Aula 8- Métodos de integração numérica

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Modelagem Matemática
Aula 8: Métodos de integração numérica
Apresentação:
Nas duas últimas aulas, você estudou os métodos de aproximação polinomial, com foco nas técnicas de interpolação
polinomial e de ajuste de funções. Deste modo, você conheceu diversos métodos, além de ver as implementações
associadas em Python.
Agora, nós veremos um outro problema clássico em Engenharia – a integração numérica. Trata-se de uma ferramenta
importante em um sem número de casos em Engenharia, de modo que o conhecimento de técnicas computacionais pode
ser decisivo em situações-problema da Engenharia.
Assim, na aula de hoje, você conhecerá os métodos mais tradicionais de integração numérica. Inicialmente, você estudará
os métodos de interpolação de Newton-Cotes: retângulos, trapézios e regras de Simpson. Por �m, você será capaz de
aplicar os métodos estudados, por meio da implementação computacional de programas em Python para resolução de
problemas clássicos em Engenharia.
Objetivos:
Identi�car os principais métodos de integração numérica
Descrever exemplos de aplicação em situações-problema típicas em Engenharia, por meio da implementação
computacional em Python.
Introdução à integração numérica
Conforme indicado em Moura (2017), a integral de�nida apresenta a seguinte notação:
Assim, nós temos que o resultado da expressão indicada é equivalente à área de�nida sob a curva f(x) no plano cartesiano
entre os pontos a e b.Veja a região hachurada da Figura 1:
f(x)dx∫ ba
Temos certeza de que você já estudou o conceito de integral. No entanto, talvez esteja esquecido de sua utilidade. Pois
bem: a integral de�nida e sua aplicação são muito úteis em diversas áreas, como Física, Engenharia e Economia, dentre
outras.
Por outro lado, creio que você se lembre de que o cálculo matemático da integral de�nida nem sempre é fácil. Por vezes, a
função é difícil de integrar ou mesmo de impossível integração. Mesmo quando o resultado é conhecido, há situações em
que o cálculo somente pode ser obtido de modo aproximado.
 Figura 1 – Integral Definida de f(x) no intervalo entre a e b [1]
Em síntese, existem diversas situações que nos lembram de que nem
sempre é possível calcular a integral de uma função f(x) em um intervalo
[a,b]. Nestes casos, aplicam-se métodos numéricos de integração – os
denominados métodos de integração numérica.
Qual é o princípio fundamental para estes métodos de integração
numérica?
Simples: a lembrança de que a integral de uma função equivale a uma área. Com base neste princípio, foram criados
diversos métodos que dividem a área a ser calculada em vários elementos, de pequena dimensão.
Conforme exposto em Moura (2017), a soma destas pequenas partes resulta na área total equivalente à integral que se
deseja calcular – a menos de erros de aproximação inerentes ao modelo utilizado. Quanto menor for o intervalo de
integração de cada uma destas partes, menor o erro; no entanto, isto implica em aumento da quantidade necessária de
operações, ou seja, um aumento da ordem de complexidade do algoritmo.
Logo, temos um dilema: complexidade ou precisão? Para resolver a integral e permitir que você chegue a uma conclusão,
temos diversos métodos em que a função f(x) passa a ser aproximada por funções polinomiais de grau cada vez maior: 0
(função constante), 1 (função linear), 2 (função quadrática) e assim por diante.
De acordo com Moura (2017), temos que o método básico envolvido nesta aproximação é a denominada quadratura
numérica. Este método consiste em aproximar a integral de�nida por uma expressão do tipo
em que os valores α são reais (peso da função) e
Assim, é importante você saber desde já que o emprego de funções de maior grau acaba promovendo uma melhor
captura do comportamento da função a ser integrada. Desta forma, conseguimos reduzir a quantidade de operações
matemáticas requeridas, bem como os erros de aproximação já citados.
Bem, agora é hora de conhecer os métodos. Vamos para a próxima seção desta aula!
   f( )∑ni=1 αi xi
i
∀   ∈ R  ⇒   ∈   [a, b]xi xi 
Métodos de integração numérica
O método de retângulos
O primeiro método que nós veremos na aula de hoje é o Método dos Retangulos. Neste método, o princípio básico para
fazer a aproxímação da integral de�nida por é dividir o intervalo de integração [a,b] em h partes iguais.
