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Professor: Hiron Pereira Farias
Disciplina:Probabilidade Estatística
1 Distribuição Normal
Dizemos que a variável aleatória contínua X tem distribuição normal com parâmetros µ e \u3c32,
\u2212\u221e < µ < +\u221e e 0 < \u3c32 <\u221e, se sua função densidade de probabilidade (f.d.p) é dada por
f(x;µ, \u3c32) =
1
\u3c3
\u221a
2pi
e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2 , \u2212\u221e < x < +\u221e (1.1)
em que:
pi = 3,1415 . . .
e = 2,718281828 . . .
Os parâmetros µ e \u3c32 representam, respectivamente, a média e a variância da distribuição,
neste caso escrevemos que E(X) = µ e V ar(X) = \u3c32 respectivamente . Usaremos a notação
X \u223c N(µ, \u3c32), para indicar que X tem distribuição Normal com parâmtros µ e \u3c32 .
A densidade f(x;µ, \u3c32) é simétrica em relação a reta x = µ, isto é:
f(µ+ x;µ, \u3c32) = f(µ\u2212 x;µ, \u3c32) para todo x real;
Para x = µ f(x;µ, \u3c32) assumi valor máximo ,isto é, f(x;µ, \u3c32) = 1
\u3c3
\u221a
2pi
;
Para x = µ\u2212 \u3c3 e x = µ+ \u3c3 são pontos de inflexão de f(x;µ, \u3c32);
Para f(x;µ, \u3c32) \u2212\u2192 0, quando x\u2212\u2192 ±\u221e.
Com auxílio do Cálculo, vamos verificar as afirmações sobre a função fazendo o esboço do
gráfico de f(x;µ, \u3c32), e para que não se perca nos cálculos o leitor tem que ater ao fato que os
parâmetros µ e \u3c32 são conhecidos ou estimáveis, sendo assim sempre olharemos os parâmetros µ e
\u3c32 como constantes. Para esboçar o gráfico de f(x;µ, \u3c32) seguiremos o seguinte roteiro:
Primeiro, determinaremos o domínio de f(x;µ, \u3c32), identificando assim, para quais valores reais
a função f(x;µ, \u3c32) terá como valor um número real; Segundo, faremos a derivada primeira de
f(x;µ, \u3c32) e igualaremos a zero para determinarmos os candidatos a máximos e mínimos da função
em estudo;
Terceiro, faremos a derivada segunda de f(x;µ, \u3c32) e ao igualar a zero e resolvendo esta equação
encontraremos caso exista os pontos de inflexão, isto é, os valores de x onde a função muda de
concavidade;
Quarto, estudaremos o sinal da função f \u2032(x;µ, \u3c32) determinando os pontos de máximos e ou míni-
mos caso existam de f(x;µ, \u3c32);
Quinto, estudo do sinal de f \u2032\u2032(x;µ, \u3c32), determinando assim os valores de x para os quais a função
assume o valor zero, ao determinarmos estes valores, estudaremos o sinal de f \u2032\u2032(x;µ, \u3c32) nos in-
tervalos gerados, tendo assim conclusão a respeito do comportamento da função nos intervalos
gerados.
Podemos olhar a função f(x;µ, \u3c32) como o produto de dois fatores, a saber, 1
\u3c3
\u221a
2pi
e e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2 .
Observe que o primeiro fator é uma constante positiva e o segundo uma função exponencial, que
como sabemos so assume valores positivos, desta observação conclui-se que a função
f(x;µ, \u3c32) =
1
\u3c3
\u221a
2pi
e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2
tem como domínio os reais, isto é, para qualquer x real f(x;µ, \u3c32) terá como valor um número
real e positivo, ou seja, f(x) > 0 para todo x real. Sabendo que o domínio de f(x) é os reais
podemos calcular o limite dessa função quando x tende para +\u221e e quando x tende para \u2212\u221e, mas
é fácil ver que ambos os limites tenderam para zero, pois, a medida que x assume valores cada vez
maiores o valor de f(x) assume valor cada vez menor, tendo em vista que o expoente \u22121
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2
é negativo e cada vez menor levando assim a potência e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2 assumir valores cada vez menor,
matemáticamente podemos escreve
lim
x\u2192+\u221e
f(x) =
1
\u3c3
\u221a
2pi
lim
x\u2192+\u221e
e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2 = 0 e lim
x\u2192\u2212\u221e
f(x) =
1
\u3c3
\u221a
2pi
lim
x\u2192\u2212\u221e
e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2 = 0.
