03_-_Slides - Limites

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
LIMITES
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Limite
Origem das idéias do Cálculo:
O problema da reta tangente
O problema da velocidade instantânea
O problema da área
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Limite
O Cálculo se diferencia da Álgebra e Trigonometria pelo conceito de limite.
Os limites descrevem o que acontece com uma função f(x) à medida que sua variável x se aproxima de um número particular a.
No cálculo nos interessam, em geral, os valores f(x) de uma função f que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a.
Em outras palavras, estudamos o comportamento de uma função f em torno de um número a (no domínio), mas não nos interessa, em geral, se este n° está ou não definido, ou seja, se este a pertence ou não ao domínio da função.
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Não, porque obtemos a indeterminação . 
Observe:
Considere a função
com a = 2.
f(a) estaria definida para a=2?
Um exemplo:
Cálculo Diferencial e Integral
Plan1
		x		f(x)				x		f(x)
		1.9		1.20333333				2.1		1.47000000
		1.99		1.32003333				2.01		1.34670000
		1.999		1.33200033				2.001		1.33466700
		1.999		1.33320000				2.0001		1.33346667
		1.99999		1.33332000				2.00001		1.33334667
		1.999999		1.33333200				2.000001		1.33333467
Plan2
		
Plan3
		
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Parece-nos que quanto mais x se aproxima de 2, tanto mais f(x) se aproxima de 1,3333... = . 
O que você observa?
Esse comportamento pode ser definido dizendo que o limite de f(x) à medida que x se aproxima de 2 é igual a 1,3333..., e abreviado como:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Fatoremos a função f(x):
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Quando x tende a 2 por valores menores que 2, simbolizamos 
Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas chamados de limites laterais.
Quando x tende a 2 por valores maiores que 2, simbolizamos 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
O LIMITE DE x a SOMENTE EXISTIRÁ SE AMBOS OS LIMITES LATERAIS EXISTIREM E FOREM IGUAIS.
Então podemos dizer que:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Definição de Limite
Seja uma função f definida em um intervalo aberto que contém o ponto a, exceto possivelmente no próprio ponto a, e seja L um nº real.
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Obs.: Dependendo da função f(a) pode ser L, pode ser = L ou pode ainda . 
Interpretação gráfica para o limite de uma função:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Fazer x=0, obtém-se a indeterminação . 
Vamos observar esse comportamento:
Vejamos outro exemplo:
Cálculo Diferencial e Integral
Plan1
								x		f(x)				x		f(x)
								-2.0		0.454648713				2.0		0.454648713
								-1.0		0.841470985				1.0		0.841470985
								-0.5		0.958851077				0.5		0.958851077
								-0.4		0.973545856				0.4		0.973545856
								-0.3		0.985067356				0.3		0.985067356
								-0.2		0.993346654				0.2		0.993346654
								-0.1		0.998334166				0.1		0.998334166
								-0.01		0.999983333				0.01		0.999983333
								-0.001		0.999999833				0.001		0.999999833
								-0.0001		0.999999995				0.0001		0.999999995
Plan2
		
Plan3
		
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
pois:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
E a prova algébrica?
Para expressões algébricas simples, encontrar o limite dessas funções é fácil. Vejamos...
Será que vamos sempre fazer estas tabelas?
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplos:
Mas essa técnica não pode ser aplicada sempre.
INDETERMINAÇÃO
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
c) 
Quanto mais x se aproxima de 0, tanto pela esquerda quanto pela direita, f(x) aumenta/diminui indefinidamente e isso faz com que esse limite. (Não converge para ponto algum.)
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Limites Laterais
E quando usar limites laterais? 
Exemplo 1:
Se , 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
O limite pq não está definido em um intervalo aberto contendo 2, ié, , o limite de um dos lados.
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2 :
O ponto f(1)=4 é irrelevante para a determinação do limite.
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Propriedades dos Limites
a)
b)
c)
d)
e)
f) 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
g)
h)
i) 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Limites que envolvem Infinito 
Observemos a função: 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Vejamos o que ocorre com os x’s próximos de 2 pela direita.
f(x) está aumentando sem limite.
Cálculo Diferencial e Integral
Séries
		Produção de Petróleo Bruto - BR
		
