Apostila_Numerico-2004
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Apostila_Numerico-2004


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UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS
Notas de Aula - CÁLCULO NUMÉRICO
Prof. Nicolau
Conteúdos
Introdução........................................................................................................................................1
Erros e incertezas.............................................................................................................................2
Sistemas Lineares de Equações.......................................................................................................6
Classificação de sistemas lineares ..............................................................................................6
Solução do Sistema de Equações Lineares.................................................................................8
Método de Eliminação de Gauss............................................................................................8
Métodos iterativos de resolução de sistema de equações lineares............................................10
Método de Jacobi:................................................................................................................10
Método de Gauss-Seidel.......................................................................................................13
Critério de convergência para métodos iterativos.....................................................................13
Equações algébricas e transcendentes ...........................................................................................15
Avaliação de polinômios: .........................................................................................................16
Método de Horner................................................................................................................16
Método de Briot-Ruffini.......................................................................................................16
Limites das raízes reais.............................................................................................................17
Determinação do intervalo onde há raízes................................................................................17
Determinação de raízes pelo método da bissecção...................................................................20
Aplicação do método da bissecção para funções transcendentais............................................21
Determinação de raízes pelo método de Newton-Raphson.......................................................23
Interpretação geométrica...........................................................................................................23
Interpolação...................................................................................................................................25
Interpolação linear.....................................................................................................................25
Interpolação linear por relação de proporcionalidade..........................................................26
Interpolação quadrática.............................................................................................................27
Interpolação de Newton............................................................................................................29
Definição..............................................................................................................................29
Diferenças divididas.............................................................................................................29
Interpolação de Lagrange..........................................................................................................31
O método dos Mínimos Quadrados...............................................................................................32
Regressão Linear.......................................................................................................................32
Coeficiente de determinação R2...............................................................................................34
Ajuste da curva exponencial.....................................................................................................35
Ajuste da curva potencial..........................................................................................................36
Integração Numérica......................................................................................................................38
Método dos trapézios................................................................................................................38
Estimativa de incertezas no método dos trapézios....................................................................40
Método de Simpson...................................................................................................................42
Estimativa de incertezas no método de Simpson......................................................................44
UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS
Notas de Aula - CÁLCULO NUMÉRICO
Prof. Nicolau
Introdução
Quando o cálculo é aplicado na solução de problemas reais (Fisica, engenharia, economia,
etc...), em algum momento é necessário utilizar \u201cnúmeros\u201d para se obter a resposta desejada. Em
aplicações de matemática, o resultado final desejado, de um modo geral, tem que ser quantitativo. Em
algumas circunstâncias a substituição de variáveis por números ocorre somente no \u201cfinal\u201d do cálculo,
em algumas circunstâncias isto ocorre em uma fase bem preliminar. 
Por cálculo numérico se compreende uma série de procedimentos que utilizam técnicas
numéricas para a realização de cálculos. Tomemos a derivação como exemplo: se f(x) = x2, para a
obtenção da derivada de f(x) no ponto x = 1 podemos utilizar o método analítico ou o método numérico.
Método analítico: 
Aplicando a definição de derivada,
 df
dx
=lim
h\ue08c0
f \ue09ex\ue083h\ue09f\u2212 f \ue09ex \ue09f
h
=lim
h\ue08c0
\ue09e x\ue083h\ue09f2\u2212x2
h
=2 x=2 para x = 1.
Método numérico: 
Escolhemos inicialmente um valor arbitrariamente pequeno de h (por exemplo, h = 0,01) e
substituímos tanto o valor de x = 1 quanto h = 0,01 na definição de derivada. Teremos então 
df
dx x=1
\u2248\ue09e1\ue0830,01\ue09f
2\u221212
0,01
=2,01
Verifica-se um diferença de de 0,01 entre os valores calculados analítica e numericamente. Isto
se deve ao fato de termos utilizado um valor finito de h = 0,01 em vez de h \uf0ae 0.
Exercício 1: Verificar que a diferença entre os valores calculados analítica e numericamente diminui se
escolhermos valores menores de h.
Mesmo na resolução analítica da derivada acima, no final, foi substituído o valor 1 na variável
x. Assim, mesmo quando se utilizam analíticos, em algum momento é necessário substituir variáveis
1
por seus valores numéricos para a obtenção de soluções quantitativas de problemas.
O cálculo numérico é a disciplina que estuda métodos numéricos para a solução de problemas
matemáticos. Neste curso será apresentada uma introdução ao cálculo numérico, com especial atenção
à propagação de erros associada ao método em questão. Serão abordados os tópicos:
Erros e incertezas;
Solução de sistemas lineares de equações;
Solução de equações algébricas e transcendentes;
Interpolação
Método dos mínimos quadrados
Integração numérica.
Erros e incertezas.
Em um dado processo de obtenção de uma solução quantitativa para um dado problema1, surge
espontaneamente o conceito de Erro. Por erro é entendida a diferença entre o valor real de uma dada
grandeza e aquela que é obtida. Logo, erro é um conceito filosófico: se não conhecemos o valor real de
uma dada grandeza, como podemos saber a diferença entre este valor e o o obtido por algum método de
medição ou de cálculo? Daí que modernamente se prefere utilizar o conceito de incerteza. De qualquer
maneira, neste curso utilizaremos o termo erro para expressar indistintamente erro ou incerteza, como
utilizado pela maioria da bibliografia de uso didático no momento.
Erro de modelamento: a equação (expressão)