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Aula 12
Derivando funções trigonométricas
Nesta aula estaremos deduzindo derivadas de funções trigonométricas. Estaremos tam-
bém apresentando as funções trigonométricas inversas e deduzindo suas derivadas.
Admitiremos que as seis funções trigonométricas são cont́ınuas nos pontos onde
estão definidas.
Recordemo-nos de que, pela proposição 11.1, aula 11, temos o primeiro limite
fundamental,
lim
h→0
sen h
h
= 1
Como conseqüência, deduziremos agora as derivadas das funções seno e cosseno.
Teorema 12.1
(senx)′ = cos x
(cosx)′ = − sen x
Demonstração. Seja f(x) = senx. Consideremos então, fazendo ∆x = h,
∆f
∆x
=
f(x + h) − f(x)
h
=
sen(x + h) − sen x
h
=
senx cosh + sen h cos x − senx
h
= senx · cos h − 1
h
+ cos x · sen h
h
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= senx · lim
h→0
cosh − 1
h
+ cosx · lim
h→0
senh
h
101
102 Aula 12
Agora, temos lim
h→0
senh
h
= 1, e
lim
h→0
cosh − 1
h
= lim
h→0
(cosh − 1)(cos h + 1)
h(cos h + 1)
= lim
h→0
(cos2 h − 1)
h(cos h + 1)
= lim
h→0
− sen2 h
h(cos h + 1)
= lim
h→0
senh
h
· lim
h→0
− sen h
cos h + 1
= 1 · 0
2
= 0
Portanto, f ′(x) = (sen x) · 0 + (cosx) · 1 = cos x.
Assim (senx)′ = cos x, para todo x ∈ R.
Agora, cosx = sen
(
π
2
− x
)
. Por derivação em cadeia,
(cosx)′ =
[
sen
(π
2
− x
)]′
= cos
(π
2
− x
)
·
(π
2
− x
)′
= (sen x) · (−1) = − senx
Proposição 12.1
(tg x)′ = sec2 x
(cotg x)′ = − cosec2 x
(sec x)′ = sec x tg x
(cosec x)′ = − cosec x cotg x
Demonstração. Para deduzir estas novas fórmulas, basta fazer uso das relações
tg x =
senx
cos x
, cotg x =
cos x
senx
sec x =
1
cos x
, cosec x =
1
senx
e aplicar a regra de derivação de um quociente,
(u
v
)′
=
u′v − uv′
v2
. Deixamos o prazer
da descoberta para o leitor.
12.1 Funções trigonométricas inversas
e suas derivadas
A função arco-seno. Para cada número real a, −1 ≤ a ≤ 1, existe um único arco
orientado α, −π/2 ≤ α ≤ π/2, tal que sen α = a.
Dizemos que α é o arco cujo seno é a, ou que α é o arco-seno de a, e denotamos
isto por
α = arc sen a
Sumarizando,
Derivando funções trigonométricas 103
α = arc sen a se e somente se
{
senα = a
−π/2 ≤ α ≤ π/2
Assim, por exemplo (confira),
arc sen 1 =
π
2
, arc sen
√
3
2
=
π
3
, arc sen
(
−1
2
)
= −π
6
, arc sen(−1) = −π
2
A função arco-cosseno. Para cada número real a, −1 ≤ a ≤ 1, existe um único arco
orientado β, 0 ≤ β ≤ π, tal que cos β = a.
Dizemos que β é o arco cujo cosseno é a, ou que β é o arco-cosseno de a, e
denotamos isto por
β = arccos a
Sumarizando,
β = arccos a se e somente se
{
cos β = a
0 ≤ β ≤ π
104 Aula 12
Assim, por exemplo, arccos 1 = 0, arccos(
√
2/2) = π/4, arccos(−1/2) = 2π/3,
arccos(−1) = π.
A função arco-tangente. Para cada número real a, −∞ < a < +∞, existe um único
arco orientado γ, −π/2 < γ < π/2, tal que tg γ = a.
Dizemos que γ é o arco cuja tangente é a, ou que γ é o arco-tangente de a, e
denotamos isto por
γ = arc tg a
Sumarizando,
γ = arc tg a se e somente se
{
a = tg γ
−π/2 < γ < π/2
Assim, definem-se as funções arc sen x e arccosx, para−1 ≤ x ≤ 1, e arc tg x para
todo x ∈ R. Algumas calculadoras cient́ıficas chamam essas funções pelas teclas INV
SIN , INV COS , INV TAN , e às vezes pelas teclas SIN−1 , COS−1 , TAN−1 .
Proposição 12.2
(arc sen x)′ =
1√
1 − x2
, −1 < x < 1
(arccos x)′ = − 1√
1 − x2
, −1 < x < 1
(arc tg x)′ =
1
1 + x2
, −∞ < x < +∞
Demonstração.
Sendo −1 < x < 1,
y = arc senx se e somente se sen y = x, e − π/2 < y < π/2
Derivando funções trigonométricas 105
Por derivação impĺıcita da equação sen y = x, temos
(sen y)′ = 1 ⇒ (cos y) · y′ = 1
⇒ y′ = 1
cos y
=
1
√
1 − sen2 y
=
1√
1 − x2
Portanto (arc senx)′ =
1√
1 − x2
.
