Matemática - Proporcionalidade

Prévia do material em texto

Matemática – TRT 9ª Região 
Prof.: Braian Azael da Silva 
Facebook: Braian Azael 
email: braian_matpuc@hotmail.com 
GRANDEZA 
TUDO QUE PODE SER CONTADO OU MEDIDO. 
• COMPRIMENTO 
• MASSA 
• TEMPERATURA 
• VELOCIDADE 
RAZÃO 
A RAZÃO ENTRE O NÚMEROS E É a b
b
a
USAMOS PARA COMPARAR GRANDEZAS. 
EXEMPLO 
Escala maior 
Escala menor 
EXERCÍCIOS 
Em uma prova de testes, Carlos acertou 28 questões e 
errou 12. 
a) Qual a razão da quantidade de acertos e a 
quantidade de erros? 
b) Qual a razão entre o número de erros e o total de 
questões? 
3/7
10/3
PROPORÇÃO 
IGUALDADE DE DUAS RAZÕES. 
b
a
d
c
... está para ... assim como ... está para... 
PROPORÇÃO 
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL 
d
c
b
a
cbda
Dada a proporção: 
 
 
 
O valor de X na proporção é 
a) 15 
b) 20 
c) 65 
d) 68 
e) 80 
 
x
60
20
15
EXERCÍCIO 
Ao receber certa quantia, Fábio guardou R$ 252,00 e 
gastou o restante. Se a razão entre a quantia gasta e 
a recebida por Fábio é 7/9, quanto ele gastou? 
a) R$ 196,00 
b) R$ 324,00 
c) R$ 882,00 
d) R$ 1.134,00 
e) R$ 1.764,00 
 
EXERCÍCIO 
Um pipoqueiro observou que, de cada 12 saquinhos 
de pipoca que vendia, 5 eram de pipoca salgada e os 
restantes, de pipoca doce. Considerando-se essa 
proporção, se ele vender 96 saquinhos de pipoca, 
quantos serão de pipoca doce? 
a) 8 
b) 20 
c) 40 
d) 48 
e) 56 
 
EXERCÍCIO 
72, 56, 90 e x formam, nesta ordem, uma proporção. 
Qual é o valor de x? 
Dois números somados totalizam 49. Sabe-se um deles 
está para 3 assim como o outro está para 4. Quais são 
esses números? 
EXERCÍCIOS 
70
2821
GRANDEZAS 
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Enquanto uma grandeza cresce, a outra grandeza 
também cresce, proporcionalmente a primeira. 
GRANDEZAS 
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Enquanto uma grandeza cresce, a outra grandeza 
decresce, proporcionalmente a primeira. 
EXEMPLOS 
batata 
(kg) 
preço 
(R$) 
1
4
5
20
10
40
5
5
10
10
EXEMPLOS 
velocidade 
(km/h) 
Tempo 
(h) 
50
4
100
2
125
6,1
2
2
5,2
5,2
Números Proporcionais 
Os números x,y,z são diretamente 
proporcionais a m,n,o, quando 
temos: 
m
x
n
y
o
z
k
:k constante de proporcionalidade 
Os números x,y,z são inversamente 
proporcionais a m,n,o, quando 
temos: 
mx ny oz k
:k constante de proporcionalidade 
Números Proporcionais 
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a
db
ca
Propriedades de proporção 
Propriedades de proporção 
8
4
2
1
10
5
3
7
9
21
6
14
Exemplos: 
2
x
3
y
5
z
7
w
k 51wzyx
kx 2
ky 3
kz 5
kw 7
517532 kkkk
5117k
3k
Divisão em partes proporcionais 
Exemplo 1: Divida 51 em partes 
diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e 7 
2
x
3
y
5
z
7
w
k 51wzyx
6x
ky 3
kz 5
kw 7
517532 kkkk
5117k
3k
Exemplo 1: Divida 51 em partes 
diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e 7 
Divisão em partes proporcionais 
2
x
3
y
5
z
7
w
k 51wzyx
6x
9y
kz 5
kw 7
517532 kkkk
5117k
3k
Exemplo 1: Divida 51 em partes 
diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e 7 
Divisão em partes proporcionais 
2
x
3
y
5
z
7
w
k 51wzyx
6x
9y
15z
kw 7
517532 kkkk
5117k
3k
Exemplo 1: Divida 51 em partes 
diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e 7 
Divisão em partes proporcionais 
2
x
3
y
5
z
7
w
k 51wzyx
6x
9y
15z
21w
517532 kkkk
5117k
3k
Exemplo 1: Divida 51 em partes 
diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e 7 
Divisão em partes proporcionais 
Exercício 
Um pai deixou para seus filhos uma herança no 
valor de $5.500,00 para ser dividida entre eles na 
razão direta do número de dependentes de cada 
um. Sabendo-se que o primeiro herdeiro tem 2 
dependentes, o segundo 3 e o terceiro 5, coube 
na partilha ao primeiro herdeiro a quantia de $: 
 
