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Integral Indefinida
Até agora, tratamos do “problema das tangentes”. Dada uma curva, achar o 
coeficiente angular de sua tangente ou, de modo equivalente, dada uma função, achar 
sua derivada.
Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e física 
dependem de “derivação para trás” ou “antiderivação”. Este é, às vezes, chamado 
problema inverso das tangentes: dada a derivada de uma função, achar a própria função. 
De agora em diante trabalharemos com as mesmas regras de derivação. No 
entanto, aqui essas regras são usadas no sentido contrário e levam em particular á 
“Integração” de polinômios.
Se y = F(x) é uma função cuja derivada é conhecida, por exemplo:
x
dx
xdF 2)( =
Podemos descobrir qual a função F(x)?
F(x) = x2
Podemos acrescentar um termo constante que não muda a derivada.
x2 +1; x2 - 3 ; x2 + 5pi ....
e mais geralmente, 
x2 + C
onde C é uma constante qualquer.
Proposição: Se F(x) e G(x) são duas funções tendo a mesma derivada f(x) num 
certo intervalo, então G(x) difere de F(x) por uma constante, isto é, existe uma 
constante C com a propriedade de que:
G(x) = F(x) + C para todo x no intervalo.
Ex.: F(x) = 1/3 x3 + 3
 G(x) = 1/3 x3 + 3
Para ver por que essa afirmação é verdadeira, notemos que a derivada da 
diferença G(x) – F(x) é igual a zero no intervalo considerado.
0)()()()( =−=− xfxf
dx
xdF
dx
xdG
Segue-se que essa diferença deve ter um valor constante C, e assim:
G(x) – F(x) = C ou G(x) = F(x) + C
Que é o que queríamos estabelecer:
Esse princípio permite-nos concluir que toda solução da equação x
dx
xdF 2)( = 
deve ter a forma x2 + C para alguma constante c.
O problema que acabamos de discutir envolveu a descoberta de uma função 
desconhecida cuja derivada é conhecida. Se f(x) é dada, então a função F(x) tal que
)()( xf
dx
xdF
=
chama-se uma antiderivada (ou primitiva) de f(x), e o processo de achar F(x) a partir de 
f(x) é a antiderivação (ou primitiva). Vimos que f(x) não precisa ter uma antiderivada 
única, mas se pudermos achar uma antiderivada F(x), então todas as outras terão a 
forma
F(x) + c
para vários valores da constante c. Por exemplo, 1/3x3 é uma antiderivada de x2 e a 
fórmula 1/3 x3 + c inclui todas as possíveis antiderivadas de x2. 
Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral 
indefinida da função f(x) e é denotada por:
cxFdxxf +=∫ )()(
O símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x)dx 
integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é 
chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a 
variável de integração.
Da definição da integral indefinida, decorre que:
(i) )()(')()( xfxFcxFdxxf =⇔+=∫
(ii) ∫ ,)( dxxf representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da 
função integrando.) 
Exemplo: 32
3
1xdxx∫ = cxdxx +=∫ 32 31
Estão ambas corretas, mas a primeira dá uma integral enquanto a segunda dá todas as 
possíveis integrais. A constante c na segunda fórmula chama-se constante de integração 
e é frequentemente referida como uma constante arbitrária. 
Propriedades da Integral Indefinida
Proposição Sejam f, g: I  R e K uma constante. Então:
(i) ∫ ∫= .)()( dxxfKdxxKf
(ii) ∫ ∫ ∫+=+ .)()())()(( dxxgdxxfdxxgxf
A integral da soma é a soma das integrais separadas. Isto se aplica a qualquer número 
finito de termos.
(iii) ,
1
1
+
=
+∫ nxdxx
n
n n≠ -1 Para integrar uma potência, some ao expoente uma unidade 
e divida a nova potência pelo novo expoente.
Exemplos:
1. Calcular as integrais indefinidas:
a) dxx∫ 3 = cxx +=
+
+
4
13
4
1
13
b) dxx∫ =
 dxx∫ 2/1 =
 
2
3
2
3
x
= cx +2
3
3
2
c) =+∫ dxxx )63( 24
 dxxdxx ∫∫ + 24 63 =
 cxx ++ 35 2
5
3
d) =+∫ dxxectgxx )cos.sec3( 2
 ∫ ∫ =+ xdxecxtgxdx 2cossec3 3secx – cotgx +c
e) ∫∫∫ +=== cxxdxtgxdxxsenxxdxecxx secsec.cos.cos1cossec
2
As identidades trigonométricas são freqüentemente utilizadas quando 
calculamos integrais envolvendo funções trigonométricas. As oito identidades a seguir 
são crucias:
)(
1)sec(cos
xsen
x =
)cos(
1)sec(
x
x =
)(
1)(cot
xtg
xg =
)cos(
)()(
x
xsenxtg =
)(
)cos()(cot
xsen
xxg = sen2(x) + cos2(x) = 1
tg2(x) + 1 = sec2(x) cotg2(x) + 1 = cosec2(x)
f) ∫ ++ dxxgxtg )4)(cot)(( 22 =
∫∫∫∫ ++=+−+− dxdxxecdxxdxxecx 2)(cos)(sec)4)1)((cos)1)((sec 2222
= tg(x) – cotg(x) + 2x + c
Exercícios:
1. Calcular as integrais indefinidas:
a) ∫ 3xdx b) dttt∫ 



+
3
2 19 c) dxcbxax )3( 34 ++∫
d) dx
xx
x∫ 



+
3
1
e) dxx∫ − 22 )32( f) ∫ xsendx2
g) dx
x
x∫ +22 1 h) dxxsenx∫ 2cos i) dttte
t∫ 



++
1
2
j) ∫ θθθ dtg ..cos k) ∫ −
−
dx
x
x )5(
3
1
l) ∫ + dxxx )1(cossec 32 m) dxxecxtg .cos. 22∫