da Variável aleatória na variável aletória padrão Z
de parâmtros (0, 1), isto é, média 0 e variância 1 e as probabilidades para o modelo normal são
calculadas com auxílio de tabelas.
Considere X ∼ N(µ, σ2) e defina uma nova variável
Z= X−µ
σ
. Pode-se verificar que essa transformação não afeta a normalidade e, assim, a variável
aleatória Z terá distribuição N(0, 1) e será denominada de Normal Padrão ou normal reduzida. No
caso específico da normal padrão sua função de distribuição acumulada definida como P (Z ≤ z),
será denotada utilizamos a seguinte notação universal:
Φ(z) =
∫ z
−∞
1√
2pi
e−
z2
2 para −∞ < z < Z (1.5)
Isto é,
F (z) = P (Z ≤ z) = Φ(z)
Pelas propriedades do valor esperado e da variância segue que
E(Z) = E(X−µ
σ
) = 1
σ
E(X − µ) = 1
σ
[E(X)− µ] = 1
σ
[µ− µ] = 0
V ar(Z) = V ar(X−µ
σ
) = 1
σ2
V ar(X − µ) = 1
σ2
V ar(X) = 1.
Para determinar a probabilidade de X� [a, b], procedendo da seguinte forma: Padroniza-se os
valores que variável aleatória X assumi e com auxílio da tabela da distribuição normal padrão acu-
mulada, encontraremos a área compreendida entre os valores a e b que é a probabilidade desejada.
De modo geral, podemos calcular, como se segue.
P (a ≤ X ≤ b) = P (a− µ ≤ X − µ ≤ b+ µ) = P (a−µ
σ
≤ X−µ
σ
≤ b+µ
σ
) =
P (a−µ
σ
≤ Z ≤ b+µ
σ
) = Φ( b+µ
σ
)− Φ(a+µ
σ
).
Conclui-se de modo geral que, calcular probabilidade de uma variável aleatória contínua X
com dada distribuição de assumir valor em um intervalo qualquer, resume em um cálculo de área.
Consideremos o intervalo
(
µ−kσ;µ+k.σ), para todo x pertencente a este intervalo a desigual-
dade se verifica ∣∣X − µ∣∣ ≤ k.σ
, isto é, ∣∣X − µ∣∣ ≤ k.σ ⇔ −k.σ ≤ X − µ ≤ k.σ
. logo calculemos a probabilidade de
P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ k.σ) = P (−k.σ ≤ X − µ ≤ k.σ) = P(µ− kσ ≤ X ≤ µ+ k.σ)
como X ∼ N(µ, σ2) , padronizando a variável aletória X , ou seja fazendo a transformação
linear Z =
X − µ
σ
, obteremos a variável normal padrão Z , em que sua distribuição é assim
Z ∼ N(0; 1).Daí
P
(µ− kσ ≤ X ≤ µ+ kσ) = P(µ− kσ − µ
σ
≤ X − µ
σ
≤ µ+ kσ − µ
σ
)
=
P
(−k ≤ Z ≤ k) = Φ(k)− Φ(−k) = Φ(k)− [1− Φ(k)] = 2.Φ(k)− 1
Portanto, conclui-se que para qualquer intervalo simétrico em que X ∼ N(µ, σ2), é sempre
verdade que
P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ k.σ) = 2.Φ(k)− 1
Para k = 1, temos que
P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ σ) = 2.Φ(1,00)− 1 = 68,26%
podemos concluir, que sendo X uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e
variância σ2, a probabilidade de encontrarmos um valor de X no intervalo delimitado pelos pontos
de inflexão é de 68,26% , deixando claro o grau de concentração das observações em torno da
média.
Para k = 2, temos que
P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ σ) = 2.Φ(2,00)− 1 = 95,45%
podemos concluir, que sendo X uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e
variância σ2, a probabilidade de encontrarmos um valor deX no intervalo delimitado pelo intervalo(
µ − 2.σ;µ + 2.σ) é de 95,45% de chance, sendo quase a totalidade dos valores observados de
variável aleatória X encontrase no intervalo que vai de
(
µ− 2.σ) a (µ+ 2.σ).
