Introdução à Teoria de Controle

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Teoria de Controle – José A. Riul 
 1 
 
 
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE 
 
- Sistema a controlar (planta) – um sistema a controlar é uma parte de um equipamento, ou um 
conjunto de itens de uma máquina. 
- Sistema – qualquer objeto físico a ser controlado. 
 
Ex.1- Robô 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE A MALHA ABERTA 
 
- Sistema de Controle a Malha Aberta: o sinal de saída não é medido e ele não é usado para 
comparação com o sinal de referência ou alvo; logo, o sinal de saída não afeta a ação de controle. 
 
 
 
 
 
Ex. 2 - No Ex.1, o sinal de saída é a posição angular do braço. Esta posição angular não é utilizada 
para a ação de controle, ou seja, ela não é utilizada para definir a tensão de alimentação do motor cc 
(Entrada ou excitação do motor cc). 
A definição do sinal de Entrada, para que a posição do braço seja atingida corretamente, 
depende da experiência. 
 
- Distúrbio ou Perturbação: um distúrbio ou perturbação é caracterizado por um sinal que afeta o 
valor do sinal de saída de um sistema. Quando gerado no interior de um sistema é dito distúrbio 
interno, e quando gerado fora do sistema é dito distúrbio externo. 
 
A’ 
A 
β
σ 
Motor 
CC 
Braço 
mão punho 
Atuador 
(acionador) 
Robô 
punho 
Entrada 
Excitação Resposta 
Saída 
(Sinal de Saída) 
(Sinal de Entrada) 
Sistema de Controle a Malha Aberta 
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 2 
- Sistema de Controle a Malha Fechada: os Sistemas de Controle a Malha Fechada ou controle 
com retroação utilizam o Sinal de Saída, para cálculo do erro entre o Sinal de Referência ou Alvo e 
o Sinal de Saída, para excitar o controlador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os controladores utilizados nos sistemas de controle a malha fechada são projetados para 
cada sistema em função dos modelos dos sistemas. 
Os modelos podem ser obtidos no domínio do tempo (equações diferenciais), no domínio de 
Laplace (equações algébricas), etc. 
 
- Processo: define-se como processo a toda operação a ser controlada. Ex.: processos químicos, 
biológicos, econômicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir são mostrados alguns sistemas de controle. 
Sinal de 
referência 
– 
+ 
 
Controlador 
 
Sistema 
 
Sensor 
 
Alvo 
 
Erro 
 
Sinal de 
Entrada 
 
Saída 
Sistema de Controle a Malha Fechada 
Referência 
 
Controlador 
 
Processo 
(planta) 
Sensor 
 
Alvo 
 
Erro 
 
Sinal de 
Entrada 
 
Sinal de Saída 
 
Controlador 
u y 
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 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forno 
– 
+ 
 
Controlador 
Sensor de temperatura 
Resistência 
Erro 
Referência 
Forno Elétrico 
Referência 
 
Controlador – 
+ 
Túnel Psicrométrico 
Sensor de 
temperatura 
Resistência elétrica Fluxo de ar 
Motor cc 
 
Válvula 
Eletropneumática 
 
Compressor 
de Ar 
 
Controlador 
Sensor de 
compressão 
Referência 
– 
+ 
Sinal de 
Entrada 
Cilindro 
Pneumático 
Haste 
Sinal 
de 
Saída 
Sistema Eletropneumático 
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 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De forma geral os sistemas de controle são representados pelo diagrama de blocos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Motor 
CC 
Sensor 
 
Controlador 
– 
+ 
Sinal de 
Entrada 
Referência 
Sinal de Saída 
Referência 
– 
+ 
 
Controlador 
 
Sistema 
 
Sensor 
 
Erro 
 
Sinal de 
Entrada 
 
Saída 
Robô 
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 5 
MODELAMENTO DE SISTEMAS 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
1. Sistema 
 
Sistema – Um objeto ou coleção de objetos que realiza um certo objetivo cujas propriedades 
pretende-se estudar. 
 Ex. Manipulador Robótico, Circuito Elétrico, Sistema de Fabricação, Sistema Biológico, etc. 
Elementos de sistema de controle. 
A Figura 1 mostra os elementos de um sistema. 
 
 
Figura 1 – Sistema 
 
Para identificação de um sistema é conhecida a entrada u e a saída y e deve-se obter o 
sistema h(.) de modo que ŷ(.)  y(.) onde ŷ(.) é a saída estimada e y(.) é a saída real (medida). 
Para projeto de controle, é conhecido o sistema h(.) e a saída y(.) e deve-se obter a entrada 
u(.) (variável de controle), para proporcionar a saída desejada (referência). 
 
Modelos dinâmicos contínuos são descritos por equações diferenciais e representam a evolução do 
sistema continuamente no tempo. 
Modelos determinísticos são aqueles nos quais não estão representados as incertezas 
presentes em um sistema real (como ruído de sensor, não – linearidade). 
Modelos estocásticos são aqueles nos quais estão representadas as incertezas de um sistema 
real. A saída de um modelo estocástico é uma variável aleatória. 
 Modelos Estáticos - relacionam variáveis sem quantificar sua dependência temporal. 
 Modelos Dinâmicos- relacionam variáveis quantificando sua dependência temporal. 
Modelos Paramétricos – são modelos que têm parâmetros, ou seja, números, coeficientes que os 
caracterizem. 
Modelos Não – Paramétricos são representações gráficas (que não têm parâmetros) tais como 
resposta ao impulso, resposta em freqüência. 
 
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 6 
Diversos tipos de entradas são utilizadas; como exemplo: 
a) Degrau 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
10.2
10.4
10.6
10.8
11
Tempo (s)
T
e
n
s
a
o
 (
V
o
lt
s
)
 
 
degrau de amplitude 10
 
b) Rampa 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Tempo (s)
T
e
n
s
a
o
 (
V
o
lt
s
)
 
 
rampa
 
 
c) Pulso Retangular 
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 7 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tempo (s)
T
e
n
s
a
o
 (
V
o
lt
s
)
 
 
pulso retangular de amplitude 10
 
 
 
d) Senoidal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
T
e
n
s
a
o
 (
V
o
lt
s
)
 
 
senoide de amplitude 4 e frequencia igual a 2 rd/s
 
 
Para identificação das características essenciais de um sistema sob avaliação, é possível utilizar um 
sinal de entrada tipo degrau. A resposta ao degrau é um procedimento adequado para caracterizar de 
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 8 
forma preliminar a dinâmica de um sistema, através de interpretação gráfica. Exemplos de respostas 
ao degrau em malha aberta (curva de reação da planta). 
a) Comportamento Estável 
Time (sec.)
A
m
p
lit
u
d
e
Step Response
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
From: U(1)
T
o
: 
Y
(1
)
 
 
 
b) Comportamento Estável Oscilatório 
Time (sec.)
A
m
p
lit
u
d
e
Step Response
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
From: U(1)
T
o
: 
Y
(1
)
 
c) Comportamento Instável 
Time (sec.)
A
m
p
lit
u
d
e
Step Response
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
200
400
600
800
1000
From: U(1)
T
o
: 
Y
(1
)
 
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 9 
d) Comportamento Instável Oscilatório 
Time (sec.)
A
m
p
lit
u
d
e
Step Response
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
From: U(1)
T
o
: 
Y
(1
)
 
 
e) Comportamento Estável com Atraso de Transporte 
 
f) Comportamento Estável de Fase Não-Mínima 
 
 
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 10 
2. Modelagem e Identificação 
 
Modelagem e Identificação referem-se na determinação de um modelo matemático de um sistema 
representando os seus aspectos essenciais. 
 
