NOTAS+DE+AULA+-+ESTATÍSTICA+-+s

Prévia do material em texto

NOTAS DE AULAS
ESTATÍSTICA
 APLICADA
Autora: Eliane Aparecida Peixoto Favilla
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Definição: É um conjunto de técnicas que objetivam descrever, analisar e interpretar os dados numéricos de uma população ou amostra. 
População: é um conjunto de indivíduos que apresentam uma característica em comum.
Amostra: é um subconjunto finito de uma população.
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
Coleta de dados: Refere-se á obtenção, reunião e registro sistemático de dados com um objetivo determinado.
Os dados se apresentam de duas maneiras:
Dados primários: quando são publicados ou comunicados pela própria pessoa ou organização que os haja escolhido.
Dados secundários: quando são publicados ou comunicados por outra organização.
A coleta de dados pode ser realizada de duas maneiras:
Coleta direta: quando obtida diretamente da fonte. São dados coletados pelos próprios pesquisados através de inquéritos e questionários. 
Podemos classificá-la em função do tempo: 
Coleta contínua;
Coleta periódica;
Coleta ocasional.
Coleta indireta: quando é inferida a partir de elementos conhecidos (coleta direta) e através do conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado.
Apuração dos dados: é denominada de tabulação e devemos ordená-las mediante critérios de classificação a fim de torná-los mais expressivos.
Apresentação dos dados: Os dados devem ser apresentados de forma adequada tornando mais fácil o exame do que está sendo objeto de tratamento estatístico. Há duas formas de apresentação que não se excluem mutuamente:
Apresentação tabular
É uma apresentação numérica dos dados dispondo-os em linhas e colunas de modo ordenado.
Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura:
Cabeçalho: deve conter o que representa e a data de ocorrência;
Corpo: é representado por colunas dentro das quais serão registrados os dados numéricos e informações.
Rodapé: é reservado para observações pertinentes à tabela, bem como para o registro e a identificação da fonte dos dados.
Apresentação gráfica
Consisti em uma apresentação geométrica onde o analista obtém uma visão rápida, fácil e clara do fenômeno. As representações gráficas mais usuais são:
Gráfico em linha ou curva;
Gráfico em colunas ou barras;
Gráfico em setores.
d) Análise e interpretação dos dados: Reside em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema cuja finalidade principal é descrever o fenômeno.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Definição: é a maneira de ordenar os dados estatísticos em linhas ou colunas tornando possível sua leitura.
1.Variável discreta: é uma representação tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira coluna em ordem crescente apenas os valores distintos da série e, na segunda coluna, colocamos os valores das freqüências simples correspondentes.
2.Variável contínua: quando na representação de uma série de valores o número de elementos da mesma for grande.
3.Dados brutos: é uma seqüência de valores numéricos não organizados.
4. Rol: é uma seqüência ordenada dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente.
CONSTRUÇÃO DA VARIÁVEL CONTÍNUA
	Para a construção da variável contínua devemos determinar alguns conceitos:
Amplitude total: é a diferença entre o maior e menor valor de uma seqüência, ou seja, do rol.
= valor máximo do rol
= valor mínimo do rol
Intervalo de classe: é uma subdivisão da amplitude total.
Limite de classe: cada intervalo de classe fica caracterizado por dois números reais. O menor valor é chamado limite inferior da classe e é indicado por . O maior valor é chamado de limite superior e é indicado por .
Número de classes: é o número de linhas (classes) a ser utilizado na nova tabela (variável contínua). Para isso, utilizaremos o critério da raiz.
K = número de classes
= número de elementos
	O número K de classes deve ser necessariamente um número inteiro.
Amplitude de classes: é o intervalo entre o limite inferior e o limite superior de cada classe, mas para determinarmos este valor na construção da variável contínua utilizamos:
= amplitude do intervalo de classes
= amplitude total
= número de classes
Freqüência simples de uma classe : são os valores que representam o número de dados de cada classe.
EXERCÍCIOS
De um exame final de Estatística, aplicado em 54 alunos da Faculdade Y, resultaram as seguintes notas:
	7
	6,7
	3,5
	4,2
	5
	6,2
	7,2
	8,9
	9
	7,1
	6,9
	6,7
	7,4
	6,2
	5,1
	4,3
	6,9
	7
	2,1
	4,2
	6,4
	7,1
	8,3
	9,2
	6,6
	7,1
	1,7
	2,8
	4,5
	5,7
	6,1
	6,8
	7,5
	6,4
	6,5
	8,3
	8,6
	7
	9,8
	10
	7,5
	7,8
	6,9
	6,1
	5
	8
	7,8
	7
	8
	7,2
	7
	7,4
	6,9
	5
		
Determinar o rol.
Com base na determinação do rol do exercício acima, construir uma variável contínua.
As estaturas abaixo, dadas em cm, foram coletadas na aula de Educação Física masculina de uma turma de primeiro ano do ensino médio de uma escola estadual em 2009. 
	179
	154
	178
	155
	155
	156
	150
	184
	180
	183
	164
	181
	182
	163
	167
	185
	167
	167
	168
	168
	168
	170
	165
	172
	172
	172
	172
	172
	164
	174
	175
	176
	176
	176
	177
	180
	180
	180
	163
	180
	180
	181
	186
	189
	191
	192
	163
	160
	160
	156
	155
	162
	162
	166
	165
	165
	165
	164
	166
	166
	169
	168
	169
	173
	167
	169
	169
	174
	173
	174
	178
	171
	173
	174
	179
	178
	