Para k = 3, temos que
P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ σ) = 2.Φ(3,00)− 1 = 99,73%
Conclui-se que existe uma pequena probabilidade de encontrar um valor fora do intervalo de(
µ − 3.σ;µ + 3.σ), ou seja, se X uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e
variância σ2 constitui-se um evento raro encontrar um valor de X fora deste intervalo determinado,
a saber a probabilidade é
P (
∣∣X − µ∣∣ ≥ 3σ) = 1− P (∣∣X − µ∣∣ ≤ σ) = 1− 0,9973 = 0,7.%
Sendo X uma variável aleatória qualquer, média µ e variância σ2, para k > 1 é sempre verdade
que
P
(∣∣X − µ∣∣ ≥ kσ) ≤ 1
k2
. (1.6)
Esta expressão é conhecida pelo nome de Desigualdade de Chebyshev. A desigualdade indica que
a probabilidade que X tome algúm valor fora do intervalo
(
µ− k.σ;µ+ k.σ) é não mais que 1
k2
.
Veja que podemos reescrevê-la de várias maneiras e também interpretá-la de várias formas:
i) Como o complementar da inequação acima, isto é,
P
(∣∣X − µ∣∣ < kσ) ≥ 1− 1
k2
. (1.7)
Sendo
{∣∣X − µ∣∣ ≥ k.σ} {∣∣X − µ∣∣ < k.σ} eventos complementares, então 1 − 1
k2
indica a
probabilidade de que X tome valores dentro do intervalo
(
µ− k.σ;µ+ k.σ).
ii) fazendo ε = k.σ, em que ε representa o erro máximo permitido entre X e µ.Temos que
k =
ε
σ
e
1
k2
=
σ2
ε2
. Logo a Desigualdade de Chebyshev, pode ser expressa como
P
(∣∣X − µ∣∣ ≥ ε) ≤ σ2
ε2
. (1.8)
ou
P
(∣∣X − µ∣∣ < ε) ≥ 1− σ2
ε2
. (1.9)
Assim como várias maneiras de escrever a desigualdade de Chebyshev, temos várias maneiras
de interpretar.
Exemplo1 - SeX é uma variável aleatória com média 33 e variância 16. Obter uma cota inferior
para P
[
23 < X < 43
]
.
Exemplo2 - Seja Sn o número de caras obtidos em 1000 lançamentos sucessivos de uma moeda
viciada
(
P [cara] = 0.25
)
. Estabeça uma cota superior para a probabilidade de
225 ≤ Sn ≤ 275 , utilizando a desigualdade de Chebyshev.
Exemplo3 - Suponha que 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres. Colhemos uma
AAS de tamanho 10 estudantes e calculamos p̂ e a proporção de mulheres na amostra. Qual a
probabilidade de que p̂ difira de p em menos de 0,001?
Exemplo 4 - suponha que numa pesquisa de mercado estima-se que no máximo 60% das pes-
soas entrevistadas preferirão a marca A de um produto. Essa informação é baseada em pesquisas
anteriores. se quizermos que o erro amostral de p̂ seja menor do que ε = 0,03 com probabilidade
γ = 0,95, teremos n= 1024.
EXERCÍCIOS
Questão 1: Determine o que se pede:
a) O primeiro quartil da variável aleatória X, em que X tem distribuição N(100; 49);
b) Z0 tal que : P(Z > Z0) = 0,65;
c) Z0 tal que : P(Z < Z0 ) = 0,80;
d) P(−1,57 ≤ Z ≤ 2,42).
e) Md de uma N(30; 40);
f) Q3 de uma N(78; 121).
Questão 2: Para X∼N(100 ; 100), calcule:
a) P(X < 115); ( Resp. 0,9332)
b) P(X > 80); ( Resp. 0,9772)
c) P (|X − 100| ≤ 10); ( Resp. 0,6826)
d) O valor a, tal que P (100− a ≤ X ≤ 100 + a) = 0,95; ( Resp. a = 19,6)
Questão 3: Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e
desvio padrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% mais atrasados re-
cebem nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para para passar, não receber F.
