segundalistaprova2crp199 (1)

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Lista 2-segunda prova CRP 199
Questão 1: Seja f(x) = x3 − 3x2 + 3. determine os valores de máximos e
mı́nimos de f em [−2, 3] e os pontos onde estes valores são atingidos.
Questão 2: Determine os números positivos cuja soma seja 4 e tal que a
soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mı́nima.
Questão 3: Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo
peŕımetro é 10m.
Questão 4: Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu
quadrado seja máxima.
Questão 5: Determine o número real positivo, não nulo, cuja soma com o
inverso de seu quadrado seja mı́nima.
Questão 6: Determine a altura do cilindro circular reto de volume máximo
inscrito na esfera de raio R.
Questão 7: Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a
partir de pedaçõs de papelão com 12cm2, cortando quadrados iguais dos qua-
tros cantos e dobrando os lados para cima. Encontre o comprimento do lado
do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior volume posśıvel.
Questão 8: Um fabricante de latas sem tampas deseja usar folhas de alumı́nio
com dimensões de 8cm por 15cm, cortando quadrados iguais dos quatros
cantos edobrando os lados para cima. Encontre o comprimento do lado do
quadrado a ser cortado, a fim de obter de cada folha de alumı́nio uma lata
contendo o maior volume posśıvel.
Questão 9: Se um dos lados de um campo retangular for um rio, ache as
dimensões do campo de maior área que pode ser fechado usando 240m de
cerca para os outros 3 lados.
Questão 10: Suponha que o fabricante do exerćıcio 8 faça as latas de
pedaços de alumı́nio com kcm de lado. Determine o comprimento do qua-
drado a ser cortado de tal forma que o volume da caixa seja máximo.
Questão 11: Ache as dimensões do campo retangular de maior área, que
pode ser fechado com 240m de cerca.
Questão 12: Ache as dimensões do campo retangular de maior área que
pode ser cercado com 100m de cerca.
Questão 13: Os pontos A e B estão em lados opostos de um rio reto com
3km de largura. O ponto C está a mesma margem que B, mas 2 km abaixo.
Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo
por km do cabo é 25% maior sob a água do que em terra, como deve ser
estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor posśıvel para a compa-
nhia?
Questão 14: Paulo tem 1000 metros de grades com os quais ele pretende
construir um cercado retangular para seu pequeno Poodle francês. quais as
dimensões do cercado retangular de área máxima?
Questão 15: Uma lata ciĺındrica de estanho(sem tampa) tem volume de 5
cent́ımetros cúbicos. Determine suas dimensões se a quantidade de estanho
para a fabricação da lata é mı́nima.
Questão 16: Paulo mora numa ilha a 6 km da praia e sua namorada Ana
mora 4 km praia acima. Paulo pode remar seu barco a 3 km por hora e pode
andar a 5 km por hora na praia. Encontre o tempo mı́nimo gasto por Paulo
para alcançar a casa de ana vindo de sua ilha.
Questão 17: Um triângulo isósceles tem uma base de 6 unidades e uma
altura de 12 unidades. encontre a área m,áxima posśıvel de um retângulo
que pode ser colocado dentro do triângulo com um dos lados sobre a base do
triângulo. quais as dimensões do retângulo de área máxima?
Questão 18: Um fabricante de refresco deseja fabricar latas ciĺındricas para
seu produto. a lata deve conter o volume de 220 cent́ımetros cúbicos. encon-
tre as dimensões da lata que exijam a menor quantidade de material.
Questão 19: Um departamento estatal de estradas planeja construir uma
nova rodovia entre as cidades A e B. Pela cidade A passa uma estrada aban-
donada que tem a direção leste-oeste. A cidade B situa-se a 3 km ao norte do
ponto da estrada abandonada que fica 5 km a leste da cidade A. A divisão de
engenharia propõe que a rodovia seja constrúıda restaurando-se uma parte
da estrada antiga de A até um ponto P e depois juntando-a a uma nova-
estrada ligando P à cidade B. Se o custo da restauração da estrada antiga
é R$200000, 00 por km e o custo da nova estrada é R$400000, 00 por km,
quanto da estrada antiga deve ser restaurado de modo a minimizar o custo
do departamento?
Questão 20:Determine a derivada em cada ponto cŕıtico e determine os ex-
tremos locais.
(a) y = x
2
3 (x+ 2) (b) y = x
2
3 (x2 − 4)
(c) y = x
√
4− x2 (d) y = x2
√
3− x
(e) y =
{
4− 2x, x ≤ 1
−x+ 1, x > 1 (f) y =
{
3− x, x < 0
3 + 2x− x2, x ≥ 0
Questão 21: Seja f(x) = (x− 2) 23 .
(a) f
′
(2) existe?
(b) Demonstre que o único extremo local ocorre em x = 2.
Questão 22: Seja f(x) = |x3 − 9x| (a) f ′(0) existe?
(b) f
′
(3) existe?
(c) f
′
(−3) existe?
(d) Calcule os extremos de f .
Questão 23: É necessário construir uma rodovia para ligar as cidades A e B.
Há uma antiga estrada que pode ser melhorada 50 km ao sul da linha que liga
as duas cidades. o custo da modernização é R$300000, 00 por km, enquanto
a contrução de uma nova rodovia custa R$500000, 00 por km.Determine a
combinação da modernização e da nova construção que permite minimizar o
custo da conexão as duas cidades.
Questão 24: Duas torres têm respectivamente 50 e 30 metros de altura,
estando separadas por uma distância de 150 metros. Um cabo guia deve ser
estendido de um ponto A ( entre as duas torres) até o topo de cada uma das
torres. Localize exatamente o ponto A de modo que o comprimento total do
cabo seja mı́nimo.
Questão 25: A função f(x) = x(10 − 2x)(16 − 2x), 0 < x < 5 define o
volume de uma caixa. determine os valores extremos de V .
Questão 26: A função p(x) = 2x + 200
x
, 0 < x < ∞ define o peŕımetro de
um retângulo cujos lados medem x e 100
x
. determine os extremos de P .
Questão 27: Qual a maior área posśıvel de um triângulo retângulo cuja
hipotenusa mede 5cm.
Questão 28: Será constrúıdo um campo de atletismo retangular, com x
unidades de comprimento, tendo nas extremidades duas áreas semicirculares
com raio r. O campo terá em volta uma pista para corrida com 400m de
extensão.
(a) Expresse a área da porção retangular do campo só em função de x ou só
em função de r.
(b) Quais valoresde x e de r dão a porção retangular a maior área posśıvel?
Questão 29: Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de
raio 2. qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais são suas di-
mensões?
Questão 30: Um retãngulo tem sua base no eixo x e seus dois vértices su-
periores na parábola y = 12−x2. quais são as dimensões e qual a maior área
que este retângulo pode ter?
Questão 31: A altura de um objeto que se desloca verticalmente é dada
por s = −16t2 + 96t+ 112 com s em metros e t em segundos. determine
(a) a velocidade do objeto quando t = 0.
(b) A altura máxima e quando ela ocorre.
(c) sua velocidade quando s = 0.