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MATEMÁTICA DISCRETA – RAV2
PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc. 
RAV2
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Conteúdo
Funções
Álgebra Relacional e seus conceitos básicos
Relação em um Banco de Dados 
Operações em Álgebra Relacional
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RAV2
Função
Definição formal: 
Sejam A e B quaisquer dois conjuntos não vazios. A relação f de A para B é chamada uma função se para todo a∈A, existe um único b∈B tal que (a,b)∈f, e se lê: “f é função de A em B”.
f: A→B 
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RAV2
Função
Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD) e conjunto imagem (Im) são válidos.
 
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RAV2
Exemplo: Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}. Representar a relação R = {(x, y)  A X B | y = 3x} em diagrama de flechas e determinar o domínio e a imagem de R.
A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}
R = {(x, y)  A X B | y = 3x}
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D = {-2, -1, 0, 1, 2}; Im = {-6, -3, 0, 3, 6}
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Função - Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, uma relação um para um entre os elementos do domínio e da imagem. 
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Função - Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
Função SOBREJETORA é quando um ou mais de um elemento do conjunto domínio é transformado em um único elemento do conjunto imagem, e não sobra elemento do conjunto imagem.
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Função - Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Bijetora:
Uma função f de A em B é chamada bijetora, se e somente se, ela for injetora e sobrejetora simultaneamente.
Todos os elementos do domínio
estão associados a todos os 
elementos do contradomínio 
de forma um para um e exclusiva.
O conjunto imagem é igual ao
 conjunto contradomínio.
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Função
Funções Compostas
A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. 
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, determine a função composta g(f(x)) ou gof. 
g(x) = x – 1 		f(x) = 2x + 3 
 Então: g(f(x)) = (2x + 3) -1 = 2x + 2
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Função - FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. 
Dada f(x)=2x, calcule f-1
y = 2x 
	x = 2y 
		2y = x 	y=x/2
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Função - Função afim
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x R. 
O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de constante.
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Função - Função afim
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
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Função - Função afim
Casos Particulares: Função linear.
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Função - Função afim
Casos Particulares: Função constante.
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Função - Função afim
Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3x - 1
y = 3x – 1
Pares: (-2,-7); (-1,-4); 0,-1); (1,2); (2,5); (3,8)
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Pares: (-2,-7); (-1,-4); 0,-1); (1,2); (2,5); (3,8)
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Função - Variação de sinal da Função de 1° Grau
1º Caso: a>0 – Função Crescente
2º Caso: a<0 – Função Decrescente	
	
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Função Quadrática ou do 2ograu
Definição: Toda função do tipo y = ax2 + bx + c, com {a, b, c}  R e a  0, é chamada de função quadrática ou função do 2 o grau.
Exemplos:
y = 3x2 – x – 2 
f (x) = 4x2 – 2 
f (x) = 5x2/3 – x/2
y = x2 
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Função Quadrática ou do 2ograu
Gráfico - O gráfico de uma função polinomial do 2° grau 
y = ax2+bx+c, onde a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo: y = x2 + x. 
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Função Quadrática ou do 2ograu
Zeros ou Raízes da Função
ax2 + bx + c = 0.  
Utilizamos a fórmula de Bháskara:
Onde  = b2 – 4ac.
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Função Quadrática ou do 2ograu- Zeros ou Raízes da Função
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O vértice da parábola
O vértice V é o ponto de intersecção da parábola com seu eixo de simetria.
O vértice V(xv, yv) da parábola de equação y = ax2 + bx + c, com {a, b, c}  R e a  0, é o ponto: 
onde Δ = b2 – 4ac.
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RAV2
Esboçar o gráfico da função: y = 2x2 – x – 1
1- Determinar as raízes (y=0) - 2x2 – x – 1 = 0
= b2 – 4ac  = (-1)2 – 4 . 2 .(-1) = 9.
				x1= 1; 		x2 = -1/2
XV = 	 = -(-1)/2.2 = 1/4
YV = 	 = -(9)/4.2 = -9/8
					
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RAV2
Função Modular 
É aquela que associa a cada elemento x real um elemento |x|. 
Adotamos a notação de uma função f(x) = |x|, como sendo:
	
O gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo.
	
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Função Modular 
Exemplo: f(x) = |x2 – 4|
	
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Função Exponencial
Chama-se função exponencial qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax , onde a > 0 e a ≠ 1.
- Representação gráfica da Função Exponencial
	
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Função Logarítmica
A função f: R* definida por f(x) = loga x, com 1 ≠ a > 0 é chamada função logarítmica de base a.
Exemplos:
f(x) = log2 x é função logarítmica de base 2.
f(x) = log1/2 x é função logarítmica de base 1/2.
f(x) = log10 x é função logarítmica de base 10.
 
	
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Função Logarítmica
Quando a > 1:
Exemplo: y = log2 x → a > 1
 
	
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Função Logarítmica
Quando 0 < a < 1
Exemplo: y = log1/2 x → 0 < a < 1
 
	
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Função Logarítmica
Observações:
Nos dois exemplos, podemos observar que o gráfico não intercepta o eixo vertical.
O gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x = 1.
y assume todos os valores reais. 
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Álgebra Relacional
Introdução
A Álgebra Relacional é uma linguagem de consulta formal, porém procedimental, ou seja, o usuário dá as instruções ao sistema para que o mesmo realize uma sequência de operações na base de dados para calcular o resultado desejado.
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RAV2
Álgebra Relacional
Terminologia
Na terminologia formal de modelo relacional, temos:
 A tabela é chamada de relação
RELAÇÃO
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Álgebra Relacional
Terminologia
Na terminologia formal de modelo relacional, temos:
 Uma linha é chamada de tupla
 TUPLAS →
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Álgebra Relacional
Terminologia
Na terminologia formal de modelo relacional, temos:
 O cabeçalho da coluna é chamado de atributo 
	ATRIBUTO →
 
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Álgebra Relacional
 
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Álgebra Relacional
Operação de Seleção
É utilizada para selecionar um subconjunto de tuplas numa relação que satisfaça uma condição de seleção predefinida. 
	Indicada por  (letra grega sigma) ou s 
Relação 2 ←  (critério da seleção) (Relação1)
 (critério da seleção) (Relação1)
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RAV2
Álgebra Relacional
Operação de Projeção
A operação de Projeção seleciona colunas específicas numa relação, isto é, efetua um corte vertical na relação.
Geralmente indicada por  (letra grega pi maiúsculo) ou p. 
 colunas desejadas(Relação 1)
Relação 2 ←  colunas desejadas(Relação 1)
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RAV2
Álgebra Relacional
Produto Cartesiano
Produz uma relação com todas as colunas das relações envolvidas e a combinação de todas as linhas de uma relação com todas as linhas da outra relação.
Número de colunas – soma do número de colunas das tabelas de origem.
Número de tuplas – produto do número de tuplas das tabelas de origem.
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RAV2
Álgebra Relacional
Junção Natural
É uma operação binária denotada por (R1 R2), onde R1 e R2 são relações com uma coluna em comum. O resultado da junção natural é uma relação com todas as linhas de R1 e de R2 que possuem a coluna em comum .
A coluna comum às relações R1 e R2 aparece uma única vez no resultado.
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RAV2
Álgebra Relacional
União de Relações
Geração de uma nova relação através da reunião das tuplas de duas relações. Símbolo: 
	Para a União, as relações têm que ser compatíveis de união (mesmo número de colunas, mesmo domínio). 
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Álgebra Relacional
Diferença de Relações
Geração de uma nova relação contendo as
tuplas que estão em uma relação mas não estão na outra. 
Para a diferença, as relações também têm que ser compatíveis de união, ou seja, mesmo número de colunas, mesmo domínio.
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RAV2
Álgebra Relacional
Interseção de Relações
Geração de uma nova relação contendo apenas as tuplas que pertençam às duas relações simultaneamente. 
Para a Interseção, as relações também têm que ser compatíveis de união.
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RAV2
Álgebra Relacional
Junção de Relações
Implementa a composição dos operadores de produto cartesiano e de seleção.
Podemos usar a junção para substituir as etapas de seleção de um produto cartesiano
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RAV2
Álgebra Relacional
Exemplos.
Seja o esquema relacional:
FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco) 
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RAV2
1.Buscar os dados dos dependentes dos funcionários alocados no Projeto “Copa 2014”.
FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco) 
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RAV2
1.Buscar os dados dos dependentes dos funcionários alocados no Projeto “Copa 2014”.
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
PROJETO ALOCAÇÂO
 Codigo = Proj-Codigo 
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RAV2
1.Buscar os dados dos dependentes dos funcionários alocados no Projeto “Copa 2014”.
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
PROJETO.Nome=Copa 2014 PROJETO ALOCAÇÂO
 Codigo = Proj-Codigo 
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RAV2
1.Buscar os dados dos dependentes dos funcionários alocados no Projeto “Copa 2014”.
DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco) 
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
DEPENDENTE PROJETO.Nome=Copa 2014 PROJETO ALOCAÇÂO
 Func-Matricula = 			 Codigo = Proj-Codigo
 ALOCAÇÂO.Func-Matricula 
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RAV2
2.Buscar os nomes dos filhos de sexo masculino dos funcionários de nome “ Maria João Oliveira Silva”.
FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco) 
			