Determine o rol e construa uma variável contínua.
A tabela abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um mês, por uma firma comercial:
	14
	12
	11
	13
	14
	13
	12
	14
	13
	14
	11
	12
	12
	14
	10
	13
	15
	11
	15
	13
	16
	17
	14
	14
Determine o rol e construa uma variável discreta.
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Ponto médio de uma classe : É o ponto que divide o intervalo de classes em duas partes iguais.
		O ponto médio de uma classe é o valor que a representa.
Freqüência simples relativa: É o quociente entre a freqüência simples e o n° total de elementos da série (freqüência total)
Freqüência acumulada: É a soma da freqüência simples deste elemento com as freqüências simples dos elementos que o antecedem.
Freqüência acumulada relativa: É o quociente entre a freqüência acumulada e a freqüência total.
EXERCÍCIOS
Com base no exercício 2, determine:
o ponto médio de cada classe;
a freqüência simples relativa de cada classe;
a freqüência absoluta acumulada ;
a freqüência acumulada relativa.
Com base no exercício 3, determine:
o ponto médio de cada classe;
a freqüência simples relativa de cada classe;
a freqüência absoluta acumulada;
a freqüência acumulada relativa.
Com base no exercício 4, determine:
a freqüência simples relativa de cada classe;
a freqüência absoluta acumulada;
a freqüência acumulada relativa.
Os dados a seguir referem-se à estatura de 70 alunos da escola municipal do 1º ano básico de Educação Física de 2009:
	174
	170
	156
	168
	176
	178
	162
	181
	172
	168
	166
	156
	169
	168
	162
	160
	163
	168
	162
	172
	168
	167
	170
	153
	171
	166
	168
	156
	160
	172
	173
	163
	170
	175
	175
	176
	176
	182
	158
	161
	173
	163
	172
	167
	170
	179
	179
	170
	150
	175
	152
	151
	172
	173
	170
	174
	167
	167
	158
	174
	160
	150
	163
	174
	161
	167
	182
	179
	158
	150
Construir uma variável contínua e determinar:
o ponto médio de cada classe;
freqüência absoluta de cada classe;
a freqüência total;
a freqüência simples relativa de cada classe;
a freqüência absoluta acumulada;
a freqüência acumulada relativa.
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	 
	
	 
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
	 
	
	 
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
	 
	
	 
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
Dada a amostra : 3, 4 ,4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se:
construir uma variável discreta;
a freqüência simples relativa ;
a freqüência total;
a freqüência absoluta acumulada;
a freqüência acumulada relativa.REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
	Existem muitas formas de se representar graficamente uma série estatística. Construímos qualquer um dos gráficos histogramas, setores e polígono de freqüências utilizando o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das abscissas) colocamos os valores da variável e na linha vertical (eixo das ordenadas) as freqüências. 
Como construir gráficos
todo gráfico deve ter título e escala;
o título deve ser escrito acima do gráfico;
no eixo das abscissas, a escala cresce da esquerda para a direita e é escrita embaixo do eixo;
no eixo das ordenadas, a escala cresce de baixo para cima e é escrita à esquerda do eixo;
nos dois eixos devem ser indicadas as variáveis ali representadas;
os gráficos podem exibir , em rodapé, a fonte, isto é, a instituição, o pesquisador, ou o grupo de pesquisadores que forneceu o gráfico ou os dados que permitiram a construção do gráfico.
1-) HISTOGRAMA
Variável discreta: é um conjunto de hastes cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal (xi) e por altura, valores proporcionais as freqüências simples correspondentes destes elementos (fi).
Variável contínua: é um conjunto de retângulos justapostos, representados em um sistema de coordenadas cartesianas, cujas bases são os intervalos de classes e cujas alturas são valores proporcionais às freqüências simples correspondentes.
2-) Polígono de freqüência
	É um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal levantada pelos pontos médios dos intervalos de classes.
 3-) GRÁFICO DE SETORES
É usado para mostrar a importância relativa das proporções.
Para construí-lo devemos:
traçar uma circunferência. A área do círculo representará o total, isto é, 100%;
lembre-se de que uma circunferência tem 360°. Então, se aos 100% correspondem 360°, aos f% de uma dada categoria corresponderá um setor cujo ângulo x é dado por : ;
marque os valores dos ângulos calculados na circunferência e trace raios separando os setores;
faça um tracejado diferente em cada setor, para facilitar a distinção;
coloque título e legenda no gráfico.
EXERCÍCIOS
Construa o histograma para a distribuição de freqüências abaixo:
	xi
	fi
	
	1
	2
	 
	2
	3
	 
	3
	5
	 
	4
	4
	 
	5
	3
	 
	6
	1
	 
Construa o histograma e o polígono de freqüências para a série representativa de uma amostra dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa:
	Salários R$
	Nº de funcionários
	
	xi
	fi
	 
	 1 000 │— 1 200
	 2
	 
	1 200 │— 1 400
	 6
	 
	 1 400 │— 1 600 
	 10
	 
	 1 600 │— 1 800
	 5
	 
	 1 800 │— 2 000
	 2
	 
Construa o polígono de freqüência referente às estaturas dos alunos da 8ª série da Escola João Silveira.
	Estaturas (cm)
	fi
	
	150 │— 154
	4
	
	154 │— 158
	9
	
	 158 │— 162 
	11
	
	 162 │— 166
	8
	
	 166 │— 170
	5
	
	 170 │— 174
	3
	
 
Construa o histograma da distribuição abaixo referente aos salários de um escritório de contabilidade.
	Salários R$
	fi
	500 │— 700
	8
	700 │— 900
	20
	 900 │— 1100 
	7
	 1100 │— 1300
	5
	 1300 │— 1500
	2
	 1500 │— 1700
	1
	1500 │— 1900
	1
	