		Anos		Produção
		1976		9702
		1977		9332
		1978		9304
		Fonte: Conjuntura Econômica, fev/83
		
						População Estimada da Microregião de Campinas
		
						Municípios		População
						Americana		78,942
						Araras		63,677
						Artur Nogueira		12,108
						Fonte: hipotética
		
						Produção Agrícola no Brasil - 1974
						(produtos selecionados)
						Especificação		Produção em 1000t
						Algodão em caroço		1,959
						Cacau		165
						Café		3,220
						Cana de Açúcar		96,412
						Fonte: Revista Comércio e Mercado (Suplemento), Março/1976
Corr-Regr
		
		x		y
		25		12
		26		11
		27		13
		28		12
		29		11
		30		8
		31		10
		32		9
		33		7
		34		8
		35		8
		36		9
		37		7
		38		7
		39		6
		40		6
		41		4
		42		5
		
		
		
		
		
		x		y
		2		1
		2		2
		3		2
		3		3
		3		4
		4		2
		4		4
		5		3
		6		4
		6		5
		6		3																				X		25		26		27		28		29		30		31		32		33		34		35		36		37		38		39		40		41		42
																								Y		12		11		13		12		11		8		10		9		7		8		8		9		7		7		6		6		4		5
		
																								X		2		2		3		3		3		4		4		5		6		6		6
																								Y		1		2		2		3		4		2		4		3		4		5		3
Corr-Regr
		
Idade (anos)
Duração do Banho (min)
Diagrama de Dispersão
Corr-Regr (2)
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
eixo x
eixo y
Distribuições
		Comprimentos e Pesos de Ursos Machos
		
		
		Comprimento x (pol)		Peso y (lb)
		53.0		80
		67.5		344
		72.0		416
		72.0		348
		73.5		262
		68.5		360
		73.0		332
		37.0		34
		Fonte: Minitab e Gary Alt.
		
								n
								4		0.950		0.999
								5		0.878		0.959
								6		0.811		0.917
								7		0.754		0.875
								8		0.707		0.834
								9		0.666		0.798
								10		0.632		0.765
								11		0.602		0.735
								12		0.576		0.708
								13		0.553		0.684
								14		0.532		0.661
								15		0.514		0.641
								16		0.497		0.623
								17		0.482		0.606
								18		0.468		0.590
								19		0.456		0.575
								20		0.444		0.561
								25		0.396		0.505
								30		0.361		0.463
								35		0.335		0.430
								40		0.312		0.402
								45		0.294		0.378
								50		0.279
0.361
								60		0.254		0.330
								70		0.236		0.305
								80		0.220		0.286
								90		0.207		0.269
								100		0.196		0.256
								Fonte: Introdução à Estatística - Mário F.Triola
Distribuições2
		
		
		Título						Título
								Classe
		21		3				45 - 55		15
		22		2				55 - 65		30
		23		2				65 - 75		35
		24		1				75 - 85		15
		25		4				85 - 95		5
		Total		12				Total		100
		Fonte:						Fonte:
												68		84		75		82		68		90		62		88		76		93
												73		79		88		73		60		93		71		59		85		75
												61		65		75		87		74		62		95		78		63		72
												66		78		82		75		94		77		69		74		68		60
												96		78		89		61		75		95		60		79		83		71
												79		62		67		97		78		85		76		65		71		75
												65		80		73		57		88		78		62		76		53		74
												86		67		73		81		72		63		76		75		85		77
		
