Problemas_derivadas

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TAXAS RELACIONADAS
Velocidade e Aceleração – Taxa de Variação
Suponhamos que uma partícula desloca-se sobre o eixo OX com função de posição 
, 
fornece a cada instante a posição ocupada pela partícula na reta.
A velocidade da partícula no instante t é definida como sendo a derivada de f em t.
A aceleração no instante t é definida como sendo a derivada em t da função 
.
Exemplo 1: Uma partícula move-se sobre o eixo OX de modo que no instante t a posição x é dada por 
, onde x é dado em metros e t em segundos.
Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes t=0, t=1 e t=2.
Qual a velocidade no instante t?
Qual a aceleração no instante t?
Esboce o gráfico da função de posição.
Exemplo 2: Uma partícula move-se sobre o eixo OX de modo que no instante t a posição x é dada por 
, onde x é dado em metros e t em segundos.
Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes 
 e 
.
Qual a velocidade no instante t?
Qual a aceleração no instante t?
Esboce o gráfico da função de posição.
Exemplo 3: Um ponto move-se ao longo do gráfico de 
 de tal modo que a sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 3cm/s. Qual é, quando x= 4 cm a velocidade da ordenada y?
Exemplo 4: O raio de uma esfera está variando com o tempo, a uma taxa constante de 5 m/s. com que taxa estará variando o volume da esfera no instante em que r = 2m?
Exemplo 5: Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 
, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 
 do solo?
Exemplo 6: A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000L/min? (raio 
do cilindro igual a 1m).
Exemplo 7: Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto invertido, de água a uma taxa de 
. O vértice está a 15 m do topo e o raio do topo é de 10m . Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h = 5m? 
O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA
Mostraremos neste momento como o sinal da derivada primeira (
) pode ser usado para determinar onde (intervalo) uma função 
 é crescente ou decrescente. Informação que poderá ser útil na classificação dos extremos locais de uma função.
Exemplo 1: Seja 
 definida por 
. (a) Determinar os intervalos em que 
 é crescente e os intervalos em que 
 é decrescente. (b) Esboçar o gráfico de 
.
Teste da derivada Primeira
Exemplo 2: Seja 
 definida por 
. (a) Determinar os intervalos em que 
 é crescente e os intervalos em que 
 é decrescente. (b) Esboçar o gráfico de 
.
Exemplo 3: Seja 
 definida por 
. (a) Determinar os intervalos em que 
 é crescente e os intervalos em que 
 é decrescente. (b) Esboçar o gráfico de 
.
CONCAVIDADE E O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA
Usaremos o sinal da derivada segunda (
) para determinar onde a derivada 
 é crescente e onde ela é decrescente.
Teste da Concavidade
Exemplo 1: Se 
. Determine os intervalos em que o gráfico de 
 é côncavo para cima ou côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico de 
.
Teste da Derivada Segunda
Exemplo 2: Se 
, use o teste da derivada segunda para determinar os extremos locais de 
. Discuta a concavidade, ache os pontos de inflexão e esboce o gráfico de 
.
Exemplo 3: Estude f com relação a concavidade e determine os pontos de inflexão se existirem.
a) 
b) 
c) 
6 m
Seja � EMBED Equation.3 ��� contínua em � EMBED Equation.3 ��� e diferenciável em � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ��� para todo � EMBED Equation.3 ��� em � EMBED Equation.3 ���,então � EMBED Equation.3 ��� é crescente em � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ��� para todo � EMBED Equation.3 ��� em � EMBED Equation.3 ���,então � EMBED Equation.3 ��� é decrescente em � EMBED Equation.3 ���.
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Seja � EMBED Equation.3 ��� um número crítico de � EMBED Equation.3 ���, e suponhamos � EMBED Equation.3 ��� contínua em � EMBED Equation.3 ��� e diferenciável em um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ��� contendo � EMBED Equation.3 ���, exceto possivelmente no próprio � EMBED Equation.3 ���
Se � EMBED Equation.3 ��� passa de positiva para negativa em � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� é máximo local de � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ��� passa de negativa para positiva em � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� é mínimo local de � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ��� ou � EMBED Equation.3 ��� para todo� EMBED Equation.3 ��� em� EMBED Equation.3 ���exceto � EMBED Equation.3 ���, então� EMBED Equation.3 ��� não é extremo local de � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ��� for diferenciável em um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ���. O gráfico de � EMBED Equation.3 ��� é
Côncavo para cima em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ��� é crescente em � EMBED Equation.3 ���.
Côncavo para baixo em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ��� é decrescente em � EMBED Equation.3 ���.
� EMBED Equation.3 ���
x
y
� EMBED Equation.3 ��� decrescente
� EMBED Equation.3 ���
Gráfico côncavo para baixo
� EMBED Equation.3 ���
x
y
� EMBED Equation.3 ��� crescente
� EMBED Equation.3 ���
Gráfico côncavo para cima
Se a derivada segunda � EMBED Equation.3 ��� de � EMBED Equation.3 ��� existe em um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ���, então o gráfico de � EMBED Equation.3 ��� é
Côncavo para cima em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ��� em � EMBED Equation.3 ���.
Côncavo para baixo em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ���em � EMBED Equation.3 ���.
Um ponto � EMBED Equation.3 ��� do gráfico de � EMBED Equation.3 ��� é um ponto de inflexão se são verificadas as duas condições:
� EMBED Equation.3 ��� é contínua em � EMBED Equation.3 ���.
Existe um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ��� contendo � EMBED Equation.3 ��� tal que o gráfico é côncavo para cima em � EMBED Equation.3 ��� e côncavo para baixo em � EMBED Equation.3 ���, ou vice versa.
Seja � EMBED Equation.3 ��� diferenciável em um intervalo aberto contendo � EMBED Equation.3 ���, e � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� tem máximo local em � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� tem mínimo local em � EMBED Equation.3 ���.
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