7° Lista de Exercício - Geometria

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Lista de Exercícios VII - Geometria
Prof. Michel Barros Silva - UFCG/CCTA
1. Construa o gráfico e encontre o foco e a equação da diretriz:
a)x2 = −4y b)y2 = 6x c)y2 = −8x d)x2 + y = 0
e)y2 − x = 0 f)y2 + 3x = 0 g)x2 − 10y = 0 h)2y2 − 9x = 0
i)y = x
2
16
j)x = −y2
8
2. Traçe o esboço do gráfico e obtenha a equação da parábola:
a)vértice:V (0, 0), diretiz:y = −2 b)foco:F (2, 0), diretriz:x+ 2 = 0
c)vértice:V (0, 0), foco:F (0,−3) d)vértice:V (0, 0), foco:F (−1
2
, 0)
e)foco:F (0,−1
4
), diretriz:4y − 1 = 0 f)vértice:V (−2, 3), foco:F (−2, 1)
g)foco:F (−7, 3), diretriz:x+ 3 = 0 h)vértice:V (2,−1), foco:F (5,−1)
i)vértice:V (4, 1), diretriz:y + 3 = 0 j)vértice:V (0,−2), diretriz:2x− 3 = 0
l)foco:F (4,−5), diretriz:y = 1
3. Detemine a equação reduzida, o vértice, o foco e uma equação da diretriz:
a)x2 + 4x+ 8y + 12 = 0 b)x2 − 2x− 20y − 39 = 0
c)y2 + 4y + 16x− 44 = 0 d)y2 − 16x+ 2y + 49 = 0
e)y = x
2
4
− 2x− 1 f)x2 − 12y + 72 = 0
g)y = x2 − 4x+ 2 h)y = 4x− x2
4. Encontre a equação da parábola que fatisfaz as condições:
a) eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos A(−2, 0),
B(0, 4) e C(4, 0);
b) eixo de simetria paralelo a x = 0 e passando pelos pontos A(0, 0), B(1,−1)
e C(3,−1);
c) eixo paralelo a y = 0 e passando por A(−2, 4), B(−3, 2) e C(−6, 0).
1
2
5. Faça o esboço, determine os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade das
elipses dadas:
a)x
2
25
+ y
2
4
= 1 b)25x2 + 4y2 = 100 c)9x2 + 16y2 − 144 = 0
d)9x2 + 5y2 − 45 = 0 e)x2 + 25y2 = 25 f)4x2 + 9y2 = 25
g)4x2 + y2 = 1 h)4x2 + 25y2 = 1 i)x2 + 2y2 − 5 = 0
j)9x2 + 25y2 = 25
6. Determine a equação da elipse que satisfaça as condições dadas.
a) Focos F (±4, 0), eixo maior igual a 10;
b) Focos F (0,±5), eixo menor igual a 10;
c) Focos F (±3, 0) e vértices A(±4, 0);
d) Focos F (0,±3) e excentricidade
√
3
2
;
e) Vértices A(±10, 0) e excentricidade 1
2
;
f) Centro C(0, 0), eixo menor igual a 6, focos no eixo dos x e passando pelo
ponto (−2√5, 3);
g) Vértices A(0,±6) e passando por P (3, 2);
h) Centro C(0, 0), focos no eixo dos x, e = 2
3
e passando por P (2,−5
3
);
i) Centro C(1, 4), um foco F (5, 4) e excentricidade 2
3
;
j) Eixo maior igual a 10 e focos F1(2,−1) e F2(2, 5);
l) Focos F1(−1,−3) e F2(−1, 5) e excentricidade 23 ;
m) Focos F1(−3, 2) e F2(3, 2) e excentricidade 23 ;
n) Vértices A1(−7, 2) e A2(−1, 2) e eixo menor igual a 2.
7. Determine a equação reduzida, o centro, os vértices A1 e A2, os focos e a excen-
tricidade das elipses dadas;
a)9x2 + 16y2 − 36x+ 96y + 36 = 0 b)25x2 + 16y2 + 50x+ 64y − 311 = 0
c)4x2 + 9y2 − 24x+ 18y + 9 = 0 d)16x2 + y2 + 64x− 4y + 52 = 0
e)16x2 + 9y2 − 96x+ 72y = 144 = 0 f)4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0
8. Faça o esboço do gráfico e determine os vértices, os focos, a excentricidade e as
equações das assíntotas das hipérboles dadas:
3
a)x
2
4
− y2
9
= 1 b)y
2
4
− x2
9
= 1 c)16x2 − 25y2 − 400 = 0
d)9x2 − 16y2 = 144 e)4x2 − 5y2 + 20 = 0 f)x2 − 2y2 − 8 = 0
g)x2 − 4y2 + 16 = 0 h)x2 − y2 = 1 i)y2 − x2 = 2
j)y2 − 4x2 = 1
9. Determine a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas:
a) Focos F (±5, 0), vértices A(±3, 0);
b) Focos A(0,±3), vértices A(0,±2);
c) Focos F (0,±4), eixo real de medida 2;
d) Focos F (±8, 0), excentricidade 4
3
;
e) Vértices A(0,±5), excentricidade 2;
f) Centro C(3, 2), um vértice A(1, 2) e um foco F (−1, 2);
g) Vértices em (3,−2) e (5,−2) e um foco em (7,−2);
h) vértices em (2,−4) e (2, 0) e um foco em (2,−2 +√13);
i) vértices em (5,−1) e (5, 5) e excentricidade 2;
j) Focos F1(3,−2) e F2(3, 4) e excentricidade 2.
10. Determine a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e
as equações das assíntotas das hipérboles dadas:
a)9x2 − 4y2 − 18− 16y − 43 = 0 b)x2 − 4y2 + 6x+ 24y − 31 = 0
c)9x2 − 4y2 − 54x+ 8y + 113 = 0 d)4x2 − y2 − 32x+ 4y + 24 = 0
e)16x2 − 9y2 − 65x− 18y + 199 = 0 f)25x2 − 4y2 + 40y = 0
4
Gabarito
1.a)F (0,−1), y = 1 1.b)F (3
2
, 0) 2x+ 3 = 0 1.c)F (−2, 0), x = 2
1.d)F (0,−1
4
), y = 1
4
1.e)F (1
4
, 0), x = −1
4
1.f)F (−3
4
, 0), 4x− 3 = 0
1.g)F (0, 5
2
), 2y + 5 = 0 1.h)F (9
8
, 0), 8x+ 9 = 0 1.i)F (0, 4), y + 4 = 0
1.j)F (−2, 0), x = 2 2.a)x2 = 8y 2.b)y2 = 8x
2.c)x2 = −12y 2.d)y2 = −2x 2.e)x2 = −y
2.f)x2 + 4x+ 8y = 20 2.g)y2 − 6y + 8x = −49 2.h)y2 + 2y − 12x = −25
2.i)x2 − 8x− 16y = −32 2.j)y2 + 4y + 6x = −4 2.l)x2 − 8x+ 12y = −40
3.a)V (−2,−1), F (−2,−3), y = 1 3.b)V (1,−2), F (1, 3), y = −7
3.c)V (3,−2), F (−1,−2), x = 7 3.d)V (3,−1), F (7,−1), x = −1
3.e)V (4,−5), F (4,−4), y = −6 3.f)V (0, 6), F (0, 9), y = 3
3.g)V (2,−2), F (2,−7
4
), y = −9
4
3.h)V (2, 4), F (2, 15
4
), 4y − 17 = 0
4.a)y = −1
2
x2 + x+ 4 4.b)y = 1
3
x2 − 4
3
x 4.c)x = −1
4
y2 + 2y − 6
5.a)A(±5, 0), F (±√21, 0), e =
√
21
5
5.b)A(0,±5), F (0,±√21), e =
