Equações Diferenciais Parciais e Séries

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AULA ATIVIDADE ALUNO 
 
AULA 
ATIVIDADE 
ALUNO 
 
Curso: 
Licenciatura em Matemática 
 
 
AULA ATIVIDADE ALUNO 
Disciplina: Equações Diferenciais Parciais e Séries 
Teleaula: 03 – Introdução às Equações Diferenciais Parciais 
 
Introdução às Equações Diferenciais Parciais 
 
Prezado(a) tutor(a), 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e 
conteúdos relacionados à Unidade de Ensino: Introdução às Equações Diferenciais 
Parciais. Ela terá a duração de 1h20min. 
 
Bom trabalho! 
 
 
ATIVIDADE 1 
Classifique as equações diferenciais parciais abaixo quanto a linearidade e a ordem. 
(a) 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) 
(b) 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 1 
(c) (𝑢𝑥(𝑥, 𝑦))
2
+ 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 
ATIVIDADE 2 
Para que a técnica de separação de variáveis possa ser utilizada para resolver uma 
equação diferencial parcial, é necessário que a equação seja separável. Com base nisto, 
analise as equações diferenciais parciais abaixo e verifique qual(is) das equações não 
é(são) separável(eis). 
(a) 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) − 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 
(b) 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) − 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) 
(c) 𝑥𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) − 𝑦𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 
(d) 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 
(e) 𝛼2𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑢𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) 
 
 
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ATIVIDADE 3 
Considere a equação diferencial parcial 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) + 𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) = −𝑢(𝑥, 𝑡). Verifique se a 
função 𝑢(𝑥, 𝑡) = cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) é solução da equação dada. 
ATIVIDADE 4 
Ao se utilizar o método de separação de variáveis para solucionar uma equação 
diferencial parcial, por exemplo, a equação de calor, devemos solucionar equações 
diferenciais ordinárias de segunda ordem. Considere a equação diferencial ordinária de 
segunda ordem linear homogênea de coeficientes constates dada abaixo sujeita às 
condições iniciais fornecidas. Essa equação diferencial modela o movimento retilíneo 
uniformemente variado de certo objeto. 
{
𝑥"(𝑡) + 28𝑥′(𝑡) + 196𝑥(𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 𝑥 > 0
𝑥(0) = 0,05 𝑚 
𝑥′(0) = 0 𝑚/𝑠 
 
Encontre sua solução. 
ATIVIDADE 5 
Considere o problema de propagação de calor unidimensional dado abaixo. 
{
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡), 𝑡 > 0, 0 < 𝑥 < 1
𝑢(𝑥, 0) = 5𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥), 0 < 𝑥 < 1 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0, t > 0 
 
Verifique se a função 𝑢(𝑥, 𝑡) = 5𝑒−4𝜋
2𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) é solução do problema dado. 
ATIVIDADE 6 
Suponha que estamos interessados em escrever a equação do calor para uma barra de 
30 𝑐𝑚 condutividade térmica (𝛼) igual a 5, e cuja distribuição inicial de temperatura é 
dada pelo gráfico abaixo e tem temperaturas fixadas iguais a zero nos extremos. Como 
ficaria a equação? 
 
Dado: 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝐾𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) onde 𝐾 = 1/𝛼
2. 
ATIVIDADE 7 
 
 
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Considere uma barra metálica de 30 𝑐𝑚 que tem os extremos isolados. Suponha que a 
temperatura inicial da barra é de 10 °C e as extremidades são sempre mantidas a 0 °C. 
Suponha que a constante de condutividade térmica (𝛼) é igual a 1. Obtenha uma função 
que descreva a evolução da temperatura da barra. 
Dado: 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝐾𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) onde 𝐾 = 1/𝛼
2.