Existência de Soluções de Equações Diferenciais em Série de Potências
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Existência de Soluções de Equações Diferenciais em Série de Potências


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Existe\u2c6ncia de Soluc¸o\u2dces de Equac¸o\u2dces
Diferenciais em Se´rie de Pote\u2c6ncias
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/\u2dcregi
10 de julho de 2010
2 1 RESULTADO PRELIMINAR DE VARIA´VEIS COMPLEXAS
1 Resultado Preliminar de Varia´veis Complexas
Lema 1. Sejam f (x) e g(x) polino\u2c6mios tais que g(0) \u2215= 0. Enta\u2dco f (x)/g(x) tem uma repre-
sentac¸a\u2dco em se´rie de pote\u2c6ncias de x,
f (x)
g(x)
=
\u221e
\u2211
n=0
anx
n,
que converge para \u2223x\u2223 < r, sendo r o raio do maior c\u131´rculo no plano complexo com centro na
origem tal que g(z) \u2215= 0, para todo z \u2208 \u2102 com \u2223z\u2223 < r.
Demonstrac¸a\u2dco. Sejam a1, . . . , ak \u2208 \u2102 as ra\u131´zes de g(x). Enta\u2dco g(x) se fatora como
g(x) = a0(x\u2212 a1)
n1 \u22c5 \u22c5 \u22c5 (x\u2212 ak)
nk .
Podemos supor que o grau de f (x) e´ menor do que o grau de g(x) (por que?). Enta\u2dco
decompondo f (x)/g(x) em frac¸o\u2dces parciais obtemos
f (x)
g(x)
=
k
\u2211
i=1
ni
\u2211
j=1
\u3b1ij
(x\u2212 ai)j
Para a \u2208 \u2102, usando a se´rie geome´trica, temos que
1
z\u2212 a
= \u2212
1
a\u2212 z
= \u2212
1
a
1
1\u2212 za
= \u2212
1
a
\u221e
\u2211
n=0
( z
a
)n
=
\u221e
\u2211
n=0
(
\u22121
an+1
)
zn
que converge para
\u2223\u2223 z
a
\u2223\u2223 < 1, ou seja, para \u2223z\u2223 < \u2223a\u2223. Ale´m disso, usando a derivada da
se´rie anterior obtemos que
1
(z\u2212 a)2
= \u2212
d
dz
(
1
z\u2212 a
)
= \u2212
\u221e
\u2211
n=1
( n
an+1
)
zn\u22121 =
\u221e
\u2211
n=0
(
\u2212n\u2212 1
an+2
)
zn
que tambe´m converge para \u2223z\u2223 < \u2223a\u2223. Como
1
(z\u2212 a)j
= (\u22121)j\u22121(j\u2212 1)!
dj\u22121
dzj\u22121
(
1
z\u2212 a
)
enta\u2dco
1
(z\u2212 a)j
tem uma representac¸a\u2dco em se´rie de pote\u2c6ncias de z para j = 1, 2, . . . que
converge para \u2223z\u2223 < \u2223a\u2223.
Logo f (z)/g(z) tem uma representac¸a\u2dco em se´rie de pote\u2c6ncias de z que converge
para todo z \u2208 \u2102 com \u2223z\u2223 < r, em que r = min{\u2223a1\u2223, . . . , \u2223ak\u2223}. Donde segue o resultado.
3
2 Teorema Principal
Teorema 2. Considere a equac¸a\u2dco
P(x)
d2y
dx2
+Q(x)
dy
dx
+ R(x)y = 0,
em que P(x),Q(x) e R(x) sa\u2dco polino\u2c6mios sem fatores comuns. Se P(0) \u2215= 0, enta\u2dco a equac¸a\u2dco
tem soluc¸a\u2dco geral em se´rie de pote\u2c6ncias
y(x) =
\u221e
\u2211
n=0
anx
n = a0
(
1+
\u221e
\u2211
n=2
bnx
n
)
+ a1
(
x+
\u221e
\u2211
n=2
cnx
n
)
,
em que y1(x) = 1 + \u2211
\u221e
n=2 bnx
n e y2(x) = x + \u2211
\u221e
n=2 cnx
n sa\u2dco soluc¸o\u2dces fundamentais da
equac¸a\u2dco que convergem para \u2223x\u2223 < r, sendo r o raio do maior c\u131´rculo no plano complexo com
centro na origem tal que P(z) \u2215= 0, para todo z \u2208 \u2102 com \u2223z\u2223 < r.
