07-Ondas

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1
ONDAS ONDAS 1616
2
Uma onda se caracteriza como sendo qualquer
perturbação que se propaga no espaço.
Onda transversal: a deformação é transversal
à direção de propagação.
Deformação
Propagação
16.316.3
3
Propagação
Deformação
Onda longitudinal: a deformação é paralela à
direção de propagação.
y
x
v
A descrição matemática 
de um pulso de onda que caminha 
para a direita com velocidade constante v, 
é feita por uma função 
y(x-vt)
4
y
x
v
Quando o pulso caminha para a esquerda com
velocidade v, é descrito por uma função
y(x+vt).
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120
x
y
)100/x(e 2y
2−=
Exemplo: seja a função gaussiana centrada em
x=0.
x= 0 y =2
x=±∞ y =0
5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120
)100/)tx((e 2y
2−−=
)100/z(e 2y
2−=
x(m)
y
)100/x(e 2y
2−=
z= x - t
Considere a variável z = x-vt substituindo x. Esta variável faz
com que a gaussiana se desloque com velocidade v no sentido
x positivo. Supondo v=1m/s, z assume o valor z= x-t,
Pulso se deslocando no sentido de x
positivo com velocidade de 1 m/s.
6
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120
Considere z = x+vt. Agora a variável z faz com que o pulso se
desloque com velocidade v no sentido x negativo. Supondo v=1m/s,
z assume o valor z= x+t,
)100/)tx((e 2y
2+−=
)100/z(e 2y
2−=
x(m)
y
)100/x(e 2y
2−=
z= x + t
y
x
)100/)vtx((e 2y
2+−=
Neste caso, o pulso propaga-se para a
esquerda com velocidade v.
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ONDAS SENOIDAIS PROGRESSIVASONDAS SENOIDAIS PROGRESSIVAS
Uma onda senoidal se propagando no eixo dos x 
no sentido positivo é descrita pela função: 
y = ymax sen ( kx-ωt +φ) = ymaxsen(k(x-ω/k t)+φ)
ymax é a amplitude da onda, k é o número de onda,
ωωωω é a freqüência angular, φφφφ é a constante de fase e
v é a velocidade de propagação.
ymax
x
v = ω / k
16.4,516.4,5
Comprimento de onda λ = 2π/ k 
Período da onda T = 2π/ ω
Velocidade de propagação v = ω / k = λ / T
Uma onda senoidal se propagando no eixo dos x
no sentido negativo é descrita pela função:
y = ymax sen ( kx+ωt +φ)
ymax
x
v = ω / k
8
Comprimento de onda
λ = 2π/ k = vT
Período
T = 2π/ ω
Velocidade de propagação
v = ω / k = λ / T= λf
Freqüência
f = 1/T
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0 50 100 150 200
Comprimento de onda
λ = 2π/ k = vT
λamplitude
X(m)
λ = 2π/k = 50m
9
λ = vT
A onda percorre uma distância λ no 
tempo T( período) 
y = ymax sen ( kx-ωt + ϕ)
Velocidade u(x,t) = ∂y/∂ t da corda no ponto x =4
x0 1 2 3 4 5 6
1
-1
u(x,t)= ∂y/ ∂ t
Considere uma onda progressiva propagando-se em uma
corda no sentido dos x positivo.
Para calcular a velocidade e a aceleração de um ponto da
corda, fixa-se a posição e verifica-se o movimento da corda.
10
u = ∂ y / ∂ t = -ymaxω cos(kx – ωt + ϕ)
VELOCIDADEVELOCIDADE
dos pontos da cordados pontos da corda
ACELERAÇÃOACELERAÇÃO
dos pontos da cordados pontos da corda
ay = -ymaxω2 sen(kx – ωt + ϕ)
ay = ∂ u/ ∂ t = ∂ 2 y / ∂ t2
x
11
Observa-se que o ponto da corda realiza um 
movimento MHS.
Análogo ao movimento da massa presa 
a uma mola. 
