determinacao_da_derivada_da_funcao_h(x)

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Determinação da derivada da função h(x) = f(x)g(x)
Se h(x) = f(x)g(x) então ln h(x) = ln (f(x))g(x) = g(x) ln f(x)
Assim h(x) = exp ( g(x) ln f(x) )
Assim, a derivada de h(x) deve ser a mesma derivada que exp ( g(x) ln f(x) )
Sabe-se que a derivada de exp (u(x)) é igual a u’(x) exp(u(x))
h’(x) = [ exp (g(x) ln f(x)) ]’ = [g(x) ln f(x)]’ exp ( g(x) ln f(x) )
Usando a regra do produto
[g(x) ln f(x)]’ = g’(x) ln f(x) + g(x).
1
f (x )
mas exp (g( x )lnf (x))=exp ( ln f (x )g( x))=f (x)g(x)
Desta forma
h’(x) ¿(g ’(x ) ln f (x)+g( x). 1f (x ))exp (g ( x )lnf ( x))
h’(x) ¿(g ’(x ) ln f (x)+ g(x )f (x ))f (x )g (x)
Ressalta-se que não é necessário se decorar a fórmula fnal, bastando se entender o caminho
da resolução
Exemplo
Determine a derivada de y = x4x
Solução
A função y = f(x)g(x) com f(x) = x→f ' ( x )=1 e g(x) = 4x→g ' ( x)=4
Pela fórmula y’ = (4 ln x+ 4 xx )exp ⁡(4 x lnx) = 4 (1 + ln x) exp ⁡(4 x lnx )
Manipulando exp (4 x lnx )=exp( ln x4x )=x4 x → y '=4 (1+ lnx) x4 x