Demonstrac¸a\u2dco. Dividindo-se a equac¸a\u2dco por P(x) obtemos uma equac¸a\u2dco da forma
y\u2032\u2032 + p(x)y\u2032 + q(x)y = 0.
Pelo Lema 1 os coeficientes podem ser escritos em se´rie de pote\u2c6ncias de x
p(x) =
Q(x)
P(x)
=
\u221e
\u2211
n=0
pnx
n, q(x) =
R(x)
P(x)
=
\u221e
\u2211
n=0
qnx
n,
que convergem para \u2223x\u2223 < r, sendo r o raio do maior c\u131´rculo no plano complexo com
centro na origem tal que P(z) \u2215= 0, para todo z \u2208 \u2102 com \u2223z\u2223 < r. Suponhamos que a
soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco possa ser escrita em se´rie de pote\u2c6ncias de x como
y(x) =
\u221e
\u2211
n=0
anx
n.
Vamos mostrar que os coeficientes satisfazem uma relac¸a\u2dco de recorre\u2c6ncia de tal
forma que a se´rie converge para \u2223x\u2223 < r. As derivadas, y\u2032(x) e y\u2032\u2032(x), sa\u2dco representadas
em se´rie de pote\u2c6ncias como
y\u2032(x) =
\u221e
\u2211
n=0
(n+ 1)an+1x
n, y\u2032\u2032(x) =
\u221e
\u2211
n=0
(n+ 1)(n+ 2)an+2x
n.
4 2 TEOREMA PRINCIPAL
Substituindo-se na equac¸a\u2dco obtemos
\u221e
\u2211
n=0
[
(n+ 1)(n+ 2)an+2 +
n
\u2211
k=0
[pn\u2212k(k+ 1)ak+1 + qn\u2212kak]
]
xn = 0.
Esta e´ a se´rie nula, o que implica que todos os coeficientes sa\u2dco iguais a zero. Assim
(n+ 1)(n+ 2)an+2 = \u2212
n
\u2211
k=0
[pn\u2212k(k+ 1)ak+1 + qn\u2212kak] . (1)
Por outro lado, da converge\u2c6ncia das se´ries de p(x) e q(x) segue-se que existe M > 0
tal que \u2223pn\u2223tn < M e \u2223qn\u2223tn < M, para 0 < t < r e n = 0, 1, 2 . . . Usando isso
(n+ 1)(n+ 2)\u2223an+2\u2223 \u2264
M
tn
n
\u2211
k=0
[(k+ 1)\u2223ak+1\u2223+ \u2223ak \u2223] t
k
\u2264
M
tn
n
\u2211
k=0
[(k+ 1)\u2223ak+1\u2223+ \u2223ak\u2223] t
k + M\u2223an+1\u2223t. (2)
Vamos considerar a se´rie \u2211\u221en=0 Anx
n, com os coeficientes definidos por
A0 = \u2223a0\u2223, A1 = \u2223a1\u2223
(n+ 2)(n+ 1)An+2 =
M
tn
n
\u2211
k=0
[(k+ 1)Ak+1 + Ak] t
k + MAn+1t. (3)
Usando (2) e (3), por induc¸a\u2dco, temos que \u2223an\u2223 \u2264 An, para n = 0, 1, 2, . . . Vamos mostrar
que a se´rie \u2211\u221en=0 Anx
n e´ convergente para \u2223x\u2223 < r, o que implica que a se´rie de y(x)
tambe´m e´ convergente. Usando (3) temos que
(n+ 1)nAn+1 =
M
tn\u22121
n\u22121
\u2211
k=0
[(k+ 1)Ak+1 + Ak] t
k + MAnt
n(n\u2212 1)An =
M
tn\u22122
n\u22122
\u2211
k=0
[(k+ 1)Ak+1 + Ak] t
k + MAn\u22121t.