Um fato importante que se apresenta é que aos estudarmos os sinais das derivadas primeira
e segunda de f(x;µ, \u3c32) não precisaremos considerar o fator e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2 , pois , será positivo para
qualquer valor de x, sendo assim, não infuenciará no estudo do sinal das funções f \u2032(x) e f \u2032\u2032(x).
Sendo X \u223c N(µ, \u3c32) , sua f.d.p é
f(x;µ, \u3c32) =
1
\u3c3
\u221a
2pi
e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2
e sua derivada é dada por
f \u2032(x;µ, \u3c32) =
1
\u3c3
\u221a
2pi
e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2 .\u2212 1
2
.2(
x\u2212 µ
\u3c3
).
1
\u3c3
reescrevendo f \u2032(x;µ, \u3c32), temos
f \u2032(x;µ, \u3c32) = \u2212 1
\u3c32
\u221a
2pi
.(
x\u2212 µ
\u3c3
)e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2 (1.2)
fazendo f \u2032(x) = 0, temos
\u2212x+µ
\u3c3
= 0\u21d2 x = µ.
Neste caso, temos que para x = µ é um ponto de máximo, pois, para x = µ \u2212 \u3c3 temos que
f \u2032(x) = 1
\u3c32
\u221a
2pi
e\u2212
1
2 > 0 e para x = µ+ \u3c3 temos que f \u2032(x) = \u2212 1
\u3c32
\u221a
2pi
e\u2212
1
2 < 0 e consequentemente
a função f(x;µ, \u3c32) e crescente no intervalo (\u2212\u221e;µ] e decrescente no intervalo (µ; +\u221e] .
Fazendo a derivada segunda, temos o seguinte resultado
f \u2032\u2032(x) =
1
\u3c3
\u221a
2pi
e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2 .
[(\u2212x+ µ
\u3c32
)2
\u2212 1
\u3c3
]
que pode ser reescrito assim,
f \u2032\u2032(x) = f(x).
[(\u2212x+ µ
\u3c32
)2
\u2212 1
\u3c32
]
. (1.3)
Como f(x) > 0, fazendo f \u2032\u2032(x) = 0, obtemos
(
\u2212x+µ
\u3c32
)2
= 1
\u3c32
o que implica que
\u2223\u2223\u2223\u2212x+µ\u3c3 \u2223\u2223\u2223 = 1\u3c3 .
Daí
x = µ± \u3c3.
Para x = µ \u2212 2.\u3c3 , temos que f \u2032\u2032(µ \u2212 2.\u3c3) = 3
\u3c33
\u221a
2pi
e\u22122 > 0 , para x = µ + 2.\u3c3 , temos que
f \u2032\u2032(µ + 2.\u3c3) = 3
\u3c33
\u221a
2pi
e\u22122 > 0 e para x = µ , temos que f \u2032\u2032(µ) = \u22121
\u3c33
\u221a
2pi
< 0. Desses resultados
obtidos, temos que, a função f(x;µ, \u3c32) tem concavidade para cima nos intervalos (\u2212\u221e;µ\u2212 \u3c3] e
(µ+ \u3c3; +\u221e] e concavidade para baixo no intervalo (µ\u2212 \u3c3;µ+ \u3c3) .
Uma propriedade muito importante do modelo normal, cuja demonstração será omitida, é
aquela que garante que qualquer combinação linear de variáveis Normais independentes, também,
terá distribuição normal. Em outras palavras, se X1, X2, . . . , Xn formam uma sequência de va-
riáveis aleatórias N(µi, \u3c32i ) independentes e a1, a2, . . . , an, são constantes quaisquer, então W=
n\u2211
i=1
aiXi terá distribuição normal. Seus parâmetros são determinados a partir das propriedades do
valor esperado e da variância, ou seja,
µw = E(
n\u2211
i=1
aiXi) =
n\u2211
i=1
E(aiXi) =
n\u2211
i=1
aiE(Xi) =
n\u2211
i=1
aiµi
\u3c32w = V ar(
n\u2211
i=1
aiXi) =
n\u2211
i=1
V ar(aiXi) =
n\u2211
i=1
a2iV ar(Xi) =
n\u2211
i=1
a2i\u3c3
2
i
este resultado amplia, consideravelmente, o uso da Normal em várias situações.
