derivada e integral complexa

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VARIÁVEIS
COMPLEXAS
Tiago Loyo Silveira
 
Derivação e integração 
complexa
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir derivada de funções complexas.
  Conceituar integral de uma função complexa.
  Determinar a derivada e a integral de algumas variáveis complexas.
Introdução
Neste capítulo, você verá os conceitos de derivadas e integrais de funções 
de variáveis complexas. Em muitos aspectos, ambas são semelhantes 
às derivadas e integrais reais, mas é justamente o que as diferencia que 
constitui a importância para as funções de variáveis complexas.
Você verá que as integrais complexas, diferentemente das reais, não 
representam uma área, mas um contorno ou traçado. Dessa forma, as 
funções complexas traçam caminhos, que, de certa forma, podem parecer 
irregulares, mas têm diversas aplicações práticas, desde o simples períme-
tro de curvas irregulares até aplicações nas engenharias, relacionadas à 
eletricidade e aos comprimentos de onda, que podem ser convergentes 
ou divergentes.
Derivada de funções complexas
A derivada de uma função de variável complexa é similar a uma função de 
variável real em quase todos os aspectos. Uma das diferenças fi ca por conta 
do limite existente na defi nição da derivada. Nas funções de variáveis com-
U N I D A D E 2
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bnervis
Retângulo
bnervis
Retângulo
plexas, é de dimensão dois. A defi nição de derivada de uma função 
de variável complexa é dada por:
Se existe esse limite, a função f possui derivada . Uma mesma re-
presentação simplificada para seria . Observe, ainda, que, Δz é a 
variação . Dessa forma, a definição da derivada complexa ainda pode 
ser escrita da seguinte forma:
Usando propriedades básicas de limites e derivadas, podemos citar algumas 
derivações complexas.
Sendo z um número complexo; e , funções deriváveis de z; c, uma 
constante complexa; e . Temos:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
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10. 
11. uma função composta, onde existe no 
ponto e existe.
Condições necessárias e condições suficientes 
para a existência da derivada
Vamos enunciar dois teoremas. O primeiro trata das condições necessárias 
para que uma função de uma variável complexa seja derivável, e o segundo 
traz as condições para a existência da derivada da função. As condições são 
sobre as partes real e imaginária da função complexa decomposta em duas 
funções reais de variáveis reais.
Condições necessárias
Se a derivada de uma função f(z) = u(x,y) + iv(x,y) existe em um ponto 
z, então as derivadas parciais de primeira ordem, em relação a x e y de cada 
uma das partes u e v, existem nesse ponto e satisfazem às condições de 
Cauchy-Riemann.
 e 
Além disso, a derivada da função f é dada por .
Condições suficientes
Sejam u = u(x,y) e v = v(x,y) funções reais com derivadas parciais de primeira 
ordem, contínuas em um ponto .
Se essas derivadas satisfazem as condições de Cauchy-Riemann:
 e 
Então, nesse ponto, a derivada da função f = u + iv existe, sendo z 
= x + yi e .
35Derivação e integração complexa
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Conheça mais sobre as equações de Cauchy-Riemann (INSTITUTO GOIANO DE MA-
TEMÁTICA, 2010; IEEEACADEMIC, 2014):
https://goo.gl/pxeWXF
https://goo.gl/XQdHsH 
Integral de funções complexas
Sabemos que, nas funções de variáveis reais, uma integração representa a 
determinação de uma área. Nos números complexos, isso não ocorre. Na 
verdade, não há uma interpretação geométrica para a integral de uma função 
de variáveis complexas. Defi ne-se a integral de uma função de variáveis 
complexas como um caminho ou curva.
Escrevemos uma função f de variáveis complexas na sua forma decomposta 
em duas funções de variáveis reais f(t) = u(t) + iv(t), onde u = u(x,y) e v = v(x,y). 