Desta forma, a integral é calculada de acordo com a expressão apresentada a seguir:
Veja só como funciona esta técnica, analisando a Figura 2 apresentada a seguir:
Neste exemplo, nosso objetivo é calcular a integral dada por (em que f(x) é a
linha indicada em vermelho). Para fazer esta operação, nós dividimos o intervalo de integração [2,3] em 5 intervalos iguais,
indicados na cor azul. Naturalmente, como o intervalo de integração tem tamanho 1, cada intervalo apresenta dimensão h
dada por:
 f (x)dx∫ b
a
   f( )  = h   f ( )∑ni=1 αi xi ∑
n
i=1
 +   xi xi+1
2
 Figura 2 – A integral como soma de 5 subáreas (retângulos azuis) – Método dos
Retângulos (MOURA, 2017).
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
 f(x) dx  =     +   cos(x) dx∫ 32 ∫
3
2 x
2
h  =     =  0,23 − 2
5
Em cada um destes 5 intervalos, adota-se como referência o valor da função no ponto médio de cada intervalo, em que o
dito ponto médio é dado por Repare que cada ponto (x ) corresponde ao valor de seu
antecessor (x ). adicionado do tamanho de cada intervalo (h).
Desta maneira, você deve ter percebido que os cálculos �cam como está exposto na tabela a seguir:
Feitos estes cálculos, nós conseguimos chegar a uma aproximação para a integral de , dada
por:
Como já era esperado, o resultado obtido apresenta uma diferença em relação ao valor exato da integral proposta que
conseguimos ao realizar a operação dita analítica (5,5652).
Assim, você pode perguntar-se: tem como fazer melhor? Podemos fazer isto, pelo menos, de duas formas diferentes:
reduzindo o tamanho do intervalo h ou aprimorando a função de aproximação, o que veremos a seguir, com a
apresentação do Método dos Trapézios.
  =  
 + xi xi+1
2
 +( +h)xi xi
2 i+1
i
Intervalo Limite inferior Limite superior Ponto médio Valor da função no ponto médio
1 2 2,2 2,1 f (2,1) = 3,91
2 2,2 2,4 2,3 f (2,3) = 4,62
3 2,4 2,6 2,5 f (2,5) = 5,45
4 2,6 2,8 2,7 f (2,7) = 6,39
5 2,8 3,0 2,9 f (2,9) = 7,44
f (x)  =     +   cos (x)x2
   f( )  =  h   f ( )  = 0, 2    f ( )∑ni=1 αi xi ∑
n
i=1
 +xi xi+1
2
∑5i=1
(2+i × 0,2) + [2 + (i−1) × 0,2]
2
→  0, 2 ×   3, 91 +  0, 2 ×  4, 62 +  0, 2 ×  5, 45 +  0, 2 ×  6, 39 +  0, 2 ×  7, 44
=  0, 2 ×  ( 3, 91 +  4, 62 +  5, 45 +  6, 39 +  7, 44)  =  5, 562
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O método dos trapézios
No Método dos Trapézios, a estratégia para fazer o cálculo da aproximação da integral de�nida por 
também consiste em dividir do intervalo de integração [a,b] em h partes iguais. Só que a expressão de cálculo dentro de
cada intervalo é diferente daquela que vimos para o método anterior. Neste caso, a integral é calculada de acordo com a
expressão apresentada a seguir:
Para entender melhor como isto é feito, veja a Figura 3 apresentada abaixo:
 f (x)dx∫ b
a
   f( )  = h   ∑ni=1 αi xi ∑
n
i=1
f( ) + f( ) xi xi+1
2
Para ajudar, vamos utilizar o mesmo exemplo que vimos no Método dos Retângulos, calculando 
. Como mencionado há pouco, mais uma vez nós vamos dividir o intervalo de
integração [2,3] em 5 intervalos iguais de tamanho:
Aqui vem a diferença: em cada um destes 5 intervalos, adota-se, como função de referência, a média entre os valores da
função nos pontos-limite de cada intervalo, ou seja, . Mais uma vez, note que cada ponto (x ) corresponde
ao valor de seu antecessor (x ), adicionando do tamanho de cada intervalo (h).
Desta maneira, neste segundo exemplo, temos a situação exposta na tabela apresentada a seguir:
Com isso, tem-se a seguinte aproximação para a integral de , dada por:
Como imaginávamos, o resultado obtido ainda apresenta uma diferença em relação ao valor exato da integral proposta(5,5652), mas a diferença se reduziu. Ainda assim, o resultado pode ser melhor: podemos reduzir o tamanho do intervalo h
ou aprimorar a função de aproximação, empregando o denominado Método de Simpson para n = 3
.
 Figura 3 – A integral da função f(x) (em vermelho) como soma de 4 subáreas
(trapézios hachurados em azul) – Método dos Trapézios (MOURA, 2017).
 f(x) dx  =     +   cos(x) dx∫ 32 ∫
3
2 x
2
h  =     =  0,23 − 2
5
f ( ) + f ( )xi xi+h
2 i+1
i
Intervalo Limite inferior Limite superior Valor da função no ponto médio
1 2 2,2
2 2,2 2,4
3 2,4 2,6
4 2,6 2,8
5 2,8 3,0
  =  3, 9177
f (2) + f (2,2)
2
  =  4, 6371
f (2,2) + f (2,4)
2
  =  5, 4629
f (2,4) + f (2,6)
2
  =  6, 4004
f (2,6) + f (2,8)
2
  =  7, 4539
f (2,8) + f (3)
2
f (x)  =     +   cos (x)x2
   f( )  =  h       = 0, 2    ∑ni=1 αi xi ∑
n
i=1
f( ) +f( )xi xi+1
2
∑5i=1
f(2+(i −1)× 0,2) +f [2 + i × 0,2]
2
→  0, 2 ×  ( 3, 9177 +  4, 6371 +  5, 4629 +  6, 4004 +  7, 4539)
=   5, 5744
O método de Simpson
No Método de Simpson para n = 3, como nos métodos anteriores, o princípio básico para calcular consiste
em dividir o intervalo de integração [a,b] em h partes iguais. Assim, a integral é calculada de acordo com a expressão
apresentada a seguir:
Vamos ver qual é o efeito desta modi�cação? Mais uma vez utilizando o exemplo desta aula, considere o cálculo de 
. Como nos demais casos, nós dividimos o intervalo de integração [2,3] em 5
intervalos iguais de tamnaho:
Conforme exposto em Moura (2017), em cada um destes 5 intervalos, adota-se como referência uma aproximação
quadrática entre os valores da função nos pontos-limite de cada intervalo, considerando-se como ponto focal da parábola
o ponto médio do intervalo, ou seja:
De igual modo ao que �zemos nos casos anteriores, cada ponto (x ) equivale ao valor de seu antecessor (x ), adicionado
do tamanho de cada intervalo (h). Vamos ver como �cam os cálculos neste terceiro caso? Veja a tabela apresentada a
seguir:
Com isso, tem-se a seguinte aproximação para a integral de , com resultado igual a 5,5652. Eis
os cálculos:
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
 f (x)dx∫ b
a
   f( )  =  h     ,onde y  =∑ni=1 αi xi ∑
n
i=1
f( ) +4 f(y) + f( )xi xi+1
6
 + xi xi+1
2
 f(x) dx  =     +   cos(x) dx∫ 32 ∫
3
2 x
2
h  =     =  0,23 − 2
5
  ,onde y  =
f( ) +4 f(y) + f( )xi xi+1
6
 + xi xi+1
2
i+1 i
Intervalo Limite inferior Limite superior Ponto médio Valor da função no ponto médio
1 2 2,2 2,1
2 2,2 2,4 2,3
3 2,4 2,6 2,5
4 2,6 2,8 2,7
5 2,8 3,0 2,9
  =  3, 9093
f (2) +4 f (2,1) + f (2,2)
6
  =  4, 6282
f (2,2) +4 f (2,3) + f (2,4)
6
  =  5, 4535
f (2,4) +4 f (2,5) + f (2,6)
6
  =  6, 3908
f (2,6) +4 f (2,7) + f (2,8)
6
  =  7, 4440
f (2,8) +4 f (2,9) + f (3)
6
f (x)  =     +   cos (x)x2
h     =  0, 2    ,  onde y  =  ∑ni=1
f( ) + 4 f (y) + f( )xi xi+1
6
∑5i=1
f (a +  (i−1)h) + 4 f (y) + f (a+ih)
6
(a + (i−1)h) + (a +ih)
2
0, 2  ×  
f (2) + 4 f (2,1) + 2 f (2,2) +4 f (2,3) + 2 f (2,4) + 4 f (2,5) +2 f (2,6) + 4 f ( 2,7) + 2 f (2,8) + 4 f (2,9) + f (3,0)
6
→=  5, 5652
Como você pode ver, o resultado alcançado é equivalente ao valor exato da integral proposta (5,5652) – era de se esperar
que nós encontrássemos uma aproximação melhor do que a oferecida pelos métodos anteriores, mas nem sempre se
chegará a um resultado exato com tão poucos intervalos.