12
Em uma dada posição a diferença de fase da onda entre
dos instantes diferentes pode ser escrita como:
∆φ = ω∆t
A fase da onda varia ao longo do eixo x 
em cada instante.
x
13
Y
x
y = ymax sen ( kx1-ωt + ϕ)
x1
φ
Y
x
y = ymax sen ( kx2-ωt + ϕ)
x2
14
φ
Y
x
y = ymax sen ( kx3-ωt + ϕ)
x3
φ
Y
x
y = ymax sen ( kx4-ωt + ϕ)
x4
15
φ
Y
x
y = ymax sen ( kx5-ωt + ϕ)
x5
φ
Y
x
y = ymax sen ( kx6-ωt + ϕ)
x6
16
φ
Y
x
y = ymax sen ( kx7-ωt + ϕ)
x7
Y
x
x8−x1= λ ∆φ = 2π
x8x1
17
φ
Y
xA
A diferença de fase da onda
entre os pontos A,
∆φ
Y
x
e o ponto B ao longo do eixo x está
representada pelo ângulo ∆φ
A B
∆φ = k∆x
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A fase da onda depende de x e t 
φ = kx ±ωt +φο
y = ymax sen φ
A diferença de fase entre duas ondas pode
ser devida a um atraso entre elas ou a uma
diferença no caminho percorrido por elas.
∆φ = k∆x ou ω ∆t
Prob. 16.2, 3
Uma onda que se propaga ao longo de uma corda é 
descrita por 
Onde as constantes numéricas estão no SI.
(a) Qual é a amplitude? (b) Quais são λ, T e f da
onda?
(c) Qual é a velocidade da onda?
(d) Qual é o deslocamento do ponto da corda na
posição x = 20 cm em t = 10 s?
y (x,t) = 0.0030 sen ( 70 x – 2,7 t )
(e) Qual é a velocidade transversal da corda nessa
posição, nesse mesmo instante?
(f) Qual sua aceleração transversal?
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A velocidade de propagação v de uma onda depende de
características do meio.
Em uma corda v depende da tração τ e da densidade
linear µ da corda.
µ = m / L (massa por unidade de comprimento)
τ = m L / t2 (força = massa x aceleração)
16.616.6 Velocidade de propagação da onda
Análise dimensional
µ
τ
=v
ENERGIA TRANSPORTADA ENERGIA TRANSPORTADA 
PELA ONDAPELA ONDA
16.716.7
20
Uma onda transporta energia.
Uma partícula colocada em uma corda sente a passagem
da onda adquirindo energia cinética, que faz com que ela
se desloque acompanhando a deformação da corda.
Um pedaço de corda de massa ∆m adquire uma energia
cinética ∆Ec
Α massa ∆m pode ser escrita como
∆m = µ ∆x
onde µ é a densidade linear da corda.
∆Ec=1/2 ∆m u2
µ∆x
∆m
21
dEc = ½ dm u2
dm = µ dx
u = ∂y/ ∂ t
u = - ym ω cos (kx – ωt + φ)
Supondo ∆m muito pequeno a energia cinética 
∆Ec se escreve como:
dEc = ½ µ dx u2
dEc =½ µ dx ym2 ω2 cos2 (kx – ωt + φ)
dEc/dt = ½ µ dx/dt ym2 ω2 cos2(kx–ωt+φ)
dEc /dt = ½ µ v u2
Sendo v = dx/dt a velocidade de propagação da onda, a
variação no tempo da energia cinética se escreve:
dEc /dt = ½ µ v ymax2ω2 cos2 (kx – ωt + φ)
A média no tempo da derivada da energia cinética é
proporcional a média do <cos2>=½ .