a) 1.000,00 b) 1.100,00 e) 1.650,00 
c) 1.200,00 d) 1.300,00 
 
x2 y5 130zyx
2
k
x
5
k
y
6
k
z
130
652
kkk
130
30
5615 kkk
z6 k
Exemplo 2: Divida 130 em partes 
inversamente proporcionais a 2, 5 e 6 
Divisão em partes proporcionais 
130zyx
130
652
kkk
130
30
5615 kkk
390026k
150k
Exemplo 2: Divida 130 em partes 
inversamente proporcionais a 2, 5 e 6 
Divisão em partes proporcionais 
390026k
150k
2
k
x
5
k
y
6
k
z
Exemplo 2: Divida 130 em partes 
inversamente proporcionais a 2, 5 e 6 
Divisão em partes proporcionais 
390026k
150k75x
5
k
y
6
k
z
Exemplo 2: Divida 130 em partes 
inversamente proporcionais a 2, 5 e 6 
Divisão em partes proporcionais 
390026k
150k75x
30y 6
k
z
Exemplo 2: Divida 130 em partes 
inversamente proporcionais a 2, 5 e 6 
Divisão em partes proporcionais 
390026k
150k75x
30y
25z
Exemplo 2: Divida 130 em partes 
inversamente proporcionais a 2, 5 e 6 
Divisão em partes proporcionais 
Exercício 
Dividindo $66.000,00 em partes inversamente 
proporcionais a 1, 2 e 3, a maior parte 
corresponderá a: 
 
a) $ 24.000,00 
b) $ 33.000,00 
c) $ 36.000,00 
d) $ 44.000,00 
e) $ 60.000,00 
 
A divisão do número de vereadores de determinada 
cidade é proporcional ao número de votos que cada 
partido recebe. Na última eleição nesta cidade, 
concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam 
a seguinte votação: A teve 10 000 votos, B teve 20 000 
e C, 40 000. Se o número de vereadores dessa cidade é 
21, quantos deles são do partido B? 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
EXERCÍCIO 
(FCC) Certo dia, três auxiliares judiciários protocolaram 
153 documentos e, curiosamente, foi observado que as 
quantidades que cada um havia protocolado eram 
inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se 
um deles tinha 24 anos, o outro 30 anos e o terceiro, 32 
anos, então o número de documentos protocolados pelo 
mais velho era 
a) 35 
b) 42 
c) 45 
d) 52 
e) 60 
 
EXERCÍCIO 
(FCC) Um prêmio em dinheiro é repartido entre 3 
pessoas em partes inversamente proporcionais às 
suas idades, ou seja, 24, 36 e 48 anos. Se a pessoa 
mais nova recebeu R$ 9.000,00 a mais que a mais 
velha, então a pessoa que tem 36 anos recebeu 
a) R$ 9.000,00. 
b) R$ 12.000,00. 
c) R$ 15.000,00. 
d) R$ 18.000,00. 
e) R$ 21.000,00. 
 