Procedimentos para elaboração de modelos matemáticos: 
a) Analise físico – matemática: baseia-se nas leis físicas  Modelagem Física  Modelo. 
b) Analise experimental: Baseia-se nas medidas ou observações do sistema  Identificação  
Modelo. 
Com os procedimentos a) e b) obtém-se modelos matemáticos que representam a dinâmica 
do sistema (processo ou planta). 
O modelo de um sistema é uma equação matemática utilizada para simulação do mesmo. 
Com a simulação respostas sobre o sistema são obtidas sem a realização de experimentações. 
 
2.a. Analise físico – matemáticaVibração – O estudo da vibração diz respeito aos movimentos oscilatórios de corpos e às forças que 
lhes são associadas. Todos corpos dotados de massa e elasticidade são capazes de vibrar. A 
vibração pode ser livre ou forçada. 
 
Vibração Livre – A vibração livre acontece quando o sistema oscila sob a ação de forças que lhe são 
inerentes e na ausência da ação de qualquer força externa. 
 
Vibração Forçada – A vibração forçada de um sistema ocorre quando ele está sob a ação de forças 
externas. Se a força externa (excitação) é oscilatória, o sistema é obrigado a vibrar na freqüência da 
excitação. 
 
Grau de Liberdade (GDL) – Chama-se grau de liberdade de um sistema ao número de coordenadas 
independentes requerido para a descrição do seu movimento. 
Exemplos: Uma partícula livre em movimento no espaço tem três graus de liberdade, enquanto que 
um corpo rígido tem seis graus de liberdade. 
 
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Modelos de Sistemas de: 1 GDL, 2 GDL e 3 GDL. 
 
Movimento Harmônico Simples 
 
Considerando o deslocamento da partícula P da Figura 1, tem-
se: 
 
Figura 1 – Partícula P 
 
s n( ) s n( )y A e A e t   (1) 
 
 
2
cos( )
s ( )
y A t
y A en t
 
 
 
 
 (2) 
 
Substituindo (1) em (2); 
 
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 12 
2 2 2s ( ) 0y A en t y y y          (3) 
 
onde: ω é a velocidade angular do corpo ou frequência circular. 
A equação (3) é uma equação diferencial de 2
a
 ordem, de coeficientes constantes e homogênea. A 
solução de (3) resulta em (1) que é a característica do movimento harmônico simples (função 
senoidal). Na Figura 1, tem-se ainda: 
 A – amplitude do movimento (m); 
 ω - frequência circular (rad/s); 
 τ – período do movimento (s). 
 
 Se ω é constante, em um ciclo do movimento, tem-se: 
 
 2 2 / 2t f             (4) 
 
onde: f – freqüência linear (Hz) 
 
 
 Vibração Livre sem amortecimento de Sistemas de Um Grau de Liberdade (1 GDL) 
 A Figura 2 mostra o modelo de um sistema de 1 GDL, não amortecido. 
 
Figura 2 – Modelo de um sistema de 1 GDL não amortecido 
 
Fazendo o equilíbrio dinâmico do modelo de um sistema de 1 GDL, não amortecido mostrado na 
Figura 2, conforme o DCL tem-se: 
 
0
xx I
F F   
 2( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0n
k
mx t kx t x t x t x t x t
m
        (5) 
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 13 
onde: 
 
/n k m  - frequência circular natural do sistema (rad/s); 
m – massa do sistema (kg); 
k – constante de rigidez do sistema (é função do módulo de elasticidade de cada sistema) (N/m) 
 Freqüência natural é característica de cada sistema visto que depende de sua massa e rigidez 
(elasticidade). A equação (5) é uma equação diferencial do movimento (EDM) de 2
a
 ordem, linear, 
de coeficientes constantes e homogênea. A solução de (5) fornece o movimento vibratório do 
sistema. Admitindo como solução de (5): 
 
( ) tx t e (6) 
 
e derivando (6); 
 
2( ) tx t e (7) 
 
 Substituindo (6) e (7) em (5); 
 
2( ) 0tm k e   (8) 
 
Resolvendo (8); 
 
1,2 / / nk m i k m i        
 (9) 
Substituindo (9) em (6); 
 
1 2( ) (cos( ) ( )) (cos( ) ( ))
t t
n n n nx t Ae Be A t isen t B t isen t
            
 
( ) ( )cos( ) ( ) ( )n nx t A B t i A B sen t      
 
 1 2( ) cos( ) ( )n nx t C t C sen t   (10) 
 
Onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas em função das condições iniciais. 
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 14 
Considerando como condições iniciais: 
 
0 00 (0) (0)t x x e x x    (11) 
Substituindo a primeira condição inicial de (11) em (10); 
 
1 2
0 1
(0) cos(0) (0)x C C sen
x C
  

 (12) 
 
Derivando (10) e substituindo a segunda condição inicial de (11); 
 
1 2 1 2 0 2 2 0( ) ( ) cos( ) (0) (0) cos(0) /n n n n n n n nx t C sen t C t x C sen C x C C x                 
 (13) 
Considerando: 
 
1 2 cosC Csen e C C   (14) 
 
E substituindo (14) em (10); 
 
( ) cos( ) cos ( ) ( ) ( )n n nx t Csen t C sen t x t Csen t          (15) 
 
Onde: C e  são constantes a serem determinadas em função das condições iniciais. 
 
Tem-se de (14); 
 
1
2 cos
C sen
tg
C



  (16) 
 
Substituindo (12) e (13) em (16); 
 
1 1 01
2 0
( ) ( )n
xC
tg tg
C x

    (17) 
Elevando ao quadrado a primeira constante de (14) e a segunda constante de (14), e somando-as; 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2cosC C sen e C C C C C C C C         (18) 
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 15 
 
Substituindo (12) e (13) em (18); 
 
2 2 2 2
1 2 0 0( / )nC C C x x     (19) 
 
Substituindo (17) e (19) em (15); 
 
 
 
2 2
0 0( ) ( ( / ) ) ( )n nx t x x sen t     (20) 
Em (17),  é o ângulo de fase e em (19), C é a amplitude da vibração. A equação (20) e a Figura 3 
representam a vibração livre do sistema mostrado na Figura 2. 
 
 
 
Figura 3 – Vibração Livre de um Sistema de 1 GDL não amortecido 
III.4 – Vibração Livre amortecida de Sistemas de Um Grau de Liberdade (1 GDL) 
 
A Figura 4 mostra o modelo de um sistema de 1 GDL, com amortecido. 
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 16 
 
Figura 4 – Modelo de um sistema de 1 GDL com amortecido 
 
Fazendo o equilíbrio dinâmico do modelo de um sistema de 1 GDL, amortecido mostrado na Figura 
4, conforme o DCL tem-se: 
 
120 0I m a IF F F F F F       (21) 
Na direção x, tem-se de (21); 
 
( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
c k
mx t cx t kx t x t x t x t
m m
       (22) 
 
onde: 
 
/n k m  - frequência circular natural do sistema (rad/s); 
m – massa do sistema (kg); 
k – constante de rigidez do sistema (é função do módulo de elasticidade de cada sistema) (N/m); 
c – coeficiente de amortecimento viscoso (Ns/m). 
 A equação (22) é uma equação diferencial do movimento (EDM) de 2
a
 ordem, linear, de 
coeficientes constantes e homogênea. A solução de (22) fornece o movimento vibratório do sistema. 
Admitindo como solução de (22): 
 
( ) tx t e (23) 
 
e derivando (23); 
 
2( ) ( )t tx t e e x t e    (24) 
 
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 17 
 Substituindo (23) e (24) em (22); 
 
2( ) 0tm c k e    (25) 
 
De (25); 
 
2( ) 0m c k    (26) 
 
Resolvendo (26); 
 
2
1,2
4
2 2
c c km
m m


    
 
2
1,2 ( )
2 2
c c k
m m m
     (27) 
 
Substituindo (27) em (23); 
 
2 2
1 2
( ( ) ) ( ( ) )( )
2 22( ) ( )
c k c kc
t tt
t t m m m mmx t Ae Be e Ae Be
 
  
    (28) 
 
A equação (28) é a solução geral da EDM (22). 
 
