Prova 1 - Cálculo Numérico

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Avaliação I - Cálculo Numérico (MAT28)
Período para responder18/08/2021 - 03/09/2021
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1Uma equação do segundo grau pode apresentar duas raízes reais e diferentes, duas raízes reais e iguais ou não apresentar raízes reais. Para qual valor de k a equação x² - 2x - k = 0 possui duas raízes reais e iguais?
A)  k = 4.B)  k = 1.C)  k = -1.D)  k = -4.
2Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico por meio de um modelo matemático, raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são necessárias várias simplificações do mundo físico para que se tenha um modelo matemático com o qual se possa trabalhar. Inevitavelmente, o erro inicial ou erro de modelagem é a soma das incertezas introduzidas no equacionamento do problema, na medição dos parâmetros, nas condições iniciais etc. Sobre os erros de modelagem, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Dado um problema físico, existem vários modelos que podem ser usados na sua resolução.
(    ) O resultado esperado sempre coincide com o que é, de fato, encontrado ao aplicarmos um modelo no problema.
(    ) O modelo que utilizamos para descrever um problema físico contemplará todas as variáveis envolvidas.
(    ) Se o modelo utilizado para descrever o fenômeno for bem escolhido, não haverá erro de modelagem.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A)  V - F - F - F.B)  F - V - V - F.C)  V - V - F - V.D)  F - F - V - F.
3Para que uma equação do segundo grau apresente como raízes apenas números complexos, o discriminante deve ser negativo. Dada a equação x² - 2x + t = 0, para quais valores de t a equação tem como raízes apenas números complexos?
A)  t > 4B)  t > 1C)  t < 1D)  t > 2
4No campo das ciências exatas, os sistemas de equações são utilizados na organização de informações, que são agrupadas em linhas e colunas, formando agrupamentos retangulares, chamados de matrizes. Estas matrizes, em geral, são tabelas de dados numéricos oriundos de observações físicas que ocorrem em vários contextos das diversas áreas do conhecimento, como: Matemática, Física, Química, Engenharia etc. Na sequência, será apresentado um estudo de caso envolvendo uma empresa que trabalha com a realização de eventos festivos:
O sr. Geraldo pertence ao grupo de empresários que atuam no ramo de organização de eventos. Segundo o sr. Geraldo, os eventos festivos movimentam bilhões de reais por ano e, nesse caso, pedir ajuda para um especialista é investir para não ficar estressado. De acordo com a opinião do sr. Geraldo, prestar uma consultoria completa para que os clientes não fiquem perdidos em meio a tantas ofertas e detalhes não é mais uma novidade no mercado de serviços. A GL Organização de Eventos entra em jogo para organizar os custos de cada cliente e para apresentar fornecedores, centralizar contratos, negociar pagamentos etc. Minutos antes do evento, a empresa certifica-se de que todas as encomendas chegaram (das flores aos doces), cuida da organização e da festa. O sr. Geraldo e toda sua equipe adoram esse trabalho, tendo em vista que a recompensa de ver o evento animado, o cliente feliz, não tem preço. É dessa forma que cada evento é feito sob medida, com atendimento personalizado, flexibilidade e organização, tudo para que o sonho se torne realidade. Em contato com o sr. Geraldo, foi possível obter informações referentes aos seguintes eventos: festa de batizado, debutantes e casamento. Os gastos por evento estão relacionados na tabela a seguir:
A)  O batizado tem o valor de R$30.000,00. O debutantes tem o valor de R$75.000,00. E o casamento tem o valor de R$65.000,00.B)  O batizado tem o valor de R$35.000,00. O debutantes tem o valor de R$75.000,00. E o casamento tem o valor de R$60.000,00.C)  O batizado tem o valor de R$30.000,00. O debutantes tem o valor de R$80.000,00. E o casamento tem o valor de R$60.000,00.D)  O batizado tem o valor de R$35.000,00. O debutantes tem o valor de R$70.000,00. E o casamento tem o valor de R$65.000,00.
5Durante a resolução numérica de um problema matemático podem ocorrer certos erros que farão com que o resultado encontrado não coincida exatamente com o resultado esperado. Um erro de resolução pode ser justificado por:
A)  Impossibilidade de representar todos os algarismos significativos dos números na resolução numérica do problema.B)  Limitação do modelo matemático escolhido para solucionar numericamente o problema.C)  Escolha inadequada do modelo matemático que deve descrever e resolver a situação-problema.D)  Troca de um sinal ou erro de cálculo cometido no decorrer da resolução do problema.
6Para encontrar a solução de um sistema linear S via método de Gauss, precisamos fazer alguns pivotamentos na matriz estendida de S. Neste sentido, considere o sistema linear a seguir e determine o primeiro pivotamento:
A)  Somente a opção III está correta.B)  Somente a opção II está correta.C)  Somente a opção I está correta.D)  Somente a opção IV está correta.
7Para que uma equação do segundo grau apresente como solução duas raízes reais e iguais, é necessário que o discriminante seja igual a zero.  Dada a equação x² - 4x + k = 0, para qual valor de k a equação tem duas raízes reais e iguais?
A)  k = 2B)  k = 4C)  K =16D)  K = 8
8Equação fracionária é aquela que possui, pelo menos, um termo que é uma fração algébrica, ou seja, pelo menos um termo que apresente incógnita no denominador. A equação fracionária a seguir possui como raízes:
A)  Somente a opção III está correta.B)  Somente a opção II está correta.C)  Somente a opção IV está correta.D)  Somente a opção I está correta.
9Quando estudamos os Sistemas de Equações Lineares, deparamos com situações diversas, na qual se classificam em: possível e determinado, possível e indeterminado, indeterminado, convergente ou divergente. Para verificar se um Sistema de Equações Lineares é Convergente ou Divergente, existem dois critérios. O primeiro se chama Critério de Linhas, e diz o seguinte: para cada linha k da matriz de coeficientes de um sistema, considere a soma dos elementos desta linha em seus valores absolutos com exceção do valor que pertence à diagonal principal, tendo em vista que esse valor irá dividir a soma. Realizando este processo para todas as linhas, é necessário verificar se o maior deles é menor do que a unidade. Se for, a sequência de elementos que encontraremos no processo de iteração converge para a solução do sistema. O segundo critério recebe o nome Sassenfeld, ou seja, Gauss-Seidel, que também gera uma sequência (x^k) convergente para a solução do sistema, independentemente da escolha da aproximação inicial xo. Além disso, quanto menor for o valor adotado para B, mais rápida será a convergência. Trabalhando com o critério de linhas, método de Jacobi e, ao mesmo tempo, com o método de Gauss-Seidel, critério de Sassenfeld, faça uma análise do sistema linear a seguir, verificando se o resultado é convergente ou divergente e, na sequência, assinale a alternativa CORRETA:
A)  O sistema satisfaz somente o critério de linhas, convergência garantida.B)  O sistema satisfaz os dois métodos, ou seja, os dois critérios garantem a convergência.C)  O sistema é convergente e divergente ao mesmo tempo.D)  O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida.
10O sistema binário ou de base 2 é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam com base em dois números, ou seja, zero e um. Um computador realizou cálculos no sistema binário, e o resultado foi (1000001). Qual é o resultado no sistema decimal?
A)  O resultado será 62.B)  O resultado será 58.C)  O resultado será 65.D)  O resultado será 60.
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