Sendo uma curva contínua. A integral de f no intervalo [a,b] é 
definida da seguinte forma:
Ou seja, a integral da função de variáveis complexas é igual à soma das 
integrais das funções de variáveis reais.
Nas integrais complexas, valem as seguintes propriedades:
1. 
2. 
3. 
Derivação e integração complexa36
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https://goo.gl/pxeWXF
https://goo.gl/XQdHsH
4. , onde c é uma constante
5. 
Dissemos que a diferença na integral de uma função de variáveis reais e 
uma função de variáveis complexas é que essa última é um caminho ou curva. 
Então, vamos definir caminhos e curvas.
Sejam x = x(t) e y = y(t) funções contínuas de uma variável t, definidas 
para t o intervalo [a,b]. Denomina-se curva o conjunto de todos os pontos 
(x,y) determinado pelas equações x = x(t) e y = y(t). As equações x = x(t) e y 
= y(t) são chamadas equações paramétricas da curva, e t é o seu parâmetro.
Quando x e y possuem derivadas contínuas para todo t no intervalo [a,b], 
dizemos que a curva em questão é suave. Um exemplo de curva suave são as 
circunferências. Observe a representação de uma circunferência parametrizada 
de centro na origem:
Dizemos que uma curva parametrizada é fechada 
se x(a) = x(b) e y(a) = y(b). Se, em cada ponto da curva, corresponder um único 
valor t (exceto quando t = a e t = b), dizemos que a curva é simples. 
Polígonos não entrelaçados como triângulos, quadriláteros ou circunferências são 
exemplos de curvas fechadas simples.
Consideramos sentido positivo sobre uma curva C, o sentido no qual a 
curva é traçada quando o parâmetro t cresce de a para b. O sentido oposto é 
chamado de negativo. Nesse caso, utilizamos –C para representar a curva no 
sentido negativo.
Já um caminho será definido por uma cadeia contínua e finita de curvas 
suaves (Figura 1).
37Derivação e integração complexa
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Figura 1. Caminho composto de 5 curvas.
Integrais de curvas
Sejam C uma curva representada por x = x(t), y = y(t) com e f 
uma função da variável complexa z = x + yi, contínua em C. A integral cur-
vilínea de f, ao longo de C, que denotamos por , é defi nida como 
.
Note que a integral pode ser escrita como:
As propriedades da integral de curva são semelhantes às propriedades 
das integrais definidas. Nas propriedades a seguir, vamos considerar que C é 
suave e que são funções contínuas sobre C.
  , onde c é uma constante.
  , onde C é um caminho de 
E até F e de F até G.
Derivação e integração complexa38
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Figura 2. Soma de integrais de caminhos suaves.
 
 
  Se para todo z em C, então
onde L é o comprimento de C, ou seja:
Derivadas e integrais de funções 
de variáveis complexas
Agora, conhecemos os processos básicos que envolvem a derivação e a 
integração de funções complexas. Sabemos que derivação e integração 
caminham de paralelamente, então vejamos o seu desenvolvimento nos 
exemplos abaixo.
39Derivação e integração complexa
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Derivadas de funções de variáveis complexas
Mostre que .
Solução:
Calcule a derivada da função em um ponto qualquer.
Solução:
Usando as propriedades do cubo de uma soma, temos:
Como, em nosso limite inicial, , então as parcelas 
tendem a zero. Logo, a derivada da função para um ponto 
qualquer é .
Integrais de funções de variáveis complexas
Considere a função . Calcule o valor da integral , 
onde C é o segmento reto de z = 0 a z = 1 + i.
Derivação e integração complexa40
02996_Variaveis_Complexas.indb 40 21/03/2018 15:17:46
Solução:
Graficamente, nosso caminho deve ser conforme a Figura 3.
Figura 3. Caminho.
Uma possível parametrização para a curva C é 
Usando :
Temos:
41Derivação e integração complexa
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Se C é o contorno do quadrado com vértices nos pontos z = 0, z = 1, z = 1 
+ i e z = i, mostre que .
