AP2_gabarito

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UAB - UFJF - GABARITO da AP2 de Ca´lculo III
Professor: Grigori Chapiro
Questa˜o 1 (30 pts.). Sejam g : R→ R e f : R2 → R dadas por
g(t) = sen(t), f(x, y) = x− y.
(a) Determine a func¸a˜o g ◦ f .
(b) Calcule as derivadas parciais de g ◦ f na origem usando a regra da
cadeia.
(c) Seja h(x, y) = g ◦ f(x, y). Calcule as derivadas de terceira ordem:
∂xxyh(x, y) e ∂yyyh(x, y).
Soluc¸a˜o: (a) g ◦ f : R2 → R, dada por g ◦ f(x, y) = sen(x− y).
(b)
∂(g ◦ f)
∂x
=
dg
dt
(f(x, y)) · ∂f
∂x
= cos(x− y),
∂(g ◦ f)
∂y
=
dg
dt
(f(x, y)) · ∂f
∂y
= − cos(x− y).
(c)
∂3(g ◦ f)
∂xxy
(x, y) =
∂2
∂xx
(
∂(g ◦ f)
∂y
)
(x, y) =
∂2
∂xx
(− cos(x− y)) =
=
∂
∂x
(sen(x− y)) = (cos(x− y)) .
∂3(g ◦ f)
∂yyy
(x, y) =
∂2
∂yy
(
∂(g ◦ f)
∂y
)
(x, y) =
∂2
∂yy
(− cos(x− y)) =
=
∂
∂y
(−sen(x− y)) = (cos(x− y)) .
Pontuac¸a˜o:
(a) Acertou a func¸a˜o 10 pts.
(b) Cada uma das derivadas 5 pts. (Erro de conta - 5 pts.)
(c) Cada uma das derivadas 5 pts. (Erro de conta - 5 pts.)
Questa˜o 2 (20 pts.). Seja a func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) =
sen(xy). Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico da f no
ponto que corresponde a (x, y) = (1, pi).
Soluc¸a˜o: Calculando o valor da func¸a˜o no ponto (x, y) = (1, pi) e´
f(1, pi) = 0, as derivadas parciais no ponto (x, y) = (1, pi):
∂f
∂x
(1, pi) = cos(xy) · y|(1,pi) = −pi;
2
∂f
∂y
(1, pi) = cos(xy) · x|(1,pi) = −1.
A equac¸a˜o do plano tangente e´ dada por:
z = f(1, pi)+
∂f
∂x
(1, pi) · [x−1]+ ∂f
∂y
(1, pi) · [y−pi] = 0−pi[x−1]− [y−pi],
reescrevendo:
pix+ y + z = 2pi.
Pontuac¸a˜o:
Calcular o valor da func¸a˜o 5 pts.
Calcular cada uma das derivadas 5 pts.
Acertar a equac¸a˜o do plano 5 pts.
Questa˜o 3 (30 pts.). Dada func¸a˜o f : R2 → R, f(x, y) = x2− 2y2− 1.
(a) Encontre o gradiente de f .
(b) Calcule a derivada direcional da f no ponto (x, y) = (1, 2) na
direc¸a˜o ~v = (−1, 1) usando o gradiente.
(c) Calcule a mesma derivada direcional usando a definic¸a˜o.
Soluc¸a˜o: (a) Calculando
∇f(x, y) =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
)
= (2x,−4y).
(b) Sabemos que
∂f
∂~v
(x, y) =
∇f(x, y) · ~v
||~v|| =
(2x,−4y) · (−1, 1)√
2
=
−2x− 4y√
2
= −
√
2(x+2y).
Logo
∂f
∂~v
(1, 2) = −
√
2(1 + 4) = −5
√
2.
(c)
∂f
∂~v
(x, y) = lim
t→0
f((x, y) + t(−1, 1))− f(x, y)
t||(−1, 1)|| = limt→0
f(x− t, y + t)− f(x, y)
t
√
2
=
=
1√
2
lim
t→0
(x− t)2 − 2(y + t)2 − 1− x2 + 2y2 + 1
t
=
1√
2
lim
t→0
−2xt+ t2 − 4yt− 2t2
t
=
=
1√
2
lim
t→0
(−2x− 4y − t) = −2x− 4y√
2
.
Assim
∂f
∂~v
(1, 2) =
−10√
2
= −5
√
2.
A resposta coincidiu porque a func¸a˜o polinomial e´ diferencia´vel.
3
Pontuac¸a˜o:
(a) Definic¸a˜o do gradiente 5 pts.
(b) A relac¸a˜o do gradiente com a derivada 10 pts.
Acertou a conta +5 pts.
(c) A definic¸a˜o da derivada direcional 5 pts. Chegar na resposta 5 pts.
Questa˜o 4 (20 pts.). Encontre a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico
da func¸a˜o f : R2 → R, f(x, y) = y cos(xy) no ponto (x, y, z) =
(1, pi,−pi).
Soluc¸a˜o: Primeiro verificamos o valor da func¸a˜o no ponto f(1, pi) =
pi cos(1 · pi) = −pi. Assim o ponto (1, pi,−pi) realmente faz parte do
gra´fico da f .
Calculando as derivadas parciais:
∂f
∂x
(1, pi) = −sen(xy) · y2|(1,pi) = 0;
∂f
∂y
(1, pi) = [cos(xy)− sen(xy) · xy](1,pi) = −1.
A equac¸a˜o do plano tangente e´ dada por:
z = f(1, pi)+
∂f
∂x
(1, pi)·[x−1]+ ∂f
∂y
(1, pi)·[y−pi] = −pi−0[x−1]−[y−pi],
Reescrevendo
y + z = 0.
Pontuac¸a˜o:
Calcular o valor da func¸a˜o 5 pts.
Calcular cada uma das derivadas 5 pts.
Acertar a equac¸a˜o do plano 5 pts.