Geometria Analítica

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Geometria Analítica 
 
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SEGMENTOS ORIENTADOS 
 
Definição: Um segmento orientado é determinado por um par de pontos, o primeiro chamado de origem do 
segmento, o segundo chamado de extremidade. 
Segmento orientado AB, onde A - origem e B - extremidade. 
Outra maneira de representar o segmento orientado: (A, B) 
 
Segmento nulo 
É aquele em que cuja extremidade coincide com a origem. 
 
Segmentos opostos 
Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é o oposto de AB. 
 
Medida de um segmento 
Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, 
não negativo, que é a medida do segmento em relação áquela unidade. A medida do segmento orientado é 
o seu comprimento ou o módulo. 
 O comprimento do segmento orientado AB será indicado por 𝑨𝑩. 
Obs.: 
 Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero. 
 AB = BA. 
 Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. 
 
 
 
SEGMENTOS EQUIPOLENTES 
 
Definição: Os segmentos orientados AB e CD são equipolentes se forem ambos nulos, ou então, nenhum 
deles sendo nulo, se forem de mesma direção, mesmo comprimento e mesmo sentido. 
 AB ∼ CD: AB é equipolente a CD. 
Propriedades: A relação de equipolência é uma relação de equivalência, isto é, quaisquer se sejam os 
segmentos orientados AB, CD e EF 
i) Reflexiva: AB ∼ AB 
ii) Simétrica: AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB 
iii) Transitiva: AB ∼ CD e CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF 
Definição (Classe de Equipolência) 
Dado o segmento orientado AB, a classe de equipolência de AB é o conjunto de todos os segmentos 
orientados equipolentes a AB. O segmento orientado AB é chamado representante da classe. 
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Obs.: Todos os segmentos orientados pertencentes a uma classe de equipolência são equipolentes entre si. 
Segmentos equipolentes: 
 
 
 
 
 
Segmentos não equipolentes
 
 
 Qualquer um desses segmentos orientados pode ser o 
representante da classe, por exemplo AB. 
 
 
 
VETORES 
 
Definição: Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se AB é um segmento 
orientado, o vetor que tem AB como representante será indicado por 𝐀𝐁. 
Obs.: 
 O conjunto de todos os vetores ser ́a indicado por 𝕧3. 
 Outras notações de vetores: �⃗�, �⃗�, 𝑧, 𝐼, etc. 
 O mesmo vetor AB⃗ é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados 
representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. 
 Obs.: 
 Dois vetores AB⃗ e 𝐶�⃗� são iguais, se e somente se AB ∼ CD. 
 O vetor nulo será representando por 0⃗ ou 𝐴𝐴. 
 Dado um vetor �⃗� = AB⃗, o vetor 𝐵�⃗� é o oposto de AB⃗ e se indica por −AB⃗ ou 
por −�⃗�. 
 
Norma de um vetor: O comprimento (norma) de um vetor �⃗� será indicado por ‖�⃗�‖. Um vetor �⃗� é unitário 
‖�⃗�‖ = 1. 
 ‖−�⃗�‖ = 1 
Versor de um vetor: Versor de um vetor não nulo �⃗� é o vetor de mesma direção, 
mesmo sentido de �⃗� e que seja unitário. ‖�⃗�‖ = 1. 
 
Vetores coplanares: Se os vetores, �⃗�, �⃗� e �⃗� (o número de vetores não importa) 
possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, diz-se 
que eles são coplanares. 
 
Vetores paralelos: Dois vetores, �⃗� e �⃗� são paralelos, e indica-se por �⃗�//�⃗�, se os 
seus representantes tiverem a mesma direção. 
 
Vetores ortogonais: Dois vetores, �⃗� e �⃗� são ortogonais, e indica-se por, 
�⃗�⊥�⃗�, se algum representante de, �⃗� formar ângulo reto com algum 
representante de �⃗�.