Amortecimento crítico – O coeficiente de amortecimento crítico (cc) é obtido, tornando nulo o 
radical de (28). Tem-se: 
 
2 2 2 2( ) 0 ( ) ( )
2 2 2
c c c
n
c c ck k k
m m m m m m
        
 
2c nc m (29) 
 
Fator de Amortecimento ( ) – O fator de amortecimento  indica o grau de amortecimento de um 
sistema eé dado pela relação entre c e cc, conforme equação (30): 
 
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 18 
c
c
c
  (30) 
 
Substituindo (29) em (30); 
 
2
2
n n
c
c m
m
     (31) 
 
e sabe-se que: 
 2n
k
m
 (32) 
 
Substituindo (31) e (32) em (23); 
 
22 2 2 2 2 ( ( 1)( ( ) ) ( ( ) ) ( ( 1)( ) ( )
( ) ( ) ( )
tn
n n n n nn nt t tt tx t e Ae Be e Ae Be
             
    
 
22 ( ( 1)( ( 1)( )
( ) ( )
tn
nn ttx t e Ae Be
    
  (33) 
 
A equação (33) é a solução geral da (22). De (33), definem-se três soluções dependendo do valor do 
radical. Se o radical for negativo, então o movimento é dito sub-amortecido ou oscilatório e nesse 
caso observa-se que  <1. Se o radical for positivo, então o movimento é dito super-amortecido ou 
aperiódico e nesse caso observa-se que  >1. Se o radical for nulo, então o movimento é dito 
críticamente amortecido e nesse caso observa-se que  =1. 
Diante do exposto, encontraremos as três soluções a partir de (33). 
 
- Movimento Sub-amortecido ou Oscilatório ( <1). 
 Se  <1, tem-se de (33); 
 
2 2 22 2 2( ( 1) ( (1 )( ( 1) ( (1 )( ) ( )
( ) ( ) ( )
t i tn n
n nn nt i tt tx t e Ae Be e Ae Be
            
     
 
22 ( (1 )( (1 )( )
( ) ( )
i tn
nn i ttx t e Ae Be
    
  (34) 
 
Chamando: 
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 19 
 
2(1 )a n    (35) 
 
onde: a é a freqüência circular amortecida, dada por (35). E de (34); 
 
( )
( ) ( )n a a
t i t i t
x t e Ae Be
   
  (36) 
 
De (36); 
 
( )
( ) [ (cos( ) ( )) (cos( ) ( ))]n
t
a a a ax t e A t isen t B t isen t
         
 
 
 
( )
( ) [( )cos( ) ( ) ( )n
t
a ax t e A B t i A B sen t
       
 
( )
1 2( ) [ cos( ) ( )]
n t
a ax t e C t C sen t
    (37) 
 
Onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas em função das condições iniciais. 
Considerando como condições iniciais: 
 
0 00 (0) (0)t x x e x x    (38) 
 
Substituindo a primeira condição inicial de (38) em (37); 
 
0
1 2 0 1(0) [ cos(0) (0)]x e C C sen x C    (39) 
 
Derivando (37) e substituindo a segunda condição inicial de (38); 
 
( ) ( )
1 2 1 2( ) [ ( ) cos( )] [ cos( ) ( )]
n nt t
a a a a n a ax t C sen t C t e e C t C sen t
              
 
0 0
1 2 1 2(0) [ (0) cos(0)] [ cos( ) ( )]a a n a ax C sen C e e C t C sen t          
 
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 20 
0 2 1a nx C C   (40) 
 
E de (40); 
 
2 0 0( ) /n aC x x   (41) 
 
Considerando: 
 
1 2 cosC Csen e C C   (42) 
 
E substituindo (42) em (37); 
 
( )
( ) [ cos( ) cos ( )]n
t
a ax t e Csen t C sen t
       
 
 
( )
( ) . ( )n
t
ax t e Csen t
    (43) 
 
Onde: C e  são constantes a serem determinadas em função das condições iniciais. 
Tem-se de (42); 
 
1
2 cos
C sen
tg
C



  (44) 
 
Substituindo (39) e (41) em (44); 
 
1 1 01
2 0 0
( ) ( )a
n
xC
tg tg
C x x



  

 (45) 
 
Elevando ao quadrado a primeira constante de (42) e a segunda constante de (42), e somando-as; 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2cosC C sen e C C C C C C C C         (46) 
 
Substituindo (39) e (41) em (46); 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 21 
 
2 2 2 2
1 2 0 0 0( ) / )n aC C C C x x x       (47) 
 
 
E uma vez determinado  em (45) e C em (47), tem-se a solução de (43); 
 
( )
( ) ( )n
t
ax t Ce sen t
    (48) 
 
A equação (48) e a Figura 5 representam a vibração livre do sistema amortecido mostrado na Figura 
4. 
Como (48) é o produto de uma função exponencial decrescente com uma função senoidal, o 
movimento resultante que é a vibração do corpo, perde amplitude em função do nível de 
amortecimento do sistema e desta forma o corpo para após um intervalo de tempo. 
 
 
Figura 5 – Vibração Livre de um Sistema Oscilatório de 1 GDL 
Decremento Logarítmico ( ) – É o logaritmo natural do quociente de duas amplitudes consecutivas 
quaisquer.Então; 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 22 
1
2
1
1 2
2
( )
ln( / ) ln( )
( )
n
n
t
a
t
a
e sen t
x x
e sen t


 

 



  

 
 
1
1
1
( )
1
( )
ln(
( ( ) )
n
n
t
a
t
a
e sen t
e sen t

 
 

  

 

 
 
 
 
1
1 1
1
( )
( )
ln( ) ln
n
n
n
t
t t
nt
e
e
e

 
 
  

  
 
   (49) 
 
Mas, 
 
22 / 2 / (1 )a n        (50) 
 
Substituindo (50) em (49); 
 
2 22 / (1 ) 2 / (1 )n n            (51) 
 
Da equação (51) determina-se  a partir de  que é obtido da vibração livre amortecida de um 
sistema de 1 GDL. Com  , m e ωa (obtida através de τ), tem-se: 
 
2/ 1n a    (52) 
e, 
2c nc c m    (53) 
 
Substituindo (52) em (53); 
 
22 / 1ac m    (54) 
 
E com (54) obtém o coeficiente de amortecimento do sistema. 
 
- Movimento Superamortecido ou Aperiódico ( >1). 
 Se  >1, tem-se de (33); 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 23 
22 ( ( 1)( ( 1)
( )
tn
ntx t Ae Be
         
  
 (55) 
Em (55) tem-se duas raízes reais. Das condições iniciais determina-se as constantes A e B e assim a 
solução é completada. A Figura 6 mostra a vibração livre de um superamortecido de 1 GDL. 
 
 
 
Figura 6 – Vibração Livre de um Sistema Superamortecido de 1 GDL. 
 
- Movimento Criticamente Amortecido ( =1). 
 Se  =1, tem-se de (33); 
 
( ) ( ) n n
t t
x t A B e Ce
  
   (56) 
 
A equação (56) não tem o número de constantes requerido para satisfazer as duas condições 
iniciais; então sua solução é da forma: 
 
( ) ( ) n
t
x t A Bt e

  (57) 
 
Considerando como condições iniciais: 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 24 
0 00 (0) (0)t x x e x x    (58) 
 
Substituindo a primeira condição inicial de (58) em (57), derivando (57) em relação ao tempo e 
substituindo a segunda condição inicial de (58) nesse resultado, obtém-se: 
 
0 0 0( ) [( ) )
nt
nx t x x t x e
    (59) 
 
 
A Figura 7 mostra a vibração livre de um sistema criticamente amortecido de 1 GDL. 
 
 
 
Figura 7 – Vibração Livre de um Sistema criticamente amortecido de 1 GDL. 
 
