sel383-05_analise_Fourier_II_6

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marcelo bj 1análise de Fourier II
Análise de Fourier para
Sinais e Sistemas
segunda parte:
transformada de Fourier
marcelo bj 2análise de Fourier II
Introdução: da série à transformada de Fourier
( )
02
0
0
0 ≠τ= k,kw
kwsenTak
-τ τ
-T0/2 T0/2
To → ∞ →
T0 ↑ -> w0 ↓
marcelo bj 3análise de Fourier II
( ) ( )∫∞∞− π= dfefXtx ftj2( ) ( )∫∞∞− π−= dtetxfX ftj2
equação de análise equação de síntese
direta inversa
A transformada de Fourier
( ) ( )∫∞∞−π= dwejwXtx jwt21( ) ( )∫∞∞− −= dtetxjwX jwt
equação de análise equação de síntese
direta inversa
¾ utilizando a frequencia em rad/s:
¾ Par de transformada de Fourier para um sinal de energia finita:
marcelo bj 4análise de Fourier II
( ) ( ) ( )jwjejwXjwX φ= espectro de x(t)
( )jwXgráfico de espectro de amplitude de x(t)
( )jwφgráfico de espectro de fase
™ Sinal com energia finita, ou,
¾ Para que a transformada de Fourier exista, o sinal x(t) deve 
satisfazer as seguintes condições:
¾ Número finito de descontinuidades,
¾ Número finito de máximos e mínimos,
¾ Absolutamente integrável,
( ) ∞<∫∞∞− dt|tx|
Condições de existência (Dirichlet):
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¾ p(t) = ret(t/τ) ↔ P(f) = τsinc(f τ)
exercício 1: transformada de Fourier do pulso retangular com largura τ
τ
-2/τ -2/τ -1/τ 0 1/τ 2/τ 3/τ f
P(f) = τsinc(f τ)
p(t) = ret(t/τ)
τ/2-τ/2 t
marcelo bj 6análise de Fourier II
exercício 2: transformada de Fourier de um sinal exponencial.
( ) ( ) 0>= − atuetx at
( )
jwa
wX +=
1
espectro de amplitude
|X(w)|
espectro de fase
φ(w)
π/2
0
- π/2
a/1
21 a/
-a a
w
w
π/4
-a a
transformada
( )
22
1
wa
wX
+
= ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=φ
a
warctanw
marcelo bj 7análise de Fourier II
Transformada de Fourier para sinais periódicos
™ Um sinal periódico não é absolutamente integrável.
¾ portanto, a princípio ele não possui, transformada de Fourier.
™ Porém, a série e a transformada estão relacionadas.
™ Podemos obter a transformada diretamente da série utilizando os 
resultados para a função impulso.
¾ Seja:
( ) ( )02 wwwX −πδ= ( ) tjwetx 0=
¾ Seja X(w) uma combinação linear de impulsos, isto é,
( ) ( )∑∞
−∞=
−δπ=
k
k kwwawX 02 ( ) ∑∞
−∞=
=
k
tjkw
keatx 0
marcelo bj 8análise de Fourier II
Transformada de Fourier para sinais periódicos:
( ) ( )∑∞
−∞=
−δπ=
k
k kwwawX 02
( ) ( )∑∞
−∞=
−δ=
k
k kffafX 0
exercícios
( ) ∑∞
−∞=
=
k
tjkw
keatx 0
¾ A transformada é uma série de impulsos localizados nas 
frequências dos harmônicos, com coeficientes iguais ao da série 
exponencial de Fourier.
marcelo bj 9análise de Fourier II
Propriedades da transