Algebra-Linear-Z

= bn
. (1.4)
20 Álgebra linear I
A definição acima é bem geral: trata-se de um sistema com m equações a n
incógitas.
Quando bi = 0 para i = 1, 2, ..., n o sistema chama-se homogêneo.
Por exemplo, o sistemas
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 − 3x3 = 1
3x1 + 6x2 − 5x3 = 0
e
2x+ y = 2x− y − z = 3
são sistemas lineares, o primeiro com três equações a três incógnitas e o segundo
com duas equações a três incógnitas.
Definição 1.22 Chama-se solução do sistema linear (1.4) de m equações a
n incógnitas a n-nupla ordenada (a1, a2, ..., an) tal que, quando x1 = a1, ...
xn = an em (1.4) , obtemos uma identidade.
Em outras palavras, uma solução de um determinado sistema linear são
os valores que substitúıdos nas incógnitas das equações que definem o sistema
verificarem a todas as equações.
Existem várias técnicas para resolver um sistema linear. A mais simples,
consiste em, ir operando adequadamente as equações do sistema com o in-
tuito de ir eliminando incógnitas até obtermos uma equação numa só variável.
Depois, ir “retrocedendo” nas operações realizadas para determinar todas as
demais incógnitas, e com isso montar a solução. Vejamos alguns exemplos
práticos.
Exemplo 1.23 Resolver o sistema linear3x− y = 5x+ y = 3
Solução. Podemos eliminar y somando as duas equações. Assim, somando-as
obtemos a equação
4x = 8⇒ x = 2.
M. Zahn 21
Dessa forma, sendo x = 2, na equação x + y = 3 vamos obter 2 + y = 3, e
portanto y = 1. Assim, a solução do sistema dado é (x, y) = (2, 1). Repare que,
geometricamente, cada equação no plano cartesiano R2, corresponde a equação
de uma reta. Então a solução do sistema acima nos diz que essas retas são con-
correntes, ou seja, se interceptam num ponto do plano cartesiano, exatemente
no ponto de coordenadas (2, 1).
No entanto, sabemos que duas retas no plano podem ser também coinci-
dentes ou paralelas. No primeiro caso, o sistema assumiria infinitas soluções, e
é chamado de indeterminado, já no segundo caso, o sistema não teria soluções,
e seria chamado de imposśıvel ou incompart́ıvel.
Como exerćıcio, observe que o sistemax+ y = 1,2x+ 2y = 2
possui infinitas soluções, e podemos escrever isso, por exemplo, x = t, y = 1−t,
∀t ∈ R; e que o sistema x+ y = 12x+ 2y = −3
não tem solução.
Dado um sistema linear
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
.........................................
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bn
,
podemos associá-lo a uma matriz da forma
a11 a12 ..... a1n b1
a21 a22 ..... a2n b2
..... ..... ..... ..... .....
am1 am2 ..... amn bn
 ,
22 Álgebra linear I
chamada de matriz aumentada do sistema.
Um dos principais objetivos do estudo de matrizes é resolver sistemas li-
neares. Uma maneira bastante útil de se resolver um sistema linear consiste
em efetuar certas operações entre suas equações, com o intuito de obter outras
equações equivalentes às originais. Tais operações, são chamadas de operações
elementares e consistem em:
(a) multiplicar uma equação por uma constante não nula;
(b) trocar duas equações do sistema de posição;
(c) substituir uma equação pela soma dela com um múltiplo de outra equação
do sistema dado.
Tais operações podem ser feitas sobre a matriz aumentada do sistema, ou seja,
elas nos motivam definir:
Definição 1.24 Dada uma matriz A, definimos as operações elementares sobre
linhas de A por:
(i) trocar duas linhas de posição;
(ii) multiplicar uma linha por uma constante não nula;
(iii) somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha.
Simbolicamente, chamando `i e `j as linhas i e j, i 6= j, de uma matriz A,
temos que as três operações elementares sobre linhas, respectivamente, são
(i) `i ↔ `j ;
(ii) `i ↪→ k · `i;
(iii) `i ↪→ `i + k · `j .
Isto posto, podemos resolver um exerćıcio, utilizando as ideias acima.
Exemplo 1.25 Resolver o sistema linear

x+ 2y − 4z = −4
2x+ 5y − 9z = −10
3x− 2y + 3z = 11
.
M. Zahn 23
Solução. A matriz aumentada do sistema é dada por1 2 −4 −42 5 −9 −10
3 −2 3 11

Efetuando as operações elementares sobre linhas como nos esquemas a se-
guir, vamos obter (repare que vamos procurar construir uma “escada” onde os
degraus serão pivôs, ou seja, faremos o primeiro elemento não nulo de cada
linha da matriz ser igual a 1):
1 2 −4 −42 5 −9 −10
3 −2 3 11
 `2 ↪→ `2 − 2`1−−−−−−−−−−−→
1 2 −4 −40 1 −1 −2
3 −2 3 11
 `3 ↪→ `3 − 3`1−−−−−−−−−−−→
1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 −8 15 23
 `3 ↪→ `3 + 8`2−−−−−−−−−−−→
1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 0 7 7
 `3 ↪→ 1
7
`3
−−−−−−−→1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 0 1 1
 ,
que corresponde ao sistema
x+ 2y − 4z = −4
y − z = −2
z = 1
,
o qual, facilmente verificamos que z = 1, y = −1 e x = 2. Logo, a solução dos
sistema dado é (x, y, z) = (−2,−1, 1).
Observação 1.26 Podeŕıamos continuar o procedimento, anulando-se agora
os termos acima dos pivôs, ou seja, continuar como segue:1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 0 1 1
 `2 ↪→ `2 + 8`3−−−−−−−−−−−→
1 2 −4 −40 1 0 −1
0 0 1 1
 `1 ↪→ `1 − 2`2−−−−−−−−−−−→
24 Álgebra linear I
1 0 −4 −20 1 0 −1
0 0 1 1
 `1 ↪→ `1 + 4`3−−−−−−−−−−−→
1 0 0 20 1 0 −1
0 0 1 1
 ,
ou seja, deixamos a matriz na forma escalonada reduzida por linhas, o que
corresponde a 
x = 2
y = −1
z = 1
Convém definir:
Definição 1.27 Chama-se método de Gauss-Jordan o algoritmo efetuado em
um sistema linear de forma a reduźı-lo para a forma de escada, ou seja, quando a
matriz aumantada do referido sistema fica sob a forma de uma matriz triangular
superior com o primeiro elemento não nulo (pivô) igual a 1.
Nesse caso, quando continuamos o procedimento com o intuito de zerar
também acima dos pivôs, deixando a matriz na forma escalonada reduzida por
linhas, o método chama-se eliminação gaussiana.
Exemplo 1.28 Resolver o sistema
2x+ 5y − 8z = 4
x+ 2y − 3z = 1
3x+ 8y − 13z = 7
pelo método de eliminação gaussiana.
Solução. A matriz aumentada do sistema dado é2 5 −8 41 2 −3 1
3 8 −13 7

Vamos efetuar as operações elementares sobre linhas como segue. Observe
que como queremos pivôs iguais a 1, a primeira operação elementar a fazer será
M. Zahn 25
permutar as linhas 1 e 2 da matriz aumentada. Assim,2 5 −8 41 2 −3 1
3 8 −13 7
 `1 ↔ `2−−−−−−→
1 2 −3 12 5 −8 4
3 8 −13 7
 `2 ↪→ `2 − 2`1−−−−−−−−−−−→
1 2 −3 10 1 −2 2
3 8 −13 7

1 2 −3 10 1 −2 2
3 8 −13 7
 `3 ↪→ `3 − 3`1−−−−−−−−−−−→
1 2 −3 10 1 −2 2
0 2 −2 4
 `3 ↪→ `3 − 2`2−−−−−−−−−−−→
1 2 −3 10 1 −2 2
0 0 0 0

Note que uma linha da matriz zerou. Isso indica que o sistema dado é indeter-
minado, ou seja, possui infinitas soluções. Continuando o processo para deixar
a matriz aumentada na forma escalonada reduzida por linhas, obtemos1 2 −3 10 1 −2 2
0 0 0 0
 `1 ↪→ `1 − 2`2−−−−−−−−−−−→
1 0 1 −30 1 −2 2
0 0 0 0
 ,
que corresponde ao sistema x + z = −3y − 2z = 2 ,
e chamando z = t, obtemos y = 2 + 2t e x = −3 − t, ou seja, as soluções do
sistema dado são
(x, y, z) = (−3− t, 2 + 2t, t), t ∈ R.
Exerćıcios
1. Considere os sistemas linearesx+ y + z = 12x+ 2y + 2z = 4 e
x+ y + z = 02x+ 2y + 2z = 0
(a) Mostre que o primeiro sistema não possui soluções e escreva o que
isso significa quanto aos planos representados por essas equações.
26 Álgebra linear I
(b) Mostre que o segundo sistema tem uma infinidade de soluções e
escreva o que isso significa quanto aos plannos representados por
essas equações.
2. Resolva cada sistema linear abaixo, pelo método de eliminação de Gauss-
Jordan:
(a)

x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
(b)

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
3. Verifique se o sistema homogêneo abaixo possui uma solução não nula:
x+ y − z = 0
2x+ 4y − z = 0
3x+ 2y + 2z = 0
.