	44
Os sete livros de capa dura mais vendidos estão relacionados abaixo. Suponha que uma amostra de livros comprados na área de St. Louis, Missouri, forneceu os seguintes dados para esses sete livros:
	Gods
	Wall Street
	Paranoid
	Forbes
	Dogbert
	Nuts
	Dogbert
	Forbes
	Dilbert
	Paranoid
	Dilbert
	Gods
	Dogbert
	Dilbert
	Gods
	Paranoid
	Paranoid
	Paranoid
	Gods
	Dogbert
	Dilbert
	Forbes
	Paranoid
	Dilbert
	Dogbert
	Gods
	Dilbert
	Paranoid
	Dilbert
	Forbes
	Dilbert
	Dilbert
	Dilbert
	Dogbert
	Gods
	Nuts
	Dilbert
	Gods
	Forbes
	Dogbert
	Dogbert
	Gods
	Forbes
	Dilbert
	Nuts
	Nuts
	Forbes
	Gods
	Dogbert
	Forbes
	Dogbert
	Wall Street
	Dilbert
	Forbes
	Dilbert
	Dogbert
	Gods
	Gods
	Dogbert
	Dilbert
Construa a distribuição de freqüência;
Construa o gráfico setorial.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
	São medidas que representam os fenômenos pelos seus valores médios em torno dos quais tendem a concentrarem-se os dados e, quando bem interpretadas, podem nos fornecer informações muito valiosas com respeito à série estatística. Em resumo, é um valor compreendido entre o menor e o maior valor da série no qual os elementos da série estão distribuídos e a posiciona em relação ao eixo horizontal.
	As principais medidas de tendência central são: média, mediana e moda.
1- Média Aritmética 
1.1- Média Aritmética Simples
	É o quociente entre a soma de todos os elementos da série e o número de elementos da mesma, sendo representada pela expressão:
1.2- Média Aritmética Ponderada
	É efetuada considerando-se os pesos (número de vezes que os elementos se repetem) e a freqüência total, sendo representada pela expressão:
 ou ou 
1.3- Média Geral
	Sejam as médias aritméticas das k séries e o número de elementos destas séries, respectivamente, chamamos de Média Geral a expressão:
EXERCÍCIOS
Calcule para cada uma das seguintes distribuições abaixo sua respectiva média aritmética:
	15) 
	xi 
	fi 
	
	16)
	xi 
	fi 
	
	17)
	xi 
	fi 
	
	18)
	xi 
	fi 
	
	3
	2
	
	
	10
	5
	
	
	2
	3
	
	
	85
	5
	
	4
	5
	
	
	11
	8
	
	
	3
	9
	
	
	87
	1
	
	7
	8
	
	
	12
	10
	
	
	4
	19
	
	
	88
	10
	
	8
	4
	
	
	13
	6
	
	
	5
	25
	
	
	89
	3
	
	12
	3
	
	
	
	
	
	
	6
	28
	
	
	90
	5
	
	
 
	 
	
	
	
	
	
	
	
 
	 
	
	
	
 
	 
19- A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.
20- Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa disciplina :
turma A ( 40 alunos ) 	- 	média 6,5
turma B ( 35 alunos ) 	- 	média 6,0
turma C ( 35 alunos ) 	- 	média 4,0
turma D ( 20 alunos ) 	- 	média 7,5
Determine a média geral .
21- Dadas às estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a média aritmética:
	CLASSES
	fi
	
	145 150
	2
	
	150 155
	10
	
	155 160
	27
	
	160 165
	38
	
	165 170
	27
	
	170 175
	21
	
	175 180
	8
	
	180 185
	7
	
	
	
	
22- Abaixo temos a distribuição dos aluguéis de 65 casas. Determine sua média aritmética.
	Aluguel ( em R$ )
	fi
	
	1,5  3,5
	12
	
	3,5  5,5
	18
	
	5,5  7,5
	20
	
	7,5  9,5
	10
	
	 9,5  11,5
	5
	
	
	
	
23- Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores em todo Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados:
	10
	15
	25
	21
	6
	23
	15
	21
	26
	32
	9
	14
	19
	20
	32
	18
	16
	26
	24
	20
	7
	18
	17
	28
	35
	22
	19
	39
	18
	21
	15
	18
	22
	20
	25
	28
	30
	16
	12
	20
Determine :
uma tabela para dados agrupados;
o ponto médio;
a freqüência relativa de cada classe;
a freqüência acumulada;
a freqüência acumulada relativa;
o histograma da tabela para dados agrupados;
a média aritmética.
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	 
	
	 
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
	 
	
	 
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
	 
	
	 
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
MÉDIA GEOMÉTRICA
	É de pouco uso, uma vez que seu emprego é restrito, como no caso dos dados de uma série formarem ou se aproximarem de uma progressão geométrica.
	Sejam valores associados às freqüências absolutas , respectivamente. A média geométrica será definida pelas fórmulas abaixo de acordo com a distribuição apresentada.
Distribuição simples 
	Em particular, se , tem-se: 
Variável discreta 
 ou
Variável contínua
MÉDIA HARMÔNICA
É o inverso da média aritmética do inverso dos valores.
A média harmônica aplica-se naturalmente quando se quer a obtenção de uma média cuja unidade de medida seja o inverso da unidade de medida dos componentes originais.
Distribuição simples 
Variável discreta
Variável contínua
EXERCÍCIOS
24- Calcular a média geométrica dos valores: 3, 6, 12, 24, 48.25-Calcular a média harmônica para 2, 5, 8.
26- Encontre a média harmônica para a série 5, 7, 12, 15.
Calcular a média geométrica para as séries:
27- 8, 15, 10, 12
28- 3, 4, 5, 6, 7, 8
29- Calcular a média geométrica para a distribuição:
	xi
	fi
	
	1
	8
	
	2
	6
	
	3
	5
	
	5
	3
	
	
 
	 
	
30- Dada à tabela abaixo, calcular a média harmônica:
	xi
	fi
	
	2
	3
	
	3
	6
	
	5
	15
	
	
 
	 
	
31- Calcular as médias aritmética, geométrica e harmônica da tabela abaixo:
	xi
	fi
	
	8
	12
	
	9
	10
	
	10
	7
	
	11
	5
	
	12
	3
	
	
	 
	
32- Dada à tabela abaixo, calcular a média aritmética, geométrica e harmônica da tabela abaixo:
	classes
	fi
	