												68		84		75		82		68		90		62		88		76		93
												73		79		88		73		60		93		71		59		85		75
												61		65		75		87		74		62		95		78		63		72
												66		78		82		75		94		77		69		74		68		60
												96		78		89		61		75		95		60		79		83		71
												79		62		67		97		78		85		76		65		71		75
												65		80		73		57		88		78		62		76		53		74
												86		67		73		81		72		63		76		75		85		77
Limites
		Graus Finais de Matemática - Universidade do Estado
		Classe
		50 - 55		1		1/80 = 1,25		1		1.25
		55 - 60		2		1/80 = 2,50		3		3.75
		60 - 65		11		11/80 = 13,75		14		17.50
		65 - 70		10		10/80 = 12,50		24		30.00
		70 - 75		12		12/80 = 15,00		36		45.00
		75 - 80		21		21/80 = 26,25		57		71.25
		80 - 85		6		6/80 = 7,50		63		78.75
		85 - 90		9		9/80 = 11,25		72		90.00
		90 - 95		4		4/80 = 5,00		76		95.00
		95 - 100		4		4/80 = 5,00		80		100.00
				80		100.00%
		Fonte: hipotética
		
		Graus Finais de Matemática - Universidade do Estado
		Classe				ponto médio
		50 - 55		1		52.5
		55 - 60		2		57.5
		60 - 65		11		62.5
		65 - 70		10		67.5
		70 - 75		12		72.5
		75 - 80		21		77.5
		80 - 85		6		82.5
		85 - 90		9		87.5
		90 - 95		4		92.5
		95 - 100		4		97.5
				80
		Fonte: hipotética												Retiradas diárias de um banco
														Retiradas (R$)		Freqüência		pt. médio
														500 - 600		12		550
														600 - 700		36		650
														700 - 800		63		750
														800 - 900		81		850
														900 - 1000		77		950
														1000 - 1100		42		1050
														1100 - 1200		24		1150
																335
														Fonte: fictícia
		x		y
		2.1		10
		2.01		100
		2.001		1000
		2.0001		10000
		2.00001		100000
		2.000001		1000000
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Alguns exemplos:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Alguns exemplos:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Alguns exemplos:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Alguns exemplos:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
limite bilateral
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
limite bilateral
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Assíntotas Verticais
Em todos os casos anteriores, a reta x = a é chamada de assíntota vertical da curva y = f(x)
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Assíntotas Verticais
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Teorema
Exemplos:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Teorema
Limites no Infinito
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplos:
a) 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
b) 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
c) 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Assíntota Horizontal
Quando 
ou 
, dizemos que a reta 
é uma assíntota horizontal do gráfico de f.
_1296227165.unknown
_1296227273.unknown
_1296227102.unknown
Cálculo Diferencial e Integral
*
Limites de xn quando x ou quando x 
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Limites de Polinômios quando x ou x 
Exemplos:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Limites de Logaritmos e Exponenciais quando x ou x 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Um Método Rápido para Achar os Limites de Funções Racionais quando x ou quando x 
Exemplos:
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Determinação do Limite de uma Função pelo Estudo do Sinal
Ache o
Solução: 
Cálculo Diferencial e Integral
*
CONTINUIDADE
Cálculo Diferencial e Integral
*
TIPOS DE DESCONTINUIDADE
INFINITA
REMOVÍVEL
SALTO
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Funções Contínuas
Todas as funções a seguir não são contínuas.
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Funções Descontínuas
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Funções Descontínuas
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
Funções Descontínuas
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
*
Cálculo Diferencial e Integral
*
DESCONTINUIDADE
INFINITA
Pelo menos um dos limites laterais é infinito.
Há descontinuidade infinita quando há ASSÍNTOTA VERTICAL
Ex.2: 
Cálculo Diferencial e Integral
*
DESCONTINUIDADE
REMOVÍVEL
Limite e imagem existem, mas são diferentes.
Limite existe, mas imagem não existe
Ex. 3: 
Cálculo Diferencial e Integral
*
DESCONTINUIDADE TIPO SALTO
Limites laterais são diferentes.
Ex.4: 
Cálculo Diferencial e Integral
*
Teorema do Valor Intermediário
Supondo uma função contínua em [a, b]. Se traçar qualquer reta horizontal entre f(a) e f(b), então a reta cruzará y=f(x), pelo menos uma vez em [a ,b].
Teorema: Se f for uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e k um número qualquer entre f(a) e f(b), inclusive, então existe, no mínimo, um número x no intervalo [a, b], tal que f(x)=k.