P1-1-2021RE

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1a¯ Prova - Matemática Combinatória - 26/08/2021
Recomendações:
• Não é necessário usar calculadora. Deixe o resultado indicado, como um produto
ou quociente ou potência de números inteiros ou fatoriais.
• Justifique suas afirmações.
• Boa Prova!
Questões:
1. (1.5) Seja {an} a sequência definida por: a1 = 1, a2 = 3, an = an−2 + 2an−1 para n
natural, n ≥ 3.
Prove por Indução Matemática que an é ı́mpar para todo n natural, n ≥ 1.
Observação: Indique claramente os passos da indução.
2. (1,5) Considere 16 objetos distintos. Quantas são as maneiras de decompô-los em 5
grupos, sendo 3 com 2 objetos cada um, e 2 com 5 objetos cada um? Justifique.
3. (1.5) Em um teste de Matemática existem 10 questões de múltipla escolha com 4
possibilidades de resposta para cada uma, e 15 questões do tipo Verdadeiro ou Falso.
De quantas maneiras as 25 questões podem ser respondidas? Justifique.
4. (1.5) Quantos números de 10 d́ıgitos maiores que 6.000.000.000 podem ser formados
usando os algarismos 1, 3, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9? Justifique.
5. (1.0) Usando a relação de Stifel, mostre que:
Cp
n
+ Cp+1
n
+ Cp+2
n+1 = C
p+2
n+2
6. (1.5) Determine o coeficiente de x18 no desenvolvimento de (7x2 + 5− 3x3)24.
Justifique.
7. (1.5) Aplique o Prinćıpio da Inclusão e Exclusão (explicitando o conjunto base e as
propriedades usadas) para calcular o número de soluções inteiras e não negativas da
equação:
x1 + x2 + x3 = 12, tal que, 0 ≤ x1 ≤ 2, 0 ≤ x2 ≤ 5 e 0 ≤ x3 ≤ 6.