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RAV2
2.Buscar os nomes dos filhos de sexo masculino dos funcionários de nome “ Maria João Oliveira Silva”.
FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)
DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco) 
FUNCIONÁRIO DEPENDENTE 
		 Matrícula = Func-Matricula
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RAV2
2.Buscar os nomes dos filhos de sexo masculino dos funcionários de nome “ Maria João Oliveira Silva”.
FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)
DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco) 
DEPENDENTE.Sexo=masculino^DEPENDENTE.Parentesco=filho^FUNCIONÁRIO.Nome=Maria João Oliveira Silva FUNCIONÁRIO DEPENDENTE 
		 Matrícula = Func-Matricula
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2.Buscar os nomes dos filhos de sexo masculino dos funcionários de nome “ Maria João Oliveira Silva”.
FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)
DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco) 
DEPENDENTE.Nome
DEPENDENTE.Sexo=masculino^DEPENDENTE.Parentesco=filho^FUNCIONÁRIO.Nome=Maria João Oliveira Silva FUNCIONÁRIO DEPENDENTE 
		 Matrícula = Func-Matricula
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RAV2
3.Buscar o nome e o CPF dos funcionários de sexo feminino alocados em projetos com valor inferior a 100.000,00, realizados em 2008.
FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco) 
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RAV2
3.Buscar o nome e o CPF dos funcionários de sexo feminino alocados em projetos com valor inferior a 100.000,00, realizados em 2008.
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
PROJETO.Valor<100.00,00^ALOCAÇÂO.Data-inicio>=01/01/2008^ALOCAÇÂO.Data-término<=31/12/2008
PROJETO ALOCAÇÂO
 Codigo = Proj-Codigo 
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RAV2
3.Buscar o nome e o CPF dos funcionários de sexo feminino alocados em projetos com valor inferior a 100.000,00, realizados em 2008.
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)
			FUNCIONÁRIO
 Matrícula =ALOCAÇÂO.Func-Matrícula
PROJETO.Valor<100.00,00^ALOCAÇÂO.Data-inicio>=01/01/2008^ALOCAÇÂO.Data-érmino<=31/12/2008 
PROJETO ALOCAÇÂO
 Codigo = Proj-Codigo 
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RAV2
3.Buscar o nome e o CPF dos funcionários de sexo feminino alocados em projetos com valor inferior a 100.000,00, realizados em 2008.
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)
	FUNCIONÁRIO.Sexo=feminino FUNCIONÁRIO
 Matrícula =ALOCAÇÂO.Func-Matrícula
PROJETO.Valor<100.00,00^ALOCAÇÂO.Data-inicio>=01/01/2008^ALOCAÇÂO.Data-érmino<=31/12/2008 
PROJETO ALOCAÇÂO
 Codigo = Proj-Codigo 
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RAV2
3.Buscar o nome e o CPF dos funcionários de sexo feminino alocados em projetos com valor inferior a 100.000,00, realizados em 2008.
PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor)
ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)
FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)
FUNCIONÁRIO.Nome, FUNCIONÁRIO.CPF FUNCIONÁRIO.Sexo=feminino FUNCIONÁRIO
 Matrícula =ALOCAÇÂO.Func-Matrícula
PROJETO.Valor<100.00,00^ALOCAÇÂO.Data-inicio>=01/01/2008^ALOCAÇÂO.Data-érmino<=31/12/2008 
PROJETO ALOCAÇÂO
 Codigo = Proj-Codigo 
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