Assim
(n+ 1)nAn+1 =
1
t
{
M
tn\u22122
n\u22122
\u2211
k=0
[(k+ 1)Ak+1 + Ak] t
k + M [nAn + An\u22121] t
}
+ MAnt
=
1
t
{n(n\u2212 1)An \u2212MAn\u22121t+ M [nAn + An\u22121] t}+ MAnt
=
An
t
{
n(n\u2212 1) + Mnt+ Mt2
}
5
Enta\u2dco \u2223\u2223\u2223\u2223An+1xn+1Anxn
\u2223\u2223\u2223\u2223 = n(n\u2212 1) + Mnt+ Mt2t(n+ 1)n \u2223x\u2223 \u2192 \u2223x\u2223t , quando n \u2192 \u221e.
Assim a se´rie \u2211\u221en=0 Anx
n converge \u2223x\u2223 < t, para todo t < r. Logo a se´rie \u2211\u221en=0 Anx
n
converge para \u2223x\u2223 < r. Como \u2223an\u2223 \u2264 An, para n = 0, 1, 2, . . ., enta\u2dco tambe´m converge
para \u2223x\u2223 < r a se´rie
y(x) =
\u221e
\u2211
n=0
anx
n.
Agora, fazendo n = 0 em (1), obtemos a2 como combinac¸a\u2dco linear de a0 e a1.
Substituindo-se este resultado em (1) para n = 1 obtemos tambe´m a3 como combinac¸a\u2dco
linear de a0 e a1. Continuando desta forma obtemos
an = bna0 + cna1, para n = 2, 3, . . ..
Assim,
y(x) = a0
(
1+
\u221e
\u2211
n=2
bnx
n
)
+ a1
(
x+
\u221e
\u2211
n=2
cnx
n
)
.
Deixamos como exerc\u131´cio para o leitor a verificac¸a\u2dco de que y1(x) = 1 +
\u221e
\u2211
n=2
bnx
n e
y2(x) = x+
\u221e
\u2211
n=2
cnx
n sa\u2dco soluc¸o\u2dces fundamentais da equac¸a\u2dco.
Exerc\u131´cio.
Mostre que se
y(x) = a0
(
1+
\u221e
\u2211
n=2
bnx
n
)
+ a1
(
x+
\u221e
\u2211
n=2
cnx
n
)
.
e´ soluc¸a\u2dco em se´rie de pote\u2c6ncias da equac¸a\u2dco
P(x)
d2y
dx2
+ Q(x)
dy
dx
+ R(x)y = 0
enta\u2dco
y1(x) = 1+
\u221e
\u2211
n=2
bnx
n e y2(x) = x+
\u221e
\u2211
n=2
cnx
n
sa\u2dco soluc¸o\u2dces fundamentais da equac¸a\u2dco.
6 REFERE\u2c6NCIAS
Resposta.
y1(t) e y2(t) sa\u2dco soluc¸o\u2dces da equac¸a\u2dco pois fazendo a0 = 1 e a1 = 0 obtemos y1(t) e
fazendo a0 = 0 e a1 = 1 obtemos y2(t). Ale´m disso
W[y1, y2](0) = det
[
y1(0) y2(0)
y\u20321(0) y
\u2032
2(0)
]
= det
[
1 0
0 1
]
= 1 \u2215= 0
Como o wronskiano de y1(t) e y2(t) e´ diferente de zero para t = 0 e y1(t) e y2(t) sa\u2dco
soluc¸o\u2dces da equac¸a\u2dco, enta\u2dco y1(t) e y2(t) sa\u2dco soluc¸o\u2dces fundamentais da equac¸a\u2dco.
Refere\u2c6ncias
[1] F. Brauer and J. A. Nohel. Ordinary Differential Equations: A First Course. W. A.
Benjamin, Inc., New York, 1967.
[2] Ruel V. Churchil. Varia´veis Complexas e suas Aplicac¸o\u2dces. McGraw-Hill, Rio de Janeiro,
1975.
[3] E. A. Coddington. Introduction to OrdinaryDifferential Equations. Prentice-Hall, New
York, 1961.
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	Teorema Principal