EXERCÍCIO 
A B 
16 60 
12 X 
8 120 
4 240 
EXERCÍCIO 
(FCC) Na tabela abaixo, a sequência de números da 
coluna A é inversamente proporcional à sequência de 
números da coluna B. 
 
 
 
 
 
 
 
A letra X representa o número 
a) 90. 
b) 80. 
c) 96. 
d) 84. 
e) 72. 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
diasempáginasLeio 20 10 
?150 diasempáginasQuantas 
pág dias
10 20
x 150 150020x
75x
DIRETAMENTE PROPORCIONAL 
150
2010
x
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
!146min10 horaporkmaemChego 
?80 horaporkmatempoQuanto 
tempo hkm /
10 146
x 80
146080x
25,18x
INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
146
8010
x
EXERCÍCIO 
Uma torneira enche uma caixa d`água em 12 horas. 
Quantas horas levarão 3 torneiras juntas pare encher a 
mesma caixa? 
a) 4 horas 
b) 3 horas 
c) 5 horas 
d) 2 horas 
e) 6 horas 
 
 
Um tecelão levou 12 horas para 
produzir um tapete, tecendo 6 metros 
por hora. Se ele trabalhasse tecendo 
9m/h, quanto tempo teria levado para 
tecer o mesmo tapete? 
 h8
EXERCÍCIO 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
máquinas uniformes dias
x
16 720 6
2160 24
?incógnitaaestáonde diasemáquinasanalisamos uniformesemáquinasanalisamos 
16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes 
em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão 
necessárias para confeccionar 2160 uniformes em 
24 dias? 
máquinas uniformes dias
x
16 720 6
2160 24
INVERTE
x
16
2160
720
6
24
1296
172816
x
207361728x
12x
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
1728
20736
x
O processamento de 300 toneladas de lixo é realizado em 
28 horas por 5 máquinas. Se uma das máquinas quebrar, 
quantas horas as demais levarão para fazer o 
processamento de 900 toneladas de lixo? 
 
105
EXERCÍCIO 
Cinco trabalhadores de produtividade padrão e 
trabalhando individualmente beneficiam ao todo 40 kg de 
castanha por dia de trabalho de 8 horas. Considerando que 
existe uma encomenda de 1,5 toneladas de castanha para 
serentregue em 15 dias úteis, quantos trabalhadores de 
produtividade padrão devem ser utilizados para se atingir a 
meta pretendida, trabalhando dez horas por dia? 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25 
EXERCÍCIO 
Julgue o item que se segue. 
Se uma pessoa, trabalhando 4 horas por dia, gasta 10 dias 
para analisar 20 processos, então, mantendo-se as mesmas 
condições de trabalho e eficiência, ela também gastaria 10 
dias para analisar 40 processos, trabalhando 8 horas por 
dia. 
Certo Errado 
 