No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, devemos resolver a integral da função
densidade, isto é,
P (a \u2264 X \u2264 b) =
\u222b b
a
f(x)dx =
\u222b b
a
1
\u3c3
\u221a
2pi
e\u2212
1
2
(x\u2212µ
\u3c3
)2dx (1.4)
Entretanto, a integral só pode ser resolvida de modo aproximado e por métodos numéricos.
Por essa razão utiliza-se uma transformação da Variável aleatória na variável aletória padrão Z
de parâmtros (0, 1), isto é, média 0 e variância 1 e as probabilidades para o modelo normal são
calculadas com auxílio de tabelas.
Considere X \u223c N(µ, \u3c32) e defina uma nova variável
Z= X\u2212µ
\u3c3
. Pode-se verificar que essa transformação não afeta a normalidade e, assim, a variável
aleatória Z terá distribuição N(0, 1) e será denominada de Normal Padrão ou normal reduzida. No
caso específico da normal padrão sua função de distribuição acumulada definida como P (Z \u2264 z),
será denotada utilizamos a seguinte notação universal:
\u3a6(z) =
\u222b z
\u2212\u221e
1\u221a
2pi
e\u2212
z2
2 para \u2212\u221e < z < Z (1.5)
Isto é,
F (z) = P (Z \u2264 z) = \u3a6(z)
Pelas propriedades do valor esperado e da variância segue que
E(Z) = E(X\u2212µ
\u3c3
) = 1
\u3c3
E(X \u2212 µ) = 1
\u3c3
[E(X)\u2212 µ] = 1
\u3c3
[µ\u2212 µ] = 0
V ar(Z) = V ar(X\u2212µ
\u3c3
) = 1
\u3c32
V ar(X \u2212 µ) = 1
\u3c32
V ar(X) = 1.
Para determinar a probabilidade de X\ufffd [a, b], procedendo da seguinte forma: Padroniza-se os
valores que variável aleatória X assumi e com auxílio da tabela da distribuição normal padrão acu-
mulada, encontraremos a área compreendida entre os valores a e b que é a probabilidade desejada.
De modo geral, podemos calcular, como se segue.
P (a \u2264 X \u2264 b) = P (a\u2212 µ \u2264 X \u2212 µ \u2264 b+ µ) = P (a\u2212µ
\u3c3
\u2264 X\u2212µ
\u3c3
\u2264 b+µ
\u3c3
) =
P (a\u2212µ
\u3c3
\u2264 Z \u2264 b+µ
\u3c3
) = \u3a6( b+µ
\u3c3
)\u2212 \u3a6(a+µ
\u3c3
).
Conclui-se de modo geral que, calcular probabilidade de uma variável aleatória contínua X
com dada distribuição de assumir valor em um intervalo qualquer, resume em um cálculo de área.
Consideremos o intervalo
(
µ\u2212k\u3c3;µ+k.\u3c3), para todo x pertencente a este intervalo a desigual-
dade se verifica \u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2264 k.\u3c3
, isto é, \u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2264 k.\u3c3 \u21d4 \u2212k.\u3c3 \u2264 X \u2212 µ \u2264 k.\u3c3
. logo calculemos a probabilidade de
P (
\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2264 k.\u3c3) = P (\u2212k.\u3c3 \u2264 X \u2212 µ \u2264 k.\u3c3) = P(µ\u2212 k\u3c3 \u2264 X \u2264 µ+ k.\u3c3)
como X \u223c N(µ, \u3c32) , padronizando a variável aletória X , ou seja fazendo a transformação
linear Z =
X \u2212 µ
\u3c3
, obteremos a variável normal padrão Z , em que sua distribuição é assim
Z \u223c N(0; 1).Daí
P
(