03_-_Slides - Limites

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Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
LIMITES
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
Limite
Origem das idéias do Cálculo:
O problema da reta tangente
O problema da velocidade instantânea
O problema da área
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
Limite
O Cálculo se diferencia da Álgebra e Trigonometria pelo conceito de limite.
Os limites descrevem o que acontece com uma função f(x) à medida que sua variável x se aproxima de um número particular a.
No cálculo nos interessam, em geral, os valores f(x) de uma função f que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a.
Em outras palavras, estudamos o comportamento de uma função f em torno de um número a (no domínio), mas não nos interessa, em geral, se este n° está ou não definido, ou seja, se este a pertence ou não ao domínio da função.
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
Não, porque obtemos a indeterminação . 
Observe:
Considere a função
com a = 2.
f(a) estaria definida para a=2?
Um exemplo:
Cálculo Diferencial e Integral
Plan1
		x		f(x)				x		f(x)
		1.9		1.20333333				2.1		1.47000000
		1.99		1.32003333				2.01		1.34670000
		1.999		1.33200033				2.001		1.33466700
		1.999		1.33320000				2.0001		1.33346667
		1.99999		1.33332000				2.00001		1.33334667
		1.999999		1.33333200				2.000001		1.33333467
Plan2
		
Plan3
		
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
Parece-nos que quanto mais x se aproxima de 2, tanto mais f(x) se aproxima de 1,3333... = . 
O que você observa?
Esse comportamento pode ser definido dizendo que o limite de f(x) à medida que x se aproxima de 2 é igual a 1,3333..., e abreviado como:
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
Fatoremos a função f(x):
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
Quando x tende a 2 por valores menores que 2, simbolizamos 
Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas chamados de limites laterais.
Quando x tende a 2 por valores maiores que 2, simbolizamos 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
O LIMITE DE x a SOMENTE EXISTIRÁ SE AMBOS OS LIMITES LATERAIS EXISTIREM E FOREM IGUAIS.
Então podemos dizer que:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
Definição de Limite
Seja uma função f definida em um intervalo aberto que contém o ponto a, exceto possivelmente no próprio ponto a, e seja L um nº real.
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
Obs.: Dependendo da função f(a) pode ser L, pode ser = L ou pode ainda . 
Interpretação gráfica para o limite de uma função:
Cálculo Diferencial e Integral
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Fazer x=0, obtém-se a indeterminação . 
Vamos observar esse comportamento:
Vejamos outro exemplo:
Cálculo Diferencial e Integral
Plan1
								x		f(x)				x		f(x)
								-2.0		0.454648713				2.0		0.454648713
								-1.0		0.841470985				1.0		0.841470985
								-0.5		0.958851077				0.5		0.958851077
								-0.4		0.973545856				0.4		0.973545856
								-0.3		0.985067356				0.3		0.985067356
								-0.2		0.993346654				0.2		0.993346654
								-0.1		0.998334166				0.1		0.998334166
								-0.01		0.999983333				0.01		0.999983333
								-0.001		0.999999833				0.001		0.999999833
								-0.0001		0.999999995				0.0001		0.999999995
Plan2
		
Plan3
		
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Cálculo Diferencial e Integral
pois:
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
E a prova algébrica?
Para expressões algébricas simples, encontrar o limite dessas funções é fácil. Vejamos...
Será que vamos sempre fazer estas tabelas?
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplos:
Mas essa técnica não pode ser aplicada sempre.
INDETERMINAÇÃO
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Cálculo Diferencial e Integral
c) 
Quanto mais x se aproxima de 0, tanto pela esquerda quanto pela direita, f(x) aumenta/diminui indefinidamente e isso faz com que esse limite. (Não converge para ponto algum.)
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Limites Laterais
E quando usar limites laterais? 
Exemplo 1:
Se , 
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Cálculo Diferencial e Integral
O limite pq não está definido em um intervalo aberto contendo 2, ié, , o limite de um dos lados.
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Exemplo 2 :
O ponto f(1)=4 é irrelevante para a determinação do limite.
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Propriedades dos Limites
a)
b)
c)
d)
e)
f) 
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Cálculo Diferencial e Integral
g)
h)
i) 
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Limites que envolvem Infinito 
Observemos a função: 
Cálculo Diferencial e Integral
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Cálculo Diferencial e Integral
Vejamos o que ocorre com os x\u2019s próximos de 2 pela direita.
f(x) está aumentando sem limite.
Cálculo Diferencial e Integral
Séries
		Produção de Petróleo Bruto - BR
		
		Anos		Produção
		1976		9702
		1977		9332
		1978		9304
		Fonte: Conjuntura Econômica, fev/83
		
						População Estimada da Microregião de Campinas
		
						Municípios		População
						Americana		78,942
						Araras		63,677
						Artur Nogueira		12,108
						Fonte: hipotética
		
						Produção Agrícola no Brasil - 1974
						(produtos selecionados)
						Especificação		Produção em 1000t
						Algodão em caroço		1,959
						Cacau		165
						Café		3,220
						Cana de Açúcar		96,412
						Fonte: Revista Comércio e Mercado (Suplemento), Março/1976
Corr-Regr
		
		x		y
		25		12
		26		11
		27		13
		28		12
		29		11
		30		8
		31		10
		32		9
		33		7
		34		8
		35		8
		36		9
		37		7
		38		7
		39		6
		40		6
		41		4
		42		5
		
		
		
		
		
		x		y
		2		1
		2		2
		3		2
		3		3
		3		4
		4		2
		4		4
		5		3
		6		4
		6		5
		6		3																				X		25		26		27		28		29		30		31		32		33		34		35		36		37		38		39		40		41		42
																								Y		12		11		13		12		11		8		10		9		7		8		8		9		7		7		6		6		4		5
		
																								X		2		2		3		3		3		4		4		5		6		6		6
																								Y		1		2		2		3		4		2		4		3		4		5		3
Corr-Regr
		
Idade (anos)
Duração do Banho (min)
Diagrama de Dispersão
Corr-Regr (2)
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
eixo x
eixo y
Distribuições
		Comprimentos e Pesos de Ursos Machos
		
		
		Comprimento x (pol)		Peso y (lb)
		53.0		80
		67.5		344
		72.0		416
		72.0		348
		73.5		262
		68.5		360
		73.0		332
		37.0		34
		Fonte: Minitab e Gary Alt.
		
								n
								4		0.950		0.999
								5		0.878		0.959
								6		0.811		0.917
								7		0.754		0.875
								8		0.707		0.834
								9		0.666		0.798
								10		0.632		0.765
								11		0.602		0.735
								12		0.576		0.708
								13		0.553		0.684
								14		0.532		0.661
								15		0.514		0.641
								16		0.497		0.623
								17		0.482		0.606
								18		0.468		0.590
								19		0.456		0.575
								20		0.444		0.561
								25		0.396		0.505
								30		0.361		0.463
								35		0.335		0.430
								40		0.312		0.402
								45		0.294		0.378
								50		0.279