EXERCÍCIO 
Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, 
trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 
dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, 
com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em 
quantos dias a mesma obra ficaria pronta? 
a) 24 
b) 16 
c) 30 
d) 15 
e) 20 
EXERCÍCIO 
Considere que uma equipe de digitadores tenha sido 
destacada para a digitação de certo material. Sabendo 
que 3/5 da equipe, em 4 horas de trabalho, digitariam 30% 
do material e considerando que os elementos da equipe 
trabalham com a mesma eficiência, julgue o item seguinte. 
Em 10 horas de trabalho, para digitar todo o material, seria 
necessário utilizar 80% da equipe. 
Certo Errado 
EXERCÍCIO 
PORCENTAGEM 
1. Calcule 25% de 12. 
2. Calcule 12% de 50. 
3. Calcule 80% de 500. 
4. Calcule 40% de 80%. 
3
6
400
%32
PORCENTAGEM 
 Aumento de x% 
Queda de x% 
100
1
x
100
1
x
PORCENTAGEM 
5. R$ 10,00 com aumento de 40%. 
6. R$ 25,00 com aumento de 20%. 
7. R$ 80,00 com queda de 30%. 
8. R$ 62,00 com queda de 10%. 
14
30
56
8,55
PORCENTAGEM 
9. Dois aumentos sucessivos de 10%? 
CUIDADO!!! 
10. Duas quedas sucessivas de 10%? 
11. Um aumento de 10% e uma queda 
sucessiva de 10%? 
%1
%19
%21
PORCENTAGEM 
Do total de novos clientes de uma companhia de gás em 
2009, sabe-se que: 25% eram residenciais, 55% eram 
industriais e os 180 restantes eram comerciais. Nessas 
condições, com relação aos novos clientes dessa 
companhia em 2009, é correto afirmar que os 
a) industriais eram 1 200. 
b) residenciais eram 210. 
c) industriais eram 455. 
d) residenciais eram 245. 
e) industriais eram 495. 
 
EXERCÍCIO 
Um aparelho de som pode ser comprado em 4 prestações 
de R$ 150,00 ou à vista com 10% de desconto. Quanto será 
pago, em reais, se a compra for feita à vista? 
a) 480,00 
b) 500,00 
c) 520,00 
d) 540,00 
e) 560,00 
 
EXERCÍCIO 
Do total de funcionários da empresa Fios S/A, 20% são da 
área de Informática e outros 14% ocupam os 21 cargos de 
chefia. Quantos funcionários dessa 
empresa NÃO trabalham na área de Informática? 
a) 30 
b) 99 
c) 110 
d) 120 
e) 150 
 
EXERCÍCIO 
O enunciado abaixo refere-se à questão. 
 
 
 
 
Um retângulo tem área igual a 120 dm2. Esse retângulo 
sofre redução de 20% em sua altura. A fim de que a área do 
retângulo permaneça inalterada, a base sofre acréscimo. É 
correto afirmar que esse acréscimo corresponde a 
a) 15% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 35% 
 
 
EXERCÍCIO 
Em uma empresa, a razão do número de empregados 
homens para o de mulheres é 3/7. Portanto, a porcentagem 
de homens empregados nessa empresa é: 
a) 30% 
b) 43% 
c) 50% 
d) 70% 
e) 75% 
 
EXERCÍCIO 
Em uma empresa, 50% dos empregados têm conta 
no Facebook e no Twitter. Desses, 60% não têm conta 
no Orkut. Qual é o percentual dos empregados que têm 
conta no Facebook, no Twitter e no Orkut? 
a) 10% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 40% 
e) 50% 
 
EXERCÍCIO 
Numa empresa, todos os seus clientes aderiram a apenas 
um dos seus dois planos, Alfa ou Beta. O total de clientes é 
de 1.260, dos quais apenas 15% são do Plano Beta. Se x 
clientes do plano Beta deixarem a empresa, apenas 10% 
dos clientes que nela permanecerem estarão no plano 
Beta. O valor de x é um múltiplo de 
a) 3 
b) 8 
c) 13 
d) 11 
e) 10 
 
EXERCÍCIO 
Uma turma preparatória para um concurso começou 
lotada. Hoje, dois meses depois de iniciado o curso, 30% 
dos alunos que o iniciaram já desistiram e trancaram as 
suas matrículas. Estima-se que, até o final do curso, 40% 
dos que estão, hoje, com matrícula ativa venham a desistir 
e trancá-la. Nessas circunstâncias, ao final do curso, dos 
alunos que iniciaram a turma, ainda estarão matriculados 
a) 60% 
b) 58% 
c) 54% 
d) 45% 
e) 42% 
 