	150  156
	5
	
	156  162
	4
	
	162  168
	19
	
	168  174
	18
	
	174  180
	14
	
	180  186
	12
	
	186  192
	4
	
	
	
	
33- Calcular as médias aritmética, geométrica e harmônica da tabela abaixo:
	xi
	fi
	
	2
	3
	
	3
	4
	
	4
	6
	
	5
	5
	
	6
	2
	
	
 
	 
	
MEDIANA
É o valor que ocupa a posição central do conjunto dos dados ordenados, ou seja, é o valor real que separa o rol em duas partes deixando à sua esquerda o mesmo número de elementos que a sua direita.
Variável discreta
Para encontrarmos o termo central devemos acumular a freqüência.
Se N é ímpar: a série admite apenas um termo central.
Se N é par: a admite dois termos centrais.
	Assim, a mediana é convencionada como sendo a média dos valores que ocupam estas posições centrais.
Variável contínua
Se os dados são apresentados na forma de uma variável contínua, o raciocínio anterior não pode ser utilizado, uma vez que mesmo identificada a posição da mediana na série, o valor do elemento da série que ocupa esta posição não é identificável. 
Identifica-se a posição da mediana na série por:
Pela fac identifica-se a classe mediana pela posição encontrada.
Utiliza-se a fórmula para encontrar a mediana:
li = limite inferior da classe mediana;
= mediana;
fac ant = freqüência acumulada anterior à classe mediana;
fi classe = freqüência da classe mediana;
h = amplitude das classes
EXERCÍCIOS
34- Dada à amostra, calcule a mediana 2, 5, 7, 9, 13, 15, 22 .
35- Dada à distribuição, calcule a mediana:
	xi
	fi
	
	 1
	 1
	
	 2
	 3
	
	 3
	 5
	
	 4
	2 
	
	  
	 
	
36- Dada à amostra, calcule a mediana 2, 5, 7, 9, 10, 16 .
37- Dada à distribuição, calcule a mediana.
	xi
	fi
	
	82 
	5 
	
	 85
	 10
	
	 87
	 15
	
	 89
	 8
	
	 90
	 4
	
	
	 
	
38- Dada à distribuição amostral, calcule a mediana:
	CLASSES
	fi
	
	35 45
	 5
	
	45 55
	 12
	
	55 65
	 18
	
	65 75
	 14
	
	75 85
	 6
	
	85 95
	3
	
	
	 
	
39- A tabela a seguir retrata o resultado final de uma prova de Matemática aplicada 110 alunos da faculdade X. Calcule a mediana:
	Classes
	fi
	
	0 2
	 27
	
	2 4
	 16
	
	4 6
	 34
	
	6 8
	 17
	
	 8 10
	 16
	
	
	 
	
Para cada série, determine a mediana:
40) 1, 3, 3, 4, 5, 6, 6 
41) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9
42) 12, 7, 10, 8, 8 
43) 82, 86, 88, 84, 91, 93
MODA
	É o valor que ocorre com maior freqüência em um conjunto de dados.
Distribuições simples e variável discreta:
Para distribuições simples (sem agrupamento em classes), a identificação da Moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta a maior freqüência.
Variável contínua
Para dados agrupados em classes, há diversas fórmulas para o cálculo da moda. Utilizaremos a fórmula de Czuber.
1° passo: identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior freqüência);
2° passo: Aplica-se a fórmula:
= limite inferior da classe modal;
= diferença entre a freqüência modal e a imediatamente anterior;
= diferença entre a freqüência modal e a imediatamente posterior;
amplitude de classes.
EXERCÍCIOS
44) Determine a moda na seguinte distribuição:
	xi
	fi
	 243
	7 
	 245
	 17
	 248
	 23
	 251
	 20
	 307
	 8
45) Determine a moda para a distribuição:
	Classes
	fi
	 0 1
	3 
	 1 2
	 10
	 2 3
	 17
	 34
	 8
	 4 5
	 5
	
	 
Determine a média aritmética, a mediana e a moda para cada distribuição:
 
48) A distribuição abaixo representa o consumo, em kg, de um produto colocado em oferta em um supermercado, que limitou o consumo máximo por cliente em 5 kg. Calcule a média aritmética, a moda e a mediana.
	Classes
	fi
	
	  0 1
	12 
	
	  1 2
	15
	
	  2 3
	21
	
	  3 4
	32
	
	  4 5
	54
	
	
	
	
49) Determine a média aritmética, o valor mediano e a moda da distribuição a seguir que representa os salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa.
	Salários R$
	fi
	
	1000 1200
	2
	
	1200 1400
	6
	
	1400 1600
	10
	
	1600 1800
	5
	
	1800 2000
	2
	
	
	 
	
50) Uma amostra do tempo de vida útil de uma peça forneceu a seguinte distribuição. Determine a média, a moda e a mediana.
	Nº de horas (vida útil)
	Nº de peças
	
	 0 100
	6
	
	 100 200
	42
	
	 200 300
	86
	
	 300 400
	127
	
	 400 500
	64
	
	 500 600
	8
	
	
	
	
51) Uma empresa estabelece o salário de seus vendedores com base na produtividade. Desta forma, 10% é fixo e 90% são comissões sobre venda. Uma amostra de salários mensais nesta empresa revelou o quadro abaixo. Determine a média, a moda e a mediana.
	Salários
	Nº vendedores
	
	 70 120
	 8
	
	 120 170
	 28
	
	 170 220
	 54
	
	 220 270
	 32
	
	 270 320
	 12
	
	 320 370
	 6
	
	
	 