Vibração Forçada de Sistemas amortecimentos de Um Grau de Liberdade (1 GDL). 
A Figura 8 mostra o modelo de um sistema de 1 GDL amortecido, submetido a ação de uma 
força externa cíclica. 
 
Teoria de Controle – JoséA. Riul 
 25 
 
 
Figura 8 - Modelo de um sistema de 1 GDL amortecido, submetido a ação de uma força externa 
cíclica. 
 
Fazendo o equilíbrio dinâmico do modelo do sistema, conforme o 
DCL da Figura 8, tem-se: 
 
0
: 0
I
m a I
F F
x F F F F
  
    

 (60) 
 
De (60); 
 
( ) ( ) ( ) 0mx t cx t kx t F      
 
0( ) ( ) ( ) ( )mx t cx t kx t F sen t   
 (61) 
onde: 
0F - amplitude da força de excitação (N); 
ω – freqüência da força de excitação (rad/s). 
 
A equação (61) admite como: 
 
( ) ( ) ( )h px t x t x t  (62) 
 
onde: 
 
( )hx t - Solução homogênea da equação (62); 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 26 
 
( )px t - Solução permanente da equação (62). 
Da análise de vibração livre amortecida (equação 43) tem-se: 
 
( ) ( )n
t
h ax t Ce sen t
    (63) 
 
Como a vibração forçada de um sistema ocorre na mesma freqüência da força externa (excitação), 
admite-se: 
 
1( ) ( )px t Xsen t   (64) 
 
onde: 
X – amplitude da vibração forçada (m); 
ω – freqüência da força de excitação (rad/s); 
1 - ângulo de frase entre a vibração forçada e a força de excitação. 
Derivando (64) duas vezes em ralação ao tempo; 
 
1( ) cos( )px t X t    (65) 
 
 2 1( ) ( )px t Xsen t     (66) 
 
Substituindo (64), (65) e (66) em 
 
 (61); 
 
2
1 1 1 0( ) cos( ) ( ) ( )m Xsen t c X t kXsen t F sen t               (67) 
Fazendo: 
 
1 10 / 2t e t        em (67); 
 
 0 1( )c X F sen  (68) 
 
2
0 1( ) ( / 2 )k m X F sen      
Teoria de Controle – José A. Riul 
 27 
 
 2 0 1( ) cos( )k m X F   (69) 
 
Da divisão: (68) / (69); 
 
1 2
1 ( /( ))tg c k m  
  (70) 
 
Elevando ao quadrado as equações (68) e (69) e somando-as; 
 
2 2 2 2
0( ) (( ) ) ( )c X k m X F     
 
 
 
2 2 2 2 2
0[( ) ( ) ]( ) ( )k m c X F     
 
 
2 2 2
0 / ( ) ( )X F k m c    (71) 
 
Dividindo o numerador e o denominador de (70) e (71) por k; 
 
1 2
1 (( / ) /(1 ( / ))tg c k m k  
  (72) 
 
2
2 2
0( / ) / (1 ( )) ( )
m c
X F k
k k
 
   
 (73) 
Mas, 
 
/n k m  (74) 
 
2c nc mc
k k k
    
   
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 28 
2
2 2 2
/
n n
n nk m
    
 
  (75) 
 
2 2
2( )
/ n
m
k k m
  

  (76) 
 
Substituindo (75) e (76) em (72) e (73); 
 
1 2
1 (2 ( / ) /(1 ( / ) ))ntg     
  
 
 (77) 
 
2 2 2
0( / ) / [1 ( ) ] (2 )
n n
X F k
 

 
   
 
 (78) 
Substituindo (78) em (64); 
 
0 1
2 2 2
( )
( )
[1 ( ) ] (2 )
p
n n
F sen t
x t
k
 
 

 


 
 
 (79) 
 
Substituindo (63) e (79) em (62); 
0 1
2 2 2
( )
( ) ( )
[1 ( ) ] (2 )
nt
a
n n
F sen t
x t Ce sen t
k
   
 

 
 
  
 
 (80) 
 
A Figura 9 mostra a vibração forçada do sistema de 1 GDL amortecido (Figura 8). Observa-se que 
inicialmente a resposta depende da solução da equação homogênea e da particular ou permanente 
ou estacionária, e que após 1,75 segundos a solução da equação homogênea vai para zero, 
caracterizando o regime transitório; após esse tempo resta a solução da equação permanente que 
caracteriza o regime permanente. Pode-se observar ainda que o sistema vibra nessa fase com 
freqüência ω igual a da força de excitação, através do período da vibração permanente. 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 29 
 
 
 
Figura 9 – Vibração Forçada 
De (77) e de (78) alterada para (78.a), gera-se a Figura 10. 
 
 
2 2 2
0
1/ [1 ( ) ] (2 )
n n
kX
F
 

 
   
 (78.a) 
 
Figura 10 – Módulo e ângulo de fase da vibração forçada 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 30 
 
Desbalanceamento Rotativo (Sistema Auto-Excitado) 
 
A Figura 11 mostra o modelo de um sistema rotativo de 1 GDL amortecido e desbalanceado. 
 
 
Figura 11- Desbalanceamento Rotativo 
 
Na Figura 11, y é o deslocamento da massa (M-m) que não gira, de sua posição de equilíbrio 
estático e o deslocamento da massa de desbalanceamento m é dado por: 
 
( )Ay y esen y esen t     (81) 
 
Do DCL da Figura 11, tem-se: 
 
0
: 0
I
m a I
F F
y F F F
 
   

 (82) 
 
O peso W do corpo não foi levado em consideração dado que o mesmo se equilibra estaticamente 
com a força da mola. 
De (82); 
 
A-ky(t) -cy(t)-(M-m)y(t)-my (t) 0  (83) 
 
Derivando (81) e substituindo em (83); 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 31 
2-ky(t) -cy(t)-(M-m)y(t)-m(y(t)-e ( )) 0 sen t    
 
2
0My(t) cy(t) ky(t) me ( ) My(t) cy(t) ky(t) ( ) sen t F sen t         
(84) 
onde: 
 20 meF  (85) 
 
Observa-se que (84) é idêntica a (61), logo admite como solução: 
 
( ) ( ) ( )h py t y t y t  (86) 
 
Da análise de vibração livre amortecida (equação 43) tem-se: 
 
( )
( ) ( )n
t
h ay t Ce sen t
    (87) 
 
Da análise de vibração forçada (equação 64) tem-se: 
 
1( ) ( )py t Ysen t   (88) 
 
e, (equações (77) e (78)); 
 
1 2
1 (2 ( / ) /(1 ( / ) ))ntg     
  (89) 
 
2 2 2
0( / ) / [1 ( ) ] (2 )
n n
Y F k
 

 
   
 
 (90) 
Substituindo (85) em (90); 
 
2 2
2 2 2 2 2
( / )
[1 ( / ) ] (2 / )
n n
n n
YMYk MY
me me me
  
     
  
 
 (91) 
 
De (87) e (88) resulta a solução total; 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 32 
 
2
( )
2 2 2
( / )
( ) ( )
[1 ( / ) ] (2 / )
n t n
a
n n
me
y t Ce sen t
M
   
   

  
 
 (92) 
 
A curva de vibração gerada a partir de (92) é idêntica a da Figura 9. A Figura 12 mostra o módulo e 
ângulo de fase da vibração forçada gerada pela massa excêntrica, usando as equações (89) e (91). 
 
 
Figura 12 – Vibração forçada com desbalanceamento rotativo 
Movimento de Suporte de Sistema de 1 GDL. 
 
 
 A Figura 13 mostra o modelo de um sistema de 1 GDL amortecido, com movimento do suporte 3. 
 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 33 
Figura 13 - Movimento do suporte 
 
 O peso W do corpo 2 é equilibrado estaticamente com a força da mola. Do DCL da Figura 13, 
tem-se: 
0
: 0
I
m a I
F F
y F F F
 
    

 (93) 
 
-k[x(t)-y(t)] -c[x(t)-y(t)]-Mx(t) 0 Mx(t) cx(t) kx(t)cy(t) ky(t)       (94) 
Considerando: 
 
i t( ) ey t Y  (95) 
 
i t( ) Yey t i  (96) 
 
E, substituindo (95) e (96) em (94); 
 
i tMx(t) cx(t) kx(t) ( i c)Ye k     
 (97) 
Observa-se que (97) é uma equação diferencial do movimento de 2
a
 ordem, não homogênea, logo 
admite como solução: 
 
( ) ( ) ( )h px t x t x t  (98) 
 
Da análise de vibração livre amortecida (equação 43) tem-se: 
 
( )
( ) ( )n
t
h ax t Ce sen t
    (99) 
 
Admitindo como solução permanente de (97); 
 
1 1( )( )
i t i i t i t
px t Xe Xe e Xe
        
 (100) 
Derivando (100); 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 34 
( ) i tpx t i Xe
 (101) 
 
2 2 2( ) i t i tpx t i Xe Xe
     (102) 
 
Substituindo (100), (101) e (102) em (97); 
 
2 i t i t[(k-M ) c]Xe ( i c)Ye i k      
 (103) 
De (103); 
 
2
X ( i c)
 
Y [(k-M ) c]
k
i

 



 (104) 
 
A equação (104) é composta por uma função complexa no numerador e outra no denominador, e 
seu módulo é dado por: 
 
2
( i c)X
Y [(k-M ) c]
 
k
i

 

 
 
2 2
2 2 2
( )X
Y (k-M ) ( )
k c
c

 



 (105) 
 
Dividindo o numerador e o denominador de (105) por k; 
 
2
2 2 2
1 ( / )X
Y [1-( / ) ] ( / )n
c k
c k

  



 
 (106) 
Substituindo (75) em (106); 
 
2
2 2 2
1 (2 / )X
Y [1-( / ) ] (2 / )
n
n n
 
   



 
 
 (107) 
E, 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 35 
2
2 2 2
1 (2 / )
X
[1-( / ) ] (2 / )
n
n n
Y
 
   



 
 (108) 
De (100); 
 
1iX Xe

 (109) 
 
Substituindo (109) em (107) e (108); 
 
2
2 2 2
1 (2 / )X
Y [1-( / ) ] (2 / )
n
n n
 
   



 (110) 
 
2
2 2 2
1 (2 / )
X
[1-( / ) ] (2 / )
n
n n
Y
 
   



 
 (111) 
Usando (104); 
 
1
2
X ( i c)
 
Y [(k-M ) c]
i
Xe k
Y i
 
 


  

 
 
 
1
1 1 2
( i c)
cos
[(k-M ) c]
i k
e isen
i
  
 
 
   

 
 
2
1 1 2 2
( i c)[(k-M ) c]
cos
[(k-M ) c][(k-M ) c]
k i
isen
i i
  
 
   
 
  
 
 
 
2
1 1 2 2 2
( i c)[(k-M ) c]
cos
(k-M ) ( c)
k i
isen
  
 
 
 
  

 
 
 
2 2
1cos (k-M ) ( c)k     
 
2 2 2
1cos -Mk ( c)k     
Teoria de Controle – José A. Riul 
 36 
 
2 2 2
1cos [1-( / ) ] ( c)nk     
 (112) 
 
2
1 ( c)(k-M ) cksen       
 
3
1 Mcsen  (113) 
 
De (112) e (113); 
 
3
1
1 2 2 2
( )
[1-( / ) ] ( c)n
Mc
tg
k


  


 
 (114) 
Dividindo numerador e denominador de (114) por k
2
; 
 
3 2
1
1 2 2
/
( )
[1-( / ) ] ( c/k)n
Mc k
tg


  
 

 
 
3
1
1 2 2
2 ( / )
( )
[1-( / ) ] (2 / )
n
n n
tg
  

   


 
 (115) 
Substituindo (111) em (100); 
 
1
2
( )
2 2 2
1 (2 / )
( )
[1-( / ) ] (2 / )
n i t
p
n n
x t Y e
  
   



 (116) 
 
Substituindo (99) e (116) em (98); 
 
1
2
( ) ( )
2 2 2
1 (2 / )
( ) ( )
[1-( / ) ] (2 / )
n t n i t
a
n n
x t Ce sen t Y e
    
   
 
  

 
 (117) 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 37 
A curva de vibração gerada a partir de (117) é idêntica a da Figura 9. A Figura 14 mostra o módulo 
e ângulo de fase da vibração forçada gerada pelo movimento do suporte, usando as equações (110) 
e (115). 
 
 
Figura 14 – Módulo e ângulo de fase da vibração forçada gerada pelo movimento de suporte. 
 
 
- Molas em série: Considerando o eixo mostrado na Figura 17, que tem três seções transversais 
distintas, seu coeficiente de rigidez equivalente é dado pela equação (134). 
 
 
 
Figura 17 -Rigidez equivalente em série 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 38 
1 2 3
1 1 1 1
eqk k k k
   (135) 
 
Em (135) cada ki é determinado em função do módulo de elasticidade do material, da seção 
transversal do corpo, do comprimento. Para um eixo representado por n molas tem-se de (135). 
 
1 2
1 1 1 1
..........
eq nk k k k
    (136) 
 
- Molas em paralelo: Considerando o eixo mostrado na Figura 17.a, que foi confeccionado por dois 
materiais de módulos de elasticidade diferentes, seu coeficiente de rigidez equivalente é dado pela 
equação (137). 
 
1 2eqk k k  (137) 
 
 
Figura 17.a -Rigidez equivalente em paralelo 
 
No caso de n molas em paralelo tem-se de (137): 
 
1 2 .........eq nk k k k    (138) 
 
- Rigidez de vigas – Determinar o coeficiente de rigidez da viga, mostrada na Figura 17.b, 
engastada na extremidade esquerda e livre na direita onde está aplicada a carga P. Com a aplicação 
de P, a viga sofre uma deflexão estática. 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 39 
 
 
Figura 17.b – Viga engastada 
 
Do equilíbrio da viga tem-se: 
 
 estP k (139) 
A deflexão estática é dada por (140). 
 
3
3
est
PL
EI
  (140) 
 
Substituindo (140) em (139); 
 
3
3EI
k
L
 (141) 
 
Exemplos 
 
Exemplo 1 - Determine a equação diferencial do movimento de um pendulo simples, a freqüência 
natural, o período de vibração e a solução da EDM, sabendo que o mesmo é liberado da posição 
angular de 0,2 rad com velocidade nula. A Figura 18 mostra um pendulo simples e seu DCL. 
Analisando as forças na direção tangencial, tem-se: 
 
0IF F   
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 40 
: 0 0 0It Wsen F Wsen mL mL Wsen              
 
 0
g
sen
L
   (1.1) 
 
 
 
Figura 18 - Pendulo simples 
 
A equação (1.1) é uma EDM de 2
a
 ordem, de coeficientes constantes, homogênea e não linear. 
Linearizando (1.1); ou seja, considerando pequenos deslocamentos angulares, tem-se: 
 
sen  (1.2) 
 
Substituindo (1.2) em (1.1);0
g
L
   (1.3) 
E, 
2
2n
n
g L
e
L g

   

    
 (1.4) 
 
A EDM (1.3) é de 2
a
 ordem, de coeficientes constantes, homogênea e linear, e sua solução é 
semelhante a da equação (5) e dada pela equação (20), que adaptada para movimento de rotação 
assume a forma (1.5). 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 41 
 
2 2
0 0( ) ( ( / ) ) ( )n nt sen t        (1.5) 
 
As condições iniciais são: 
 
0 00.2 0rd e   (1.6) 
Substituindo (1.6) em (1.5); 
 
( ) 0.2 ( )nt sen t    (1.7) 
 
De (17); 
 
1 10
0
0.2
( ) ( ) / 2
0
n ntg tg rd
  
 

    (1.8) 
 
Substituindo (1.4) e (1.8) em (1.7); 
 
( ) 0.2 ( )
2
g
t sen t
L

   (1.9) 
 
Exemplo 2 - Determine a equação diferencial do movimento de um pendulo composto, a freqüência 
natural, o período de vibração e a solução da EDM, sabendo que o mesmo é liberado da posição 
angular de 0,2 rad com velocidade nula. A Figura 19 mostra um pendulo composto e seu DCL. 
Calculando o momento das forças em relação ao ponto O, tem-se: 
 
0O IM M   
 
. . 0tI IWsen r F r M     
 
. . 0Wsen r mr r I       
 
2( ) 0I mr Wrsen     
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 42 
2
0
( )
Wr
sen
I mr
  

 (2.1) 
 
Figura 19 - Pendulo composto 
 
A equação (2.1) é uma EDM de 2
a
 ordem, de coeficientes constantes, homogênea e não linear. 
Linearizando (2.1); ou seja, considerando pequenos deslocamentos angulares, tem-se: 
 
sen  (2.2) 
 
Substituindo (2.2) em (2.1); 
 
 
2
0
( )
Wr
I mr
  

 (2.3) 
 
E, 
 
2( )
n
Wr
I mr
 

 (2.4) 
 
22 ( )
2
n
I mr
Wr

 


  (2.5) 
 
A EDM (2.3) é de 2
a
 ordem, de coeficientes constantes, homogênea e linear, e sua solução é 
semelhante a da equação (5) e dada pela equação (20), que adaptada para movimento de rotação 
assume a forma (2.6). 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 43 
 
2 2
0 0( ) ( ( / ) ) ( )n nt sen t        (2.6) 
 
As condições iniciais são: 
 
0 00.2 0rd e   (2.7) 
Substituindo (2.7) em (2.6); 
 
( ) 0.2 ( )nt sen t    (2.8) 
 
De (17); 
 
1 10
0
0.2
( ) ( ) / 2
0
n ntg tg rd
  
 

    (2.9) 
 
Substituindo (2.4) e (2.9) em (2.8); 
 
2
( ) 0.2 ( )
( ) 2
Wr
t sen t
I mr

  

 
 (2.10) 
 De (2.5) pode-se determinar o momento de inércia do corpo, conhecendo-se seu peso, a 
posição do baricentro e medindo-se seu período de vibração. Esta é uma forma experimental para 
determinação de momento de inércia. 
 
Exemplo 3 – A barra homogênea da Figura 20, tem massa m e comprimento L. Determinar a 
equação diferencial do movimento da barra, sua freqüência natural e represente-a na forma de 
espaço de estado. 
Do DCL da barra mostrado na 
Figura 20, encontra-se a EDM. 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 44 
 
Figura 20 - Barra homogênea 
 
Calculando o momento das forças em relação a O; 
 
2
0O IM M  (3.1) 
 
cos ( / 2)cos cos 0m I aF a F L F L I       (3.2) 
 
Mas; 
 
1 2 3m I aF kx F mx F cx   (3.3) 
E, 
1 2 3/ 2 x asen x L sen x Lsen     (3.4) 
 
Para pequenos deslocamentos 
angulares; 
 
cos 1sen    (3.5) 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 45 
Substituindo (3.5) em (3.4); 
 
1 2 3/ 2 x a x L x L     (3.6) 
 
De (3.6); 
 
2 3( / 2) x L x L   (3.7) 
 
Tem-se ainda: 
 
cos / 2cos / 2 cosa a L L L L     (3.8) 
 
Substituindo (3.3) em (3.2); 
 
1 2 3cos ( / 2)cos cos 0kx a mx L cx L I       (3.9) 
 
Substituindo (3.6) e (3.7) e (3.8) em (3.9); 
 
2 2 2 21( / 2) 0
12
ka m L cL mL        
 
2 2 2 21( ( / 2) ) 0
12
mL m L cL ka       
 
2 2(3 / ) (3 / ) 0c m ka mL     
 (3.10) 
 
A freqüência natural da barra é: 
 
3
n
a k
L m
  (3.11) 
 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 46 
Exemplo 4 – Considere a força externa cíclica atuando na barra homogênea da Figura 20, conforme 
mostrado na Figura 21 e determine: a equação diferencial do movimento da barra, a solução 
permanente da EDM e represente-a na forma de espaço de estado. 
Do DCL da barra mostrado na 
Figura 21, e partindo da equação (3.2), incluindo o momento da força externa, tem-se: 
 
0cos ( / 2)cos cos ( ) cos 0m I aF a F L F L I F sen t L          
(4.1) 
 
Fazendo as substituições como no exemplo 3, tem-se de (4.1): 
 
2 2
0(3 / ) (3 / ) (3 / ) ( )c m ka mL F mL sen t      (4.2) 
 
 
 
Figura 21 - Barra homogênea submetida a carga cíclica 
A equação (4.2) admite como solução permanente: 
 
1( )sen t    (4.3) 
 
Derivando (4.3); 
 
1cos( )t      (4.4) 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 47 
2
1( )sen t       (4.5) 
 
 
Substituindo (4.3) à (4.5) em (4.2); 
 
 
2 2 2
1 1 1 0( ) (3 / ) cos( ) (3 / ) ( ) (3 / ) ( )sen t c m t ka mL sen t F mL sen t                   
 
2 2 2
1 1 0[(3 / ) ] ( ) (3 / ) cos( ) (3 / ) ( )ka mL sen t c m t F mL sen t             
 (4.6) 
Fazendo 1t  =0 e 1 / 2t    em (4.6); 
 
0 1(3 / ) (3 / ) ( )c m F mL sen   (4.7) 
 
2 2 2
0 1[(3 / ) ] (3 / )cos( )ka mL F mL    (4.8) 
 
Dividindo: (4.7) / (4.8); 
 
1 2 2 2 2
1 [3 /(3 )]tg cL ka mL  
  
 (4.9) 
Elevando ao quadrado (4.7) e (4.8) e somando, tem-se: 
 
0
2
2 2 2
2
3 /
3 3
( ) ( )
F mL
c ka
m mL


 
 
 (4.10) 
 
Substituindo (4.9) e (4.10) em (4.3) tem-se a solução permanente procurada. Um outro caminho 
para encontrar  é substituir o valor de 1 encontrado em (4.9) em (4.7) ou (4.8). 
 
 
 (4.12) 
 
 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 48 
3. Descrição de Sistemas: Modelos contínuos. 
 
Um sistema dinâmico contínuo pode ser representado através da: 
Função de Transferência – H(s); 
Resposta Impulsiva - h(t); 
Equações de Estados – x(t). 
 
A função de transferência(H(s)), para um sistema linear e invariante no tempo é dada por: 
 
( )
( )
( )
Y s
H s
U s
 (1) 
 
onde: Y(s) – transformada de Laplace da saída ; 
U(s) – transformada de Laplace da entrada. 
De (1); 
0
0
( ) ( )
( )
( ) ( )
m
j
j
j
n
i
i
i
b s
Y s B s
H s
U s A s
a s


  


(2) 
onde: 
 A(s) e B(s) - polinômios 
 n – ordem do sistema; 
 an = 1; 
 n m - sistema causal. 
Os elementos {ai, bj, n} são desconhecidos e devem ser obtidos analiticamente ou estimados. 
 
A resposta impulsiva continua, h(t), para um sistema linear e invariante no tempo, está 
relacionada por: 
0
( ) ( ) ( )
t
y t h t u d    (3) 
e, 
1( ) [ ( )]h t L H s (4) 
 
onde: 
t – tempo contínuo; 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 49 
L
-1
 – transformada de Laplace inversa. 
 