EXERCÍCIO 
Operações com Números Racionais 
• Adição 
• Subtração 
• Multiplicação 
• Divisão 
• Potenciação 
• Fração Geratriz 
• Resolução de Problemas 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os irmãos Ana e Luís ganharam de seus pais quantias 
iguais. Ana guardou 1/6 do que recebeu e gastou o 
restante, enquanto seu irmão gastou 1/4 do valor 
recebido, mais R$ 84,00. Se Ana e Luís gastaram a mesma 
quantia, quantos reais Ana guardou? 
a) 12,00 
b) 24,00 
c) 72,00 
d) 132,00 
e) 144,00 
 
Exercício 
Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a 
primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda 
recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1.000,00. Então, o 
valor desse prêmio, em reais, era de: 
 a) 2 400,00 
b) 2 200,00 
c) 2 100,00 
d) 1 800,00 
Exercício 
A sequência abaixo foi criada repetindo-se as letras da 
palavra JANEIRO na mesma ordem: 
 
J A N E I R O J A N E I R O J A N E I R O J A N E... 
 
A 500ª letra dessa sequência será: 
 a) A b) N c) E d) I e) R 
 
Exercício 
Assinale a alternativa que apresenta o número que dividido por 13 
dá quociente 584 e resto 5. 
a) 7.462. 
b) 7.468. 
c) 7.592. 
d) 7.595. 
e) 7.597. 
 
 
Exercício 
(FCC) Sabendo que x dividido por y é igual a 12, então o dobro de x 
dividido pelo triplo de y é igual a 
a) 8. 
b) 4. 
c) 9. 
d) 12. 
e) 24. 
 
 
Exercício 
(FCC) Dividir certo número por 0,00125 equivale a multiplicá-lo por 
um número inteiro 
a) menor que 100. 
b) compreendido entre 100 e 400. 
c) compreendido entre 400 e 1 000. 
d) compreendido entre 1 000 e 5 000. 
e) maior que 5 000. 
 
 
Exercício 
Geratriz de uma dízima periódica 
EXERCÍCIO 
EXERCÍCIO 
EXERCÍCIO 
(FCC) Renato dividiu dois números inteiros positivos em sua 
calculadora e obteve como resultado a dízima periódica 
0,454545... . Se a divisão tivesse sido feita na outra ordem, ou 
seja, o maior dos dois números dividido pelo menor deles, o 
resultado obtido por Renato na calculadora teria sido 
a) 0,22. 
b) 0,222... 
c) 2,22. 
d) 2,222... 
e) 2,2. 
 
 
Exercício 
(FCC) Pensei em um número e dele 
− subtraí 3 unidades; 
− multipliquei o resultado por 5; 
− somei 9 unidades; 
− obtive 24 como resultado. 
 
É correto afirmar que o quadrado desse número é 
a) 1. 
b) 4. 
c) 16. 
d) 25. 
e) 36. 
 
 
Exercício 
(FCC) Dona Arminda é mãe de 4 filhos. Cada um de seus filhos teve 
3 filhos. Cada um de seus netos teve 2 filhos. Considerando que 
todos estão vivos, o número de descendentes que dona Arminda 
possui é 
a) 9. 
b) 16. 
c) 24. 
d) 36. 
e) 40. 
 
 
Exercício 
(FCC) Ao realizar na calculadora a divisão de 35 por certo número, o 
resultado obtido foi 14. O número que o problema se refere é 
a) 490 
b) 49 
c) 25 
d) 2,5 
e) 0,4 
 
 
Exercício 
(FCC) Considere que os símbolos que aparecem no quadro seguinte, substituem 
as operações que devem ser efetuadas em cada linha a fim de obter-se o 
resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação 
deverá ser substituído pelo número 
a) 16 
b) 15 
c) 14 
d) 13 
e) 12 
 
 
Exercício 
(FCC) No esquema abaixo tem-se o algoritmo da adição de dois números 
naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e 
E. 
 