	
MEDIDAS DE SEPARATRIZES
	São números reais que dividem a seqüência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série.
	As medidas separatrizes são: Quartis, Decis e Percentis.
QUARTIL
Divide um conjunto de dados em quatro partes que contém, cada uma, 25% dos dados.
Assim, o primeiro quartil, que indicaremos por , separa a seqüência ordenada deixando 25% de seus valores à esquerda e 75% de seus valores à direita.
O segundo quartil, que indicaremos por , separa a seqüência ordenada, deixando 50% de seus valores à esquerda e 50% de seus valores à direita. Note que é a mediana da série.
O terceiro quartil, que indicaremos por , separa a seqüência ordenada, deixando à sua esquerda 75% de seus elementos à esquerda e 25% de seus elementos à direita.
Distribuições simples e variável discreta
- 1° Quartil
Identifica-se a posição do primeiro quartil na série por: 
- 2° Quartil
Identifica-se a posição do segundo quartil na série por: 
- 3° Quartil
Identifica-se a posição do terceiro quartil na série por: 
Variável contínua
- 1° Quartil
Identifica-se a posição do 1° Quartil na série por: ;
Pela fac identifica-se a classe do primeiro quartil pela posição encontrada.
Aplica-se a fórmula: 
- 2° Quartil
Identifica-se a posição do 2° Quartil na série por: ;
Pela fac identifica-se a classe do segundo quartil pela posição encontrada.
Aplica-se a fórmula: 
- 3° Quartil
Identifica-se a posição do 3° Quartil na série por: ;
Pela fac identifica-se a classe do terceiro quartil pela posição encontrada.
Aplica-se a fórmula: 
DECIL
Divide um conjunto de dados em dez partes iguais. Assim, o primeiro decil, que indicaremos separa a seqüência ordenada, deixando à sua esquerda 10% de seus valores e 90% de seus valores à direita. 
De modo análogo são definidos os outros decis.
Distribuições simples e variável discreta
Identifica-se a posição do decil na série por:
Variável contínua
Identifica-se a posição do Decil na série por: ;
Pela fac identifica-se a classe do decil pela posição encontrada.
Aplica-se a fórmula:
PERCENTIL
Divide um conjunto de dados em cem partes iguais. Assim, o primeiro percentil, que indicaremos separa a seqüência ordenada, deixando à sua esquerda 1% de seus valores e 99% de seus valores à direita. 
De modo análogo são definidos os outros percentis.
Distribuições simples e variável discreta
Identifica-se a posição do percentil na série por:
Variável contínua
Identifica-se a posição do percentil na série por: ;
Pela fac identifica-se a classe do percentil pela posição encontrada.Aplica-se a fórmula:
EXERCÍCIOS
52- Dada a distribuição, determine Q1 , Q2 e Q3 .
	Classes
	fi
	
	7 17
	6
	
	17 27
	15
	
	27 37
	20
	
	37 47
	10
	
	47 57
	5
	
	
	 
	
53- Determine o 4º decil e o 72º percentil da seguinte distribuição.
	Classes
	fi
	
	4 9
	8
	
	914
	12
	
	14 19
	17
	
	19 24
	3
	
	
	 
	
54- Sendo:
	Idade 
	fi
	
	1014
	15
	
	1418
	28
	
	1822
	40
	
	2226
	30
	
	2630
	20
	
	3034
	15
	
	3438
	10
	
	3842
	5
	
	
	 
	
determinar a média aritmética;
determinar a média harmônica;
determinar a média geométrica;
calcular a medida que deixa 50% dos elementos ;
determinar a moda;
calcular o 3º decil;
determinar a medida que deixa ¼ dos elementos;
calcular o percentil 80.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
	Depois de calcular uma Medida de Tendência Central para um conjunto de dados, precisamos associá-la a uma medida de dispersão ou variabilidade.
	As principais medidas de Dispersão são: amplitude total, desvio médio, variância e desvio padrão.
Amplitude total
É a diferença entre o maior e o menor valor da seqüência.
Distribuição simples ou variável discreta: Basta identificar o maior e o menos valor da seqüência e efetuar a diferença entre estes valores.
Variável contínua: Por desconhecer o maior e o menor valores da série, devemos fazer um cálculo aproximado da amplitude total da série.
Consideraremos como maior valor da série o ponto médio da última classe e como menor valor da série o ponto médio da primeira classe. A amplitude total é a diferença entre estes valores.
	A amplitude total pode ser considerada um mero índice preliminar da variabilidade de uma distribuição. Sua obtenção é rápida e fácil, mas não é confiável. Pode ser aplicada a dados intervalares ou ordinais.
Desvio médio
O conceito estatístico de desvio médio corresponde ao conceito matemático de distância.
A dispersão dos dados em relação à média de uma seqüência pode ser avaliada através dos desvios de cada elemento da seqüência em relação a média da seqüência.
O desvio médio é a diferença entre o valor observado e a média do conjunto.
Distribuição simples ou variável discreta: Calculamos inicialmente a média da seqüência. Em seguida, identificamos a distância de cada elemento da seqüência para a sua média. Finalmente, calculamos a média destas distâncias.
Variável contínua: Por desconhecer os valores individuais dos elementos componentes da série, substituiremos estes valores , pelos pontos médios de cada classe.
Variância e Desvio Padrão
A variância é uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da série e a sua média. Já, o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância. 
Distribuição simples ou variável discreta: Calculamos inicialmente a média da seqüência. Em seguida, identificamos a distância de cada elemento da seqüência para a sua média elevada ao quadrado. 
 (variância)
 (desvio padrão)
Variável contínua: Por desconhecer os valores individuais dos elementos componentes da série, substituiremos estes valores , pelos pontos médios de cada classe.
 (variância)
 (desvio padrão)
	
	O valor da variância não pode ser comparado diretamente com os dados da série, ou seja: a variância não tem interpretação.
Medida de dispersão relativa
	O coeficiente de variação é a medida de dispersão relativa que leva em consideração a medida de dispersão absoluta (desvio padrão) e a média aritmética da série. Definimos o coeficiente de variação por:
	Portanto, a medida de dispersão relativa prevalece sobre a medida de dispersão absoluta. Podemos afirmar que a série que tem a maior dispersão relativa, tem de modo geral a maior dispersão.
EXERCÍCIOS
55- Para a série 10, 12, 20, 22, 25, 33 e 38, determine a amplitude.
56- Seja a série 2, 5, 8, 15, 20, determine DM.
57- Calcular o desvio médio dos dados a seguir:
	xi
	fi
	