A representação na forma de Equações de Estados é da forma: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x t Ax t bu t
y t cx t
 

 (5) 
 
Isto, para o caso monovariável onde: 
x(t) – vetor de estados–(n x 1); 
u(t) – sinal de entrada; 
y(t) – sinal de saída; 
A – matriz dinâmica – (n x n); 
b – vetor de entrada–(n x 1); 
c – vetor de saída–(n x 1). 
 
DIAGRAMA DE BLOCOS 
 
Diagrama de blocos é usado para representar equações graficamente. 
 
- Diagrama de Blocos: usado para indicar graficamente uma relação. 
 
Y(s) = G(s) U(s) 1) 
 
 
 
 
Para o bloco mostrado, a saída Y(s) é igual a G(s) multiplicada por U(s). A entrada e a saída 
são definidas pelas direções das setas. 
 
 
Diagrama de blocos a malha aberta 
 
 
G(s) 
U(s) Y(s) 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 50 
 
Diagrama de blocos a malha aberta 
Do Diagrama de blocos a malha aberta acima tem-se: 
 
 Y(s) = G(s)U(s) 2) 
 
 
Diagrama de blocos a malha aberta 
 
Do Diagrama de blocos a malha aberta acima tem-se: 
 
 Y(s) = G3(s) G2(s)G1(s)U(s) 3) 
 
Ou, pode-se ter um diagrama equivalente como abaixo. 
 
Diagrama de blocos a malha aberta 
 
Diagrama de blocos de um sistema a malha fechada 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 51 
 
Diagrama de blocos a malha fechada 
 
Do Diagrama de blocos a malha fechada acima tem-se: 
 
Função de transferência de ação direta: 
 
 
( )
( )
( )
Y s
G s
E s
 4) FTAD 
 
 Função de transferência a malha aberta 
 
 
( )
( ) ( )
( )
B s
G s H s
E s
 5) FTMA 
 
 Função de transferência a malha fechada 
Do Diagrama de blocos a malha fechada tem-se; 
 
 ( ) ( ) ( )Y s G s E s 6) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E s R s B s R s H s Y s    7) 
 
 Substituindo 7) em 6) tem-se: 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 52 
 ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]Y s G s R s H s Y s   ( )(1 ( ) ( )) ( ) ( )Y s G s H s G s R s   
 
 
( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )
Y s G s
R s G s H s


 8) FTMF 
 
 A FTMF pode ser representada conforme diagrama abaixo. 
 
Diagrama de blocos equivalente 
 
 
3.1 – Transformada de Laplace 
 
Introdução: A Transformada de Laplace é um método usado para solução de equações diferenciais 
lineares. Com sua utilização funções senoidais, senoidais amortecidas e exponenciais são 
convertidas em funções algébricas de uma variável complexa s. Operações como diferenciação e 
integração são substituídas por operações em um plano complexo. Assim, uma equação diferencial 
linear pode ser transformada em uma equação algébrica em uma variável complexa s. Usando a 
Transformada Inversa de Laplace, retorna-se na variável inicial, por exemplo o tempo. 
Definição: A Transformada de Laplace da função f(t), é dada pela Eq. (1). 
 
 
0
( ) [ ( )] ( ) stF s L f t f t e dt

   (1) 
 
onde: 
f(t) – função de tempo em que f(t)=0 para t<0; 
s = a + ib – variável complexa; 
L – símbolo da transformada de Laplace. 
 
O processo inverso de determinação da função f(t) a partir de F(s) é chamado de transformada 
inversa de Laplace, dado por (2). 
Usando (1); 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 53 
 
0
( ) [ ( )] ( ) stF s L f t f t e dt

   
 
1 1( ) [ ( )] ( )
2
c i
st
c i
f t L F s F s e ds
i
 

 
   (2) 
onde: 
c – abscissa de convergência, é uma constante real. 
 
Exemplo 1 – Determinar a transformada de Laplace de uma função degrau de amplitude A. 
 
0
0 0
( ) ( ) [0 1]
st
st st e A AF s Ae dt A e dt A
s s s
  
       
  
 
 
Exemplo 2 – Determinar a transformada de Laplace da primeira derivada da função temporal f(t). 
 
1
0
( ) [ ( )] ( ( )) st
d d
F s L f t f t e dt
dt dt

   
 
Mas, resolvendo por partes a transformada de f(t), tem-se; 
 
0
0 0
( ) [ ( )] ( ) ( )( ) [ ( )]
st st
st e d eF s L f t f t e dt f t f t dt
s dt s
  
     
  
 
 
0
(0) 1 (0) 1
{ [ ( )] } { [ ( )]}st
f d f d
f t e dt L f t
s s dt s s dt

    
 
1( ) [ ( )] ( ) (0)
d
F s L f t sF s f
dt
   
 
Exemplo 3 – Determinar a transformada de Laplace da segunda derivada da função temporal de f(t). 
A solução é similar a do exemplo 2, e é da forma: 
 
2 2 2
2
2 22 2 2
0
( ) [ ( ( ))] [ ( ( ))] ( ) [ ( ( ))] ( ) (0) (0)st
d d d
F s L f t f t e dt F s L f t s F s sf f
dt dt dt

       
Teoria de Controle – José A. Riul 
 54 
 
 
As Tabelas 1 e mostram um conjunto de transformadas de Laplace e de propriedades de 
transformada de Laplace. 
Tabela 1 – Transformadas de Laplace 
 f(t) F(s) 
1 Impulso unitário ( )t =1 1 
2 Degrau unitário 1(t) 1/s 
3 t 1/s
2 
4 T
n-1
/(n-1)! n = 1, 2, 3,... 1/s
n 
5 e
-at 
1/(s+a) 
6 te
-at 
1/(s+a)
2 
7 ( ) sen t 
2 2s


 
8 cos( ) t 
2 2
s
s 
 
9 ( ) ate sen t 
2 2( )s a

 
 
10 cos( ) ate t 
2 2( )
s a
s a 

 
 
11 2
2
(( 1 ) )
1
ntn
ne sen t
  




 
2
2 22
n
n ns s

  
 
12 2
2
1
(( 1 ) )
1
nt
ne sen t
   


  

 
2 22 n n
s
s s  
 
13 2
2
2
1
1
1 (( 1 ) )
1
1
 tan ( )
nt
ne sen t
   






  



 
2
2 2( 2 )
n
n ns s s

  
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 55 
 
Tabela 2 – Propriedades das Transformadas de Laplace 
1 
£ ( ) ( ) (0)
d
f t sF s f
dt
 
  
 
 
2 2
2
2
£ ( ) ( ) (0) (0)
d
f t s F s sf f
dt
 
   
 
 
3 ( 1)
1
1( 1)
1
£ ( ) ( ) (0)
( ) ( )
n n k
n n k
n
k
kk
k
d
f t s F s s f
dt
onde
d
f t f t
dt





 
  
 


 
4 
0
( ) 1
£ ( ) ( )
t
F s
f t dt f t dt
s s 
    
     
5 
0
( )
£ ( )
t F s
f t dt
s
  
  
 
6 £ ( ) ( )ate f t F s a     
7 
£ ( ) ( 1) ( ) n=1, 2, 3.....
n
n n
n
d
t f t F s
ds
    
 
8 
£ ( ) ( ) 
t
f aF as
a
 
 
 
 
 
Exemplo 4) Determinar o modelo matemático usando as leis físicas, que representa a translação de 
um veículo na direção vertical (fig. 2) 
 
Figura 2 - Veículo 
 
Usando o principio de D`Alembert, conforme diagrama de corpo livre (DCL) da Fig. 2; 
 
 0IF F   
2
2
[ ( )] [ ( )] [ ( )] ( )
d d
mx t cx t kx t u t
dt dt
   e.1) 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 56 
Exemplo 4a – Determinar a transformada de Laplace da equação diferencial do movimento (EDM) 
dada abaixo. 
 