√
21
5
5.c)A(±4, 0), F (±√7, 0), e =
√
7
4
5.d)A(0,±3), F (0,±2), e = 2
3
5.e)A(±5, 0), F (±2√6, 0), e = 2
√
6
5
5.f)A(±5
2
, 0), F (±5
√
5
6
, 0), e =
√
5
3
5.g)A(0,±1), F (0,±
√
3
2
), e =
√
3
2
5.h)A(±1
2
, 0), F (±
√
21
10
, 0), e =
√
21
5
5.i)A(±√5, 0), F (±
√
5
2
, 0), e =
√
2
2
5.j)A(±5
3
, 0), F (±4
3
, 0), e = 4
5
6.a)9x2 + 25y3 = 225 6.b)2x2 + y2 − 50 = 0 6.c)7x2 + 16y2 − 112 = 0
6.d)4x2 + y2 − 12 = 0 6.e) x2
100
+ y
2
75
= 1 6.f)x2 + 4y2 − 36 = 0
6.g)8x
2
81
+ y
2
36
= 1 6.h)5x2 + 9y2 − 45 = 0
6.i)5x2 + 9y2 − 10x− 72y − 31 = 0 6.j)25x2 + 16y2 − 100x− 64y − 236 = 0
6.l)9x2 + 5y2 + 18x− 10y − 166 = 0 6.m)3x2 + 4y2 − 16y − 92 = 0
6.n)x2 + 9y2 + 8x− 36y + 43 = 0
7.a)C(2,−3), A1(−2,−3), A2(6,−3), F (2±
√
7,−3), e =
√
7
4
7.b)C(−1,−2), A1(−1,−7), A2(−1, 3), F1(−1,−5), F2(−1, 1), e = 35
7.c)C(3,−1), A1(6,−1), A2(0,−1), F (3±
√
5,−1), e =
√
5
3
7.d)C(−2, 2), A1(−2,−2), A2(−2, 6), F (−2, 2±
√
15), e =
√
15
4
7.e)C(3,−4), A1(3,−8), A2(3, 0), F (3,−4±
√
7), e =
√
7
4
7.f)C(1, 2), A1(−2, 2), A2(4, 2), F (1±
√
5, 2), e =
√
5
3
5
8.a)A(±2, 0), F (±√13, 0), e =
√
13
2
, y = ±3
2
x
8.b)A(0,±2), F (0,±√13), e =
√
13
2
, y = ±2
3
x
8.c)A(±5, 0), F (±√41, 0), e =
√
41
5
, y = ±4
5
x
d)A(±4, 0), F (±5, 0), e = 5
4
, y = ±3
4
x
e)A(0,±2), F (0± 3), e = 3
2
, y = ±2
√
5
5
x
f)A(±2√2, 0), F (±2√3, 0), e =
√
6
2
, y = ±
√
2
2
x
g)A(0,±2), F (0,±2√5), e = √5, y = ±1
2
x
h)A(±1, 0), F (±√2, 0), e = √2, y = ±x
i)A(0,±√2), F (0,±2), e = √2, y = ±x
j)A(0,±1), F (0,±
√
5
2
), e =
√
5
2
, y = ±2x
9.a)16x2 − 9y2 − 144 = 0 9.b)4x2 − 5y2 + 20 = 0
9.c)15y2 − x2 − 15 = 0 9.d)7x2 − 9y2 − 252 = 0
9.e)x2 − 3y2 + 75 = 0 9.f)3x2 − y2 − 18x+ 4y + 11 = 0
9.g)8x2 − y2 − 64x− 4y + 116 = 0 9.h)4x2 − 9y2 − 16x− 36y + 16 = 0
9.i)x2 − 3y2 − 10x+ 12y + 40 = 0 9.j)12y2 − 4x2 − 24y + 24x− 51 = 0
10.a)C(1,−2), A1(−1,−2), A2(3,−2), F (1±
√
13,−2), e =
√
13
2
3x− 2y − 7 = 0, 3x+ 2y + 1 = 0
10.b)C(−3, 3), A1(−5, 3), A2(−1, 3), F (−3±
√
5, 3), e =
√
5
2
x− 2y + 9 = 0, x+ 2y − 3 = 0
10.c)C(3, 1), A1(3,−2), A2(3, 4)F (3, 1±
√
13), e =
√
13
3
3x− 2y − 7 = 0, 3x+ 2y − 11 = 0
10.d)C(4, 2), A1(1, 2), A2(7, 2), F (4± 3
√
5, 2), e =
√
5
2x− y − 6 = 0, 2x+ y − 10 = 0
10.e)C(2,−1), A1(2,−5), A2(2, 3), F (2,−6), F2(2, 4), e = 54
4x− 3y − 11 = 0, 4x+ 3y − 5 = 0
10.f)C(0, 5), A1(0, 0), A2(0, 10), F (0, 5 +
√
29), e =
√
29
5
5x− 2y + 10 = 0, 5x+ 2y − 10 = 0