	5
	2
	
	6
	5
	
	8
	13
	
	10
	3
	
	11
	7
	
	
	
	
58- Calcular o desvio médio, a variância e o desvio-padrão da seguinte distribuição amostral:
	xi
	fi
	
	5
	2
	 
	7
	3
	 
	8
	5
	 
	9
	4
	 
	11
	2
	 
	
	 
	 
59- Dada a distribuição abaixo, encontrar o desvio médio, a variância e o desvio padrão:
	Classes
	fi
	
	2 4
	2
	
	4 6
	4
	
	6 8
	7
	
	8 10
	4
	
	10 12
	3
	
	
	
	
60- Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4 000,00 , com desvio – padrão de R $ 1500,00, e o das mulheres é em média de R$ 3 000,00 , com desvio padrão de R$ 1200,00. Determinar o coeficiente de variação para cada caso.
61- Dada à amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12. Determine a amplitude total, o desvio médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.
62- Dada a distribuição :
	Classes
	fi
	
	 4
	3
	 
	 4 6
	5
	 
	 8
	8
	 
	8 10
	6
	 
	10 12
	3
	 
	
	 
	 
Determinar:
desvio médio;
variância;
desvio padrão;
coeficiente de variação.
63- Abaixo temos a distribuição de freqüência dos pesos de uma amostra de 45 alunos :
	Classes
	fi
	
	 45
	4
	
	45 50
	10
	
	 55
	15
	
	55 60
	8
	
	60 65
	5
	
	65 70
	3
	
	
	 
	
Determinar:
A média aritmética;
A média geométrica;
A média harmônica;
A moda;
A mediana; 
O 1º quartil;
O 2º quartil;
O 3º quartil;
O 7º decil;
O 79º percentil;
O desvio médio;
A variância;
O desvio padrão;
O coeficiente de variação.
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
	Além da média que corresponde ao centro de gravidade dos dados e do desvio padrão que mede a variabilidade há, também, uma distribuição dos pontos sobre um eixo que é chamado de Assimetria.
	A Assimetria é o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria, ou seja, é a comparação entre a média aritmética e a moda. Logo, temos três casos para esse tipo de medida.
Distribuição simétrica
Distribuição assimétrica positiva
Distribuição assimétrica negativa
	Baseando-se nessas relações entre média e moda, podemos empregá-las para determinar o tipo de assimetria. Assim, calculando o valor da diferença: se:
 assimetria nula ou distribuição simétrica;
 assimetria negativa
 assimetria positiva
Para o cálculo do coeficiente de assimetria temos: (Coeficiente de Pearson) podendo classificá-la como: Se : assimetria negativa forte
Se : assimetria negativa fraca
Se : simetria
Se : assimetria positiva fraca
Se : assimetria positiva forte
EXERCÍCIOS
64- Em uma distribuição de freqüência foram encontradas as seguintes medidas: ; e .
Classifique o tipo de assimetria;
Calcule o coeficiente de assimetria.
65- Dada à distribuição, determine o tipo de assimetria e seu coeficiente:
	classes
	fi
	
	 50 100
	80
	
	100 150
	50
	
	150 200
	30
	
	
	 
	
66- Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de freqüência:
	Distribuições
	
	Mo
	A
	52
	52
	B
	45
	50
	C
	48
	46
Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.
67- Considerando a distribuição de freqüência relativa aos pesos de 100 operários de uma fábrica:
	Classes
	fi
	
	50 58
	10
	
	 58 66
	15
	
	66 74
	25
	
	74 82
	24
	
	82 90
	16
	
	90 98
	10
	
	
	 
	
Determine o coeficiente de assimetria.
68- Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de freqüência:
	Distribuição
	
	Mo
	A
	 814
	935
	B
	 63,7
	 80,3
	C
	 28,8
	45,6 
Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.
69- Sendo:
	Classes
	fi
	
	 40
	10
	
	40 50
	20
	
	 60
	35
	
	60 70
	25
	
	 80
	10
	
	
	 