Solução:Para calcular a integral, dividimos C em quatro caminhos , 
conforme mostra a Figura 4.
Figura 4. Caminho de integração.
Dessa forma, temos, como equações paramétricas:
Em todos as equações, .
Como , podemos escrever .
Usando , temos:
Derivação e integração complexa42
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Então, 
Reveja as parametrizações de curvas e a sua representação no plano cartesiano (O 
MATEMÁTICO, 2014):
https://goo.gl/dkntst
A constante de Euler tem diversas aplicações em funções naturais. No vídeo do link 
abaixo, você poderá relembrar os conceitos desse irracional e acompanhar a sua 
aplicação em funções de variáveis complexas (AMARAL, 2016):
https://goo.gl/Au6uBv 
43Derivação e integração complexa
02996_Variaveis_Complexas.indb 43 21/03/2018 15:17:47
https://goo.gl/dkntst
https://goo.gl/Au6uBv
1. Dada a função , com z 
≠ 0. Qual é o valor de ?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Calcule a derivada da 
função polinomial 
.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. Calcule a primeira 
derivada da função 
.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. Calcule a integral da função 
 ao longo do caminho C 
de função 
— caminho retilíneo ligando 
os pontos (0,0) a (2,4).
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. Calcule a integral ao 
longo do caminho C, onde 
, 
com , conforme a 
Figura de suporte abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) i
e) 
Derivação e integração complexa44
02996_Variaveis_Complexas.indb 44 21/03/2018 15:17:48
AMARAL, B. A Exponencial Complexa. YouTube, 2016. Disponível em: <https://www.
youtube.com/watch?v=KvW_uu2xT74>. Acesso em: 21 fev. 2018.
IEEEACADEMIC PORTUGAL. As equações de Cauchy-Riemann I. YouTube, 2014. Disponí-
vel em: <https://www.youtube.com/watch?v=TREDJwsdNFs>. Acesso em: 21 fev. 2018.
INSTITUTO GOIANO DE MATEMÁTICA. Equações de Cauchy-Riemann. Goiânia, 2010. 
Disponível em: <http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_con
tent&view=article&id=445%3Acauchy&catid=38%3Aconteudosfvc&Itemid=40>. 
Acesso em: 21 fev. 2018.
O MATEMÁTICO. Grings — Gráfico de curvas paramétricas — Aula 1. YouTube, 2014. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=tGzAQBSXwng>. Acesso em: 
21 fev. 2018.
Leituras recomendadas
JESUS, D. V. Aplicações do teorema do resíduo. 2007. 79 f. Trabalho de Conclusão de Curso 
(Licenciatura em Matemática) — Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 
2007. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96550/
Daynitti.pdf?sequence=1>. Acesso em: 20 fev. 2018.
MORICONI, M. Variáveis complexas e aplicações: a vida é mais simples no plano com-
plexo.Niterói: UFF, [2018]. Disponível em: <http://profs.if.uff.br/moriconi/complex/
complex.pdf>. Acesso em: 20 fev. 2018.
SANTOS, J. C. S. O. Análise complexa: resolução de alguns exercícios do capítulo 2. 
Porto: Universidade do Porto, 2017. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/
PDF/analise_complexa/solucao2.pdf>. Acesso em: 21 fev. 2018.
ZANI, S. L. Funções de uma variável complexa. São Paulo: USP, 2018. Disponível em: 
<http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/szani/complexa.pdf>. Acesso em: 20 fev. 2018.
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http://youtube.com/watch?v=KvW_uu2xT74
https://www.youtube.com/watch?v=TREDJwsdNFs
http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_con
https://www.youtube.com/watch?v=tGzAQBSXwng
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96550/
http://profs.if.uff.br/moriconi/complex/
http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/
http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/szani/complexa.pdf
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
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