Questão 4: Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores
a 19. Encontrar a média e a variância da distribuição.
Questão 5: Uma clinica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma dis-
tribuição Normal de média 130 kg e desvio padrão 20 kg. Para efeito de determinar o tratamento
mais adequado, os 25% pacientes de menor peso são classificados de “magros”, enquanto os 25%
de maior peso de “obesos”. Determine os valores que delimitam cada uma dessas classificações.
Questão 6: Seja X uma função tal que X = X1 +X2 +X3 e as variáveis Xi , com i = 1, 2 e 3 são
independentes com as seguintes distribuições: X1 ∼ N(10; 9); X2 ∼ N(−2; 4); X3 ∼ N(5; 25).
Determine:
a) a distribuição da v.a. X;
b) P(X1 +X2 +X3 > 13);
c) P
(
X1+X2+X3
3
< 13.
)
Questão 7: SendoX1, X2 eX3 variáveis aleatórias independentes, seguindo o modelo Bernoulli
de parâmetro p, pergunta-se:
a) Qual é a função de probabilidade de X = X1 +X2 +X3? Você reconhece essa variável?
b) Qual é a E
(
X1+X2+X3
3
)
e a Var
(
X1+X2+X3
3
)
?
Questão 8: Estudo do sindicato dos Bancários indica que cerca de 30% dos funcionários de banco
têm problemas de estresse, proveniente das condições de trabalho. Numa amostra de 200 bancários,
qual seria a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença?
Questão 9: Uma corretora negocia títulos na Bolsa de Valores e utiliza um modelo probabilístico
para avaliar seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra e venda atingem três áreas: agri-
cultura, indústria e comércio. Admita que o seguinte modelo representa o comportamento do lucro
diário da corretora (em milhares de reais). L = 2.LA + 5.LI + 3.Lc,
com LA, LI , LC representando, respectivamente, os lucros diários nos setores de agricultura, indús-
tria e comércio. As distribuições de probabilidade dessas variáveis aleatórias são LA ∼ N(3; 4),
LI ∼ N(6; 9) e LC ∼ N(4; 16). Supondo indepedência entre os setores, qual será a probabilidade
de um lucro diário acima de 50 mil? (Resp. P(L > 50) = 46,02 %)
Questão 10: Para uma Normal (5; 10) coletou-se uma amostra de tamanho 25. Calcule:
a) P(X ≤ 4,8); ( Resp. 0,3745 )
b) P(4,5 ≤ X ≤ 5,3); ( Resp. 0,466 )
c) P(X ≤ 4,7 ou X ≥ 5,1) ( Resp. 0,7556 ).
Questão 11: A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição
normal, com média µ de desvio padrão 10 g.
a) Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas 10% dos pacotes tenham menos
do que 500 g? ( Resp. µ = 512,9 g)
b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos
ao acaso seja inferior a 2 kg? (Resp. 0,494%)
Questão 12: As alturas de 10.000 alunos de um colégio tem distribuição aproximadamente normal,
com média 170 cm e desvio padrão 5 cm.
a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm? (Resp. 8.413)
b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos?
(Resp. [164,25 ; 175,75])
Questão 13: Para X∼ N(µ;σ2), calcule:
a) P (X ≤ µ+ 2.σ); ( Resp. 0,977)
b) P (|X − µ| ≤ σ); ( Resp. 0,68)
c) o número a tal que P (µ− aσ ≤ X ≤ µ+ aσ) = 0,99 ( Resp. a = 2,58)
d) o número b tal que P(X > b)= 0,90. ( Resp. b = µ− 1,29.σ)
Questão 14: SendoX1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes, seguindo o modelo Bernoulli
de parâmetro p, pergunta-se:
a) Qual é a função de probabilidade da variável aleatória X1 +X2 + . . .+Xn?
b) Qual é a E(X1+X2+...+Xn
n
) e a Var(X1+X2+...+Xn
n
)?