 
 
 
Determinando-se corretamente o valor dessas letras, então, A + B - C + D - E é 
igual a 
a) 25 
b) 19 
c) 17 
d) 10 
e) 7 
 
 
Exercício 
(FCC) Os alunos de uma faculdade de História criaram a Espiral do Tempo num 
dos pátios da escola. Na Espiral do Tempo, todos os anos da era cristã são 
representados segundo a lógica da figuraa seguir, na qual só foram mostrados os 
anos de 1 a 9. 
 
 
 
 
 
A espiral é atualizada anualmente, representando-se o ano que se inicia seguindo 
a mesma lógica dos anteriores. Se a soma de todos os números que compõem a 
Espiral do Tempo em 2009 é igual a S, então, em 2010, essa soma passará a ser 
igual a 
a) S + 4040100 b) S + 4038090 c) S + 4036081 d) S + 2010 
e) S + 2009 
 
 
Exercício 
(FCC) Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de um 
tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa recebeu as seguintes instruções: 
- todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas 
fiquem com a mesma quantidade de documentos; 
- cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo. 
Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade 
de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é 
a) 8 
b) 12 
c) 24 
d) 36 
e) 48 
 
 
Exercício 
(FCC) Os Jogos Pan-americanos ocorrem de 4 em 4 anos, as eleições gerais na Índia 
ocorrem de 5 em 5 anos e o Congresso Internacional de Transportes a Cabo ocorre 
de 6 em 6 anos. Se esses eventos aconteceram em 1999, a próxima vez que os três 
voltarão a ocorrer num mesmo ano será em 
a) 2119. 
b) 2059. 
c) 2044. 
d) 2029. 
e) 2023. 
 
 
Exercício 
(FCC) Suponha que, num banco de investimento, o grupo responsável pela venda 
de títulos é composto de três elementos. Se, num determinado período, cada um 
dos elementos do grupo vendeu 4 ou 7 títulos, o total de títulos vendidos pelo 
grupo é sempre um número múltiplo de 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
 
Exercício 
(FCC) Numa régua graduada, o segmento de extremos A = 10,58 e B 
= 11,63 se encontra dividido em sete partes iguais, conforme mostra 
a figura abaixo: 
 
 
 
Se, a contar da extremidade A, os números C e D correspondem à 
terceira e à sexta divisões, respectivamente, então C + D é igual a 
a) 21,53. 
b) 22,51. 
c) 22,55. 
d) 23,13. 
e) 23,21. 
 
 
Exercício 
(FCC) Uma pessoa escreveu uma sequência de oito números inteiros, 
todos eles escolhidos de 1 a 4. A soma dos oito números escritos é 
28. Apenas com essas informações, pode-se concluir que o número 
4 foi escrito, no mínimo, 
a) 4 vezes. 
b) 5 vezes. 
c) 6 vezes. 
d) 7 vezes. 
e) 8 vezes. 
 
 
Exercício 
(FCC) Um site da internet que auxilia os usuários a calcularem a 
quantidade de carne que deve ser comprada para um churrasco 
considera que quatro homens consomem a mesma quantidade de 
carne que cinco mulheres. Se esse site aconselha que, para 11 
homens, devem ser comprados 4.400 gramas de carnes, a 
quantidade de carne, em gramas, que ele deve indicar para um 
churrasco realizado para apenas sete mulheres é igual a 
a) 2.100. 
b) 2.240. 
c) 2.800. 
d) 2.520. 
e) 2.450. 
 
 
Exercício 
(FCC) Sabe-se que N é o menor número inteiro positivo que 
multiplicado por 7 resulta em um número inteiro cujos algarismos 
são todos iguais a 2. Nessas condições, é correto afirmar que 
 
a) N < 30 000. 
b) N é múltiplo de 11. 
c) o produto dos algarismos que compõem N é 514. 
d) a soma dos algarismos que compõem N é 20. 
e) N > 40 000. 
 
 
Exercício