Para −1 < x < 1, y = arccos x se e somente se cos y = x, e 0 < y < π.
Por derivação impĺıcita temos
(cos y)′ = 1 ⇒ −(sen y) · y′ = 1
⇒ y′ = − 1
sen y
=
1
√
1 − cos2 y
= − 1√
1 − x2
Portanto (arccosx)′ = − 1√
1 − x2
.
Finalmente, para x ∈ R,
y = arc tg x se e somente se tg y = x, e − π/2 < y < π/2
Por derivação impĺıcita temos
(tg y)′ = 1 ⇒ (sec2 y) · y′ = 1
⇒ y′ = 1
sec2 y
=
1
1 + tg2 y
= − 1
1 + x2
Portanto (arc tg x)′ =
1
1 + x2
.
12.2 Problemas
1. Sendo f(x) = senx, mostre que f ′(x) = cos x, fazendo uso da fórmula
sen p − sen q = 2 sen p − q
2
cos
p + q
2
para calcular o limite de
∆f
∆x
=
f(x + ∆x)− f(x)
∆x
=
sen(x + ∆x) − senx
∆x
quando ∆x → 0.
106 Aula 12
Figura 12.1.
2. A distância d = OA (veja figura 12.1) que um projétil alcança, quando disparado
de um canhão com velocidade inicial v0, por um cano inclinado com um ângulo
de elevação ϕ em relação ao chão (horizontal), é dada pela fórmula
d =
v0
g
sen 2ϕ
sendo g a aceleração da gravidade local. Qual é o ângulo ϕ que proporciona
alcance máximo? Resposta. 45◦.
3. Calcule as derivadas das seguintes funções.
(a) y = sec
√
x − 1 (b) y = cosec(x2 + 4)
(c) y = cotg(x3 − 2x) (d) f(x) = cos 3x2
(e) y =
cos 4x
1 − sen 4x (f) g(x) = cos
2 3x (cos2 a significa (cos a)2)
(g) y = tg2 x sec3 x (h) f(x) = tg3(3x + 1)
(i) y = x2 sec2 5x (j) f(x) = ln | cosec x + cotg x|
(k) y = e−3x tg
√
x (l) g(x) = ln(ln sec 2x)
(m) y = xsenx (n) f(x) = ln | sec x + tg x|
Respostas. (a) sec
√
x−1 tg
√
x−1
2
√
x−1 (b) −2x cosec(x
2 + 4) cotg(x2 + 4)
(c) −(3x2 − 2) cosec2(x3 − 2x) (d) −6x sen 3x2 (e) 41−sen 4x (f) −3 sen6x
(g) 3 tg3 x sec3 x + 2 tgx sec5 x (h) 9 tg2(3x + 1) sec2(3x + 1)
(i) 2x sec2 5x+10x2 sec2 5x tg 5x (j) − cosec x (k) e−3x sec2
√
x
2
√
x
−3e−3x tg√x (l)
2 tg 2x
ln sec 2x (m) x
senx
(
cosx · lnx + senx
x
)
(n) sec x
4. Calcule as derivadas das seguintes funções.
(a) y = arc sen
√
x (b) f(x) = (1 + arccos 3x)3 (c) f(x) = ln arc tg x2
(d) y = 3arc senx
3
(e) g(x) = (tg x)arc tgx
Respostas. (a) 1/(2
√
x
√
1 − x) (b) −9(1 + arccos 3x)2/
√
1 − 9x2
(c) 2x
(1+x4) arc tg x2
(d) (3 ln3)x2 · 3arc senx3/
√
1− x6
(e) (tgx)arc tgx[cotgx sec2 x arc tgx + (ln tgx)/(1 + x2)]
5. Determine y′ por derivação impĺıcita.
(a) y = x sen y (b) ex cos y = x ey (c) x2 + x arc sen y = yex
Derivando funções trigonométricas 107
Respostas. (a) y′ = sen y1−x cosy (b) y
′ = e
x cosy−ey
ex sen y+xey
(c) y′ =
√
1 − y2(yex − arc sen y − 2x)
x − ex
√
1 − y2
6. Esboce os gráficos das funções, analisando-as previamente através de derivadas e
limites apropriados.
(a) y = x + senx (b) y = arc tg x (c) y = x + arc tg x
Respostas. (Daremos as derivadas como suporte às soluções.)
(a) y′ = 1 + cosx, y′′ = − sen x. Ao pesquisar retas asśıntotas do gráfico, você vai se
deparar com os limites lim
x→±∞
senx
x
. Use o seguinte racioćınio. Como −1 ≤ sen x ≤ 1
para todo x ∈ R, temos −1
x
≤ senx
x
≤ 1
x
, para todo x > 0. Dáı, usando um teorema de
confronto (sandúıche), temos lim
x→+∞
senx
x
= 0. Calcule também lim
x→−∞
senx
x
.
(b) y′ = 1
1+x2
, y′′ = −2x
(1+x2)2
(c) y′ = 1 + 1
1+x2
, y′′ = −2x
(1+x2)2
(a) (b)
(c)