2
2
[ ( )] [ ( )] [ ( )] ( )
d d
mx t cx t kx t u t
dt dt
   
 
 Considerando: m, c, k constantes, e aplicando a soluçãodo exemplo 3, na EDM acima; 
 
2
2
[ ( )] [ ( )] [ ( )] ( )
d d
m x t c x t k x t u t
dt dt
    
 
2[ ( ) (0) (0)] [ ( ) (0)] ( )] ( )m s X s sx x c sX s x kX s U s       
 
2[ ] ( ) [ ] (0) (0) ( )ms cs k X s ms c x mx U s       
 
2 2
[ ] (0) (0) 1
( ) ( )
[ ] [ ]
ms c x mx
X s U s
ms cs k ms cs k
 
 
   
 
 
 
Aplicando a transforma inversa de Laplace no resultado anterior, tem-se x(t) que é a solução da 
EDM no tempo. 
 
Exemplo 5 – Determinar a Função de Transferência (FT) do sistema representado pela EDM do 
exemplo 4. 
 A FT de um sistema é dada pela relação entre a saída do sistema no domínio s, X(s) e a entrada no 
domínio s, U(s), considerando nulas as condições iniciais. Tem-se a partir da solução do exemplo 4; 
 
2
2
( ) 1
[ ] ( ) ( ) ( )
( )
X s
ms cs k X s U s G s
U s ms cs k
     
 
 
 
O denominador de G(s) igualado a zero é a equação característica do sistema, fornece os pólos ou 
os autovalores de cada sistema, que indicam as características de cada sistema. 
O Lugar das Raízes de um sistema, mostra os seus pólos e zeros. 
 
Exemplo 5a – Determinar os pólos do sistema massa-mola-amortecedor de 1gdl e mostra-los no 
plano complexo. 
 
O denominador de G(s) do sistema massa-mola-amortecedor de 1gdl, igualado a zero, é a equação 
característica do sistema, conforme d1). Suas raízes são os pólos do sistema. 
 
 2( ) 0ms cs k   (d1) 
 
Resolvendo (d1); 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 57 
2
2
1,2 1,2
4
( )
2 2 2 2
c c km c c k
p p
m m m m m

        (d2) 
 
 Amortecimento crítico – O coeficiente de amortecimento crítico (cc) é obtido, tornando nulo o 
radical de (d2). Tem-se: 
 
2 2 2( ) 0 ( ) =2 
2 2
c c
n c n
c ck k
c m
m m m m
       (d3) 
 
Fator de Amortecimento ( ) – O fator de amortecimento  indica o grau de amortecimento de um 
sistema e é dado pela relação entre c e cc, conforme equação (d4): 
 
 
c
c
c
  (d4) 
 
Substituindo (d3) em (d4); 
 
2
2
n n
c
c m
m
     (d5) 
 
e sabe-se que: 
 
 2n
k
m
 (d6) 
 
Substituindo d5) e d6) em d2); 
 
2 2 2 2
1,2 ( ) ( ) ( ) ( 1)
2 2
n n n n
c c k
p
m m m
                
 (d7)
 
 
Observa-se de (d7) quatro tipos de pólos dependendo do valor de  . 
 
Se  >1, então cc c , tem-se de (d7) dois pólos reais distintos; nesse caso o sistema é 
superamortecido e o movimento é aperiódico. 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 58 
 21,2 ( 1) np      
 (d8) 
 
Se 1  então cc c , tem-se de (d7) dois pólos reais idênticos; nesse caso o sistema é criticamente 
amortecido e o movimento é aperiódico. 
 
 1,2 n np     
 (d9) 
 
Se  <1, então cc c , tem-se de (d7) dois pólos complexos conjugados; nesse caso o sistema é 
subamortecido e o movimento é oscilatório. 
 
 
2 2 2 2
1,2 ( 1) (1 ) (1 )n n n n n n n ap i i i                         
 
 (d10) 
onde: a é a freqüência circular amortecida, 
 
 
2(1 )a n    
 
Se  =0, então c = 0, tem-se de (d7) dois pólos complexos puros conjugados; nesse caso o sistema é 
sem amortecimento e o movimento é oscilatório. 
 
 
2
1,2 1 n n np i i        
 (d11) 
Construindo um diagrama no plano complexo (mostrado abaixo) com os quatro tipos de pólos 
mostrados acima é possível definir as condições de estabilidade do sistema.
 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 59 
 
Observa-se do diagrama que: 
 
 cos( ) n
n

 

  (d12) 
 
 
Exemplo 5b – Considere o sistema massa-mola-amortecedor de 1gdl, analisado anteriormente, 
determine seus pólos e mostre-os no plano complexo considerando a) m = 1 kg, c < cc = 2Ns/m 
( <1) e k = 100 N/m; b) m = 1 kg, c = 0 ( =0) e k = 100 N/m; c) m = 1 kg, c = cc = 2m n = 
20Ns/m ( =1) e k = 100 N/m e d) m = 1 kg, c > cc = 50Ns/m ( >1) e k = 100 N/m. 
 
 No caso a) a FT do sistema é dada por: 
2 2
1 1
( )
( ) ( 2 100)
G s
ms cs k s s
 
    e1) 
 
 
2
1,2
1,2 1 2
2 4 400
2 100 0 1 1 100 1 99
2
1 99 1 99 1 99 e 1 99 . 
s s p
p i p i p i
  
             
             
 e2) 
 
 
No caso b) a FT do sistema é dada por: 
2 2
1 1
( )
( ) ( 100)
G s
ms cs k s
 
   e3)
 
 
 
 Então tem-se: 
2
1,2 1 2100 0 100 100 10 10 e 10. s p i i i p i p i               e4) 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 60 
 
 
No caso c), a FT do sistema é dada por: 
2 2
1 1
( )
( ) ( 20 100)
G s
ms cs k s s
 
    e5) 
 
 
Então tem-se: 
2
2
1,2 1,2
20 20 400
20 100 0 10 0 10. 
2
s s p p
  
           e6) 
 
 
No caso d) a FT do sistema é dada por: 
2 2
1 1
( )
( ) ( 50 100)
G s
ms cs k s s
 
    e7) 
 
 
Então tem-se: 
2
2
1,2 1 2
50 50 400
50 100 0 2,087 e 47,9129. 
2
s s p p p
  
          
 e8) 
 
A tabela abaixo mostra os pólos nas quatro situações. 
 
 c P1 P2 
0,1 2 -1+ i 99 -1 - i 99 
0 0 -10i 10i 
1 20 -10 -10 
2,5 50 -2,087 -47,9129 
 
 
A representação dos pólos no plano complexo é mostrada abaixo. 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 61 
Exemplo 5c – Determinar os pólos do modelo anterior usando o Matlab. 
% Riul 
 
clear all 
% p - Equação Característica 
% s - Polos do sistema 
 
p1 = [1 0 100] 
s1 = roots(p1) 
 
p2 = [1 2 100] 
s2 = roots(p2) 
 
p3 = [1 20 100] 
s3 = roots(p3) 
 
p4 = [1 50 100] 
s4 = roots(p4) 
 
Resultado: 
 
p1 = 1 0 100 
 
s1 = 
 
 0 +10.0000i 
 0 -10.0000i 
 
p2 = 1 2 100 
 
s2 = 
 
 -1.0000 + 9.9499i 
 -1.0000 - 9.9499i 
 
p3 = 1 20 100 
 
s3 = 
 
 -10 
 -10 
 
p4 = 1 50 100 
 
s4 = 
 
 -47.9129 
 -2.0871 
 
 
Teoria de Controle – José A. Riul 
 62 
Exemplo 5d – Determinar a Resposta do sistema representado pela EDM do exemplo 4, usando a 
FT acima e u(t) = 2sen(2t), através do simulink.