<dEc /dt> = ½ µ v ymax2 ω2 <cos2(kx–ωt+φ)>
22
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Média de <cos 2 > = ½
<dEc /dt> = ½ µ v ymax2 ω2 <cos2 (kx–ωt+ φ)>
<dEc /dt> = ½ (½ µ v ymax2 ω2)
A energia total Et = Ec+ Ep 
A média da taxa de variação da energia total
<dEt /dt> = <dEc/dt > + <dEp /dt>
como < dEc/dt> = <dEp /dt>
dEt/dt média = 2 ½ (½ µ v ymax2 ω2)
Potência média= dEt/dt média = ½ µ v ymax2 ω2 
A potência média é proporcional ao quadrado da 
amplitude ymax2.
23
SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS 
Interferência de ondas caminhando no 
mesmo sentido
A deformação resultante é a soma das 
deformações das ondas na corda.
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Considere duas ondas senoidais caminhando no
sentido dos x positivo com uma diferença de fase φ
entre elas.
y1 = ym sen( kx-ωt)
y2= ym sen( kx-ωt+φ)
A onda resultante é
yR = y1 +y2
isto é,
yR =ym sen( kx-ωt) + ym sen( kx-ωt+φ)
Utilizando a relação trigonométrica
senA + senB = 2 cos [(A-B)/2] . sen [(A+B)/2]
AB
A =kx-ωt+φ B=kx-ωt
(A + B)/2 = kx-ωt+φ/2 ; (A - B)/2 = φ/2
25
yR = 2ym cos φφφφ/2 sen(kx-ωt+φ/2)
amplitude
yR = 2 cos [(A-B)/2] sen [(A+B)/2]
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
No exemplo, as ondas têm mesma amplitude e diferença de
fase φ = π/2.
A onda resultante , a verde, tem amplitude 
ym = 4,0 cos ππππ/4 = 2,83 cm.
y 
(c
m
)
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
Quando a diferença de fase for um número par de π, as
ondas estão fase. A onda resultante tem amplitude igual à
soma das amplitudes.
y 
(c
m
)
26
Quando a diferença de fase é um número ímpar de π, as
ondas estão em oposição de fase.
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
A onda resultante tem amplitude igual à diferença das
amplitudes.
y 
(c
m
)
Superposição de ondas 
caminhando em sentidos 
opostos
ONDAS ESTACIONÁRIASONDAS ESTACIONÁRIAS
27
REFLEXÃO DE PULSO EM UMA REFLEXÃO DE PULSO EM UMA 
PAREDE RÍGIDAPAREDE RÍGIDA
O pulso refletido sofre uma mudança de 
fase de 180o
Na reflexão em uma corda aberta, o pulso
refletido retorna em fase com o incidente.
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Uma onda estacionária é a onda resultante
da superposição de ondas caminhando em
sentidos opostos.
yD = yo sen (kx - ωt )
yE= yo sen (kx + ωt )
y = yD + yE
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senA + senB = 2 sen [(A+B)/2] cos [(A-B)/2]
(A + B)/2 = kx ; (A - B)/2 = - ωt
yR = 2 yo sen kx cos ωt
yR = yo (sen (kx - ωt )+ sen (kx +ωt))
A =kx-ωt ; B=kx+ωt
Quando a corda tem as extremidades fixas, nos
pontos fixos a amplitude da onda deve ser nula.
O primeiro modo de vibração de uma corda de
comprimento L com as duas extremidades fixas.
L = λ/2
30
O segundo modo de vibração
L = 2 λ/2
nó
ventre ventre
O terceiro modo de vibração
L= 3λ/2
31
Modos normais de vibração de uma corda
presa nas extremidades.
L = n λ / 2 → λ = 2 L / n
sendo v = ω / k = λ / T = λ f
As freqüências correspondentes aos modos 
normais são:
fn = n v / 2L
n =1,2,3,4\
Caso de uma corda com somente uma das
extremidades presa
L
L= λ /4
L= 3λ /4
Número ímpar de λ/4
32
Modos normais de vibração da corda com uma
extremidade presa
L = (2n+1) λ / 4
λn = 4 L / (2n+1)
fn = (2n+1) v / 4L
n= 0,1,2,3,4\