	
Calcular .
70- A distribuição abaixo possui desvio-padrão igual a 3,02. Determinar o valor do coeficiente de variabilidade.
	Classes
	 4
	 8
	 12
	fi
	2
	3
	2
PROBABILIDADE
Caracterização de um experimento aleatório
	Vamos observar o que há de comum nos seguintes experimentos:
E1: Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar seu naipe;
E2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o nº de cartas obtidas;
E3: Retirar com ou sem reposição bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e 6pretas;
E4: Contar o nº de peças defeituosas da produção diária de determinada máquina;
E5: Jogar um dado e observar o nº mostrado na face de cima.
	A análise desses experimentos revela:
Cada experimento aleatório poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;
Podem-se descrever todos os possíveis resultados – as possibilidades.
2- Espaço amostral
	Definição: Para cada experimento aleatório E; defini-se Espaço Amostral (S) o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.
3-Evento
	Definição: É um conjunto de resultados do experimento, em termos de conjuntos, é um subconjunto de S.
Tipos de eventos
	Considere o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do nº voltado para cima.
	O espaço amostral será: S = { }.
Evento certo: é o próprio espaço amostral.
Evento A: ocorrência de um nº menor que 8.
A = {
Evento impossível: é o subconjunto vazio do espaço amostral.
Evento B: ocorrência de um nº maior que 10.
B = {
Evento união: é a reunião de dois eventos.
Evento A: ocorrência de um nº ímpar;
Evento B: ocorrência de um nº par primo.
Evento : ocorrência de um nº ímpar ou par primo.
Evento intersecção: é a intersecção de dois eventos.
Evento A: ocorrência de um nº par;
Evento B: ocorrência de um nº múltiplo de 4.
Evento : ocorrência de um nº par e múltiplo de 4.
Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles que têm conjuntos distintos.
Evento A: ocorrência de um nº par;
Evento B: ocorrência de um nº ímpar.
=
Eventos complementares: são dois A e , tais que:
(o evento união é o próprio espaço amostral).
(o evento intersecção é o conjunto vazio).
Evento A: ocorrência de nº par.
A =
=
EXERCÍCIOS
71- Considere o experimento e determine o espaço amostral E = jogar duas moedas e observar o resultado. (C = cara e K = coroa).
72- Seja o experimento: E = jogar três moedas e observar o resultado. Determine o espaço amostral.
73- Determine o evento A, de acordo com o espaço amostral do exercício 71: ocorrer pelo menos 2 caras .
74- Seja o experimento: E = lançar um dado e observar o nº de cima. Determine o espaço amostral e o evento A, ocorrer múltiplo de 2.
Experimento: Lance um dado e uma moeda.
75- Construa o espaço amostral. Enumere os seguintes eventos:
76- A = {coroa, marcado por nº par}
77- B = {cara, marcado por nº ímpar}
78- C = {múltiplos de 3}
Com base nos eventos acima, expresse os eventos:
79- 
80- A ou B ocorrerem 
81- B e C ocorrerem 
Considere o espaço amostral do lançamento de um dado e a observação da face superior. Descreva os seguintes eventos:
82- A: sair face par;
83- B: sair face primo;
84- C: sair face maior que 3;
85- D: sair face maior que 6;
86- E: sair face múltipla de 3;
87- F: sair face menor ou igual a 4.
Considere o espaço amostral e os seguintes eventos:
Determine:
88- 
89- 
90- 
91- 
92- 
93- 
94- Dos eventos A, B, C, D e E do exercício anterior, quais são mutuamente exclusivos.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
	Se, num fenômeno aleatório, o nº de elementos do espaço amostral é e o número de elementos do evento A é , então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número , tal que: 
Conseqüências da definição de probabilidade
EXERCÍCIOS
95- No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:
o número 2;
um número par;
um número múltiplo de 3.
96- De um baralho de 52 cartas tiram-se , sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:
Duas cartas são damas;
As duas cartas são ouros.
97- No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:
o número 1;
um número primo;
um número divisível por 2;
um número menor que 5;
um número maior que 6.
98- No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos seguintes eventos :
os números são iguais ;
a soma dos números é igual a 9.
99- Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, para três das quais serão distribuídos prêmios iguais. Calcule a probabilidade de que você seja um dos premiados. 
100- Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja menor que 4?
101- Lançam-se dois dados com faces numeradas de 1 a 6. Calcule a probabilidade de que a soma obtida seja 10.
102- De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja :
uma dama ;
uma dama de paus;
uma carta de ouros.
No lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces superiores, determine a probabilidade de cada um dos eventos seguintes: 
103- A – a soma ser par.
104- B – a soma ser ímpar.
105- C- a soma ser múltipla de 3.
106- D – a soma ser nº primo.
107- E – a soma ser maior ou igual a 7.
108- F – a soma ser maior que 12.
O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de um conjunto de 50 deputados presentes em uma reunião.
 Sexo
 Homem Mulher
Estado civil
Casado 10 8
Solteiro 5 3 
Desquitado 7 5
Divorciado 8 4 
Uma pessoa é sorteada ao acaso. Determine a probabilidade dos eventos:
109- A – ser um homem.
110- B – ser uma mulher.
111- C - ser uma pessoa casada.
112- D – ser uma pessoa solteira.
113- E – ser uma pessoa desquitada.
114- F – ser uma pessoa divorciada.
115- Uma sacola contém 5 bolas brancas e 10 bolas pretas. Se 3 bolas são tiradas ao acaso, qual a probabilidade de saírem todas da mesma cor ?
PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR
	Sejam e dois eventos de um espaço amostral S; sendo o evento complementar de A, temos:
EXERCÍCIOS
116- Consideremos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Escolhendo-se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:
ambas não estejam estragadas ;
pelo menos uma esteja estragada .
117- Considere o lançamento de dois dados. Determine:
a probabilidade de se obter um total de 7 pontos ;
a probabilidade de não se obter um total de 7 pontos .
118- Seja A o evento: retirada de uma carta de paus de um baralho de 52 cartas. Calcule e P .
119- De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos 2 peças, aleatoriamente. Determine:
a probabilidade de que ambas sejam defeituosas ;
 a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas ;
a probabilidade de que uma seja defeituosa .
120- Considere o lançamento de um dado equilibrado. Calcule a probabilidade de:
sair um múltiplo de 3 ;
não sair múltiplo de 3 .
121- Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
ela não tenha defeitos graves;
ela não tenha defeitos;
ela ou seja boa ou tenha defeitos graves.
122- Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que:
ambas sejam perfeitas;
nenhuma seja perfeita;
nenhuma tenha defeito grave;
pelo menos uma seja perfeita.
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
TEOREMA DA SOMA
Sejam A e B eventos do mesmo espaço amostral S, tem-se que: 
EXERCÍCIOS
123- Considere dois acontecimentos A e B de uma seqüência aleatória. Sabendo que , calcule: a) b) 
124- Se determinar .
125- Se determinar .
126- Se determinar .
127- Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos?
128- Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos? 
129- Se determine , sendo A e B eventos mutuamente exclusivos.
130- Se a probabilidade de não chover em determinada data é 0,25, qual é a probabilidade de chover nesta mesma data?
131- Umacaixa contém 15 peças defeituosas em um total de 40 peças. Qual é a probabilidade de se selecionar ao acaso uma peça não defeituosa desta caixa?
132- Qual é a probabilidade de sair face 4 ou 5 em um lançamento de um dado?
133- Qual é a probabilidade de não sair a face 4 ou 5 em um lançamento de um dado? 
134- Qual é a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um nº ímpar?
135- Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas , qual a probabilidade de ocorrer um rei ou uma carta de espadas?
136- Uma urna contém 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que seu nº seja:
par?
ímpar?
par e menor que 15?
múltiplo de 4 ou 5?
137- Numa escola funcionam dois cursos, um de desenho publicitário e outro de desenho artístico, perfazendo um total de 90 vagas. No final da inscrição, havia 60 alunos inscritos para desenho publicitário e 50 para desenho artístico, sendo que alguns optaram pelos 2 cursos . Determine, escolhendo ao acaso 1 aluno do curso, qual a probabilidade de ele ser:
aluno de desenho publicitário;
aluno de desenho artístico;
aluno somente de desenho publicitário;
aluno de desenho publicitário ou desenho artístico ;
aluno de desenho publicitário e desenho artístico .
138- Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4 ou 5?
139- Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas. Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADE
EXERCÍCIOS
140- Uma moeda é lançada 4 vezes . Qual a probabilidade de que apareça coroa nas quatro vezes? 
141- Considerem-se duas caixas, I e II, há 4 bolas pretas e 6 bolas azuis, e na caixa II há 8 bolas pretas e 2 bolas azuis . Escolhe-se, ao acaso, uma caixa e, em seguida, dela se tira uma bola. Qual a probabilidade de que esta bola seja:
Preta?
Azul?
142- Retirando-se duas cartas ao acaso, sem reposição, de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ser a primeira de paus e a segunda de copas?
143- Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de que apareça cara nas cinco vezes?
144- Qual é a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos de sexo feminino?
145- Retirando-se três cartas ao acaso, com reposição, de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser a primeira de paus, a segunda de ouros e a terceira de espadas?
146- Tira-se ao acaso uma carta de um baralho. Qual a probabilidade de a carta ser um rei de copas?
147- No lançamento de um dado e uma moeda, qual a probabilidade de obtermos cara e nº maior que 3?
REVISÃO DE PROBABILIDADE
148- Uma urna contém exatamente mil etiquetas, numeradas de 1 a 1 000. Retirando uma etiqueta dessa urna qual é a probabilidade de obtermos um n° menor que 51? 
149- Um dado é lançado três vezes. Calcule a probabilidade de se obter nos três dados o mesmo nº de pontos. 
150- No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter, nas faces voltadas para cima:
soma dos pontos igual a 7; 
soma dos pontos igual a 6; 
soma dos pontos igual a 13; 
soma dos pontos menor que 5; 
soma dos pontos menor que 13. 1
151- Um grupo de pessoas é formado por 4 homens e 5 mulheres. Uma comissão de 3 pessoas será escolhida, aleatoriamente, nesse grupo. Calcule a probabilidade de se escolher uma comissão formada por 2 homens e 1 mulher. 
152- Uma urna contém exatamente vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a probabilidade de se obter uma bola com um nº múltiplo de 3 ou 4? 
153- Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 4 bolas brancas. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha ou azul? 
154- Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 bolas verdes e 4 bolas azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a probabilidade de sair uma bola branca ou verde? 
155- Numa urna existem vinte bolas, todas do mesmo tamanho e peso, numeradas de 2 a 21. Sorteando-se uma dessas bolas, determine a probabilidade de que ele apresente um n° primo. 
156- No lançamento de dois dados, o jogador é premiado de obtiver uma soma de pontos maior ou igual a 10. Qual é a probabilidade de esse jogador ser premiado? 
157- Devido à ameaça de uma epidemia de sarampo e rubéola, os 400 alunos de uma escola foram consultados sobre as vacinas que já haviam tomado. Do total, 240 haviam sido vacinados contra sarampo e 100 contra rubéola, sendo que 80 não haviam tomado nenhuma dessas vacinas. Tomando-se ao acaso um aluno dessa escola, qual a probabilidade de ele ter tomado as duas vacinas? 
158- Em um exame de seleção com 1 800 alunos candidatos, 600 ficaram reprovados em Matemática e 450 ficaram reprovados em Português, sendo que 240 ficaram reprovados em Matemática e Português. Se um dos participantes for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter sido reprovado em Matemática e aprovado em Português? 
159- Uma equipe de socorro, formada por 4 médicos, deve ser escolhida, aleatoriamente, dentre 4 cirurgiões e 6 ortopedistas. Qual é a probabilidade de que o grupo escolhido tenha pelo menos um cirurgião? 
160- Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, qual é a probabilidade de se obter a face cara na moeda ou a face 6 no dado? 
175- Em uma conferência estão reunidos cinco mulheres e sete homens matemáticos; quatro mulheres e oito homens físicos; seis mulheres e quatro homens, químicos. Uma pessoa é escolhida, ao acaso, para presidir a conferência. Qual é a probabilidade de que essa pessoa seja mulher ou matemático? 
 
161- Uma pesquisa é realizada entre 50 leitores de jornais. Conclui-se que 35 pessoas lêem o jornal A, 34 lêem o jornal B e 3 lêem outro jornal. Escolhida ao acaso uma dessas 50 pessoas, qual é a probabilidade de que seja leitora dos jornais A e B? 
152- Num grupo de sessenta pessoas, dez são torcedoras do Flamengo, cinco são torcedoras do Cruzeiro e as outras são torcedoras do Corinthians. Suponha que cada pessoa torça por um único clube. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidade de ele ser torcedor do Flamengo ou do Cruzeiro? 
163- Uma urna contém dez cartões numerados de 1 a 10. Retiram-se dois cartões, sucessivamente e com reposição. Calcule a probabilidade de obtermos o primeiro cartão com número ímpar e o segundo com número par. 
164- Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas uma após a outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo-se que a primeira é um ás? 
165- Escolhendo-se ao acaso uma das letras da palavra PROBABILIDADE, responda;
Qual a probabilidade de ter escolhido um B?
Qual a probabilidade de ter escolhido um A ou um D? 
32