Já tratamos disto anteriormente, mas não custa repetir: podemos encontrar uma aproximação ainda melhor, reduzindo o
tamanho do intervalo h ou aprimorando a função de aproximação – a partir de funções cúbicas, quárticas ou de ordem
superior.
Implementação em Python
Vamos ver um exemplo de integração em Python? Agora,
nós calcularemos a integral da função x2 no intervalo [2,
3]. Em Python, podemos implementar o Método dos
Retângulos para efetuar esta aproximação da seguinte
forma:
import numpy as np 
import math 
f = lambda x: x**2 
a = 2; b = 3; N = 5 
x = np.linspace(a,b,N+1) 
y = f(x) 
dx = (b-a)/N 
x_medio = np.linspace(dx/2,b - dx/2,N) 
soma_retangulo = np.sum(f(x_medio) * dx) 
print("Integral:",soma_retangulo) 
Por sua vez, para o método dos trapézios, o mesmo
cálculo pode ser feito da seguinte forma:
import numpy as np 
import math 
f = lambda x: x**2 
a = 2; b = 3; N = 5 
x = np.linspace(a,b,N+1) 
y = f(x) 
y_maior = y[1:] 
y_menor = y[:-1] 
dx = (b-a)/N 
soma_trapezio = (dx/2) * np.sum(y_maior + y_menor) 
print("Integral:",soma_trapezio) 
Já para o método de Simpson, podemos utilizar o código
indicado a seguir:
import numpy as np 
import math 
f = lambda x: x**2 
a = 2; b = 3; N = 10 
x = np.linspace(a,b,N+1) 
y = f(x) 
dx = (b-a)/N 
soma_Simpson = dx/3 * np.sum(y[0:-1:2] + 4*y[1::2] + y[2::2]) 
print("Integral:",soma_Simpson) 
Atividades
1. Assinale a única alternativa que apresenta a aproximação adequeda para a integral de no intervalo de 1 a 2.
Considere a divisão do intervalo de integração em 10 partes:
ex
1+sen(x)
a) 2,386
b) 2,366
c) 2,406
d) 2,426
e) Nenhuma das aulternativas anteriores
2. Assinale a única alternativa que apresenta a aproximação adequeda para a integral de no
intervalo de 1 a 2. Considere a divisão do intervalo de integração em 10 partes:
 e−x 8  −    (x)cos2
− −−−−−−−−−−
√
a) 1,700
b) 1,600
c) 1,800
d) 1,900
e) Nenhuma das aulternativas anteriores
3. Assinale a única alternativa que apresenta a aproximação adequeda para a integral de no intervalo de 1 a 2. Considere a
divisão do intervalo de integração em 20 partes:
ex
a) 3,218
b) 3,418
c) 3,018
d) 3,618
e) Nenhuma das aulternativas anteriores
4. Assinale a única alternativa que apresenta a aproximação adequeda para a integral de no intervalo de 1 a 2.
Considere a divisão do intervalo de integração em 20 partes:
sen (x)
a) 0,745
b) 0,765
c) 0,785
d) 0,725
e) Nenhuma das aulternativas anteriores
5. Assinale a única alternativa que apresenta a aproximação adequeda para a integral de no intervalo de 1 a 2. Considere
a divisão do intervalo de integração em 20 partes:
y3
a) 2,279
b) 2,479
c) 2,079
d) 2,679
e) Nenhuma das aulternativas anteriores
Referências
MOURA, D. F. C, Cálculo Numérico. Rio de Janeiro: SESES, 2017. 144 p.
UFRGS (colaborativo). Cálculo Numérico: Um Livro Colaborativo Versão Python. Porto Alegre: UFRGS, 2019.
Próxima aula
Os métodos mais tradicionais de resolução de EDO de 1ª ordem:
O método de Euler e suas variantes;
O método de Runge-Kutta.
Aplicar os métodos estudados, por meio da implementação computacional de programas em Python.
Explore mais
Segue uma lista de sites na Internet para que você os consulte depois:
Prof. Isaias Neri. Integração Numérica – Vídeo 01 – Método dos Trapézios.  
KLOTH, A. G., SAITO, O.H. Uso de integração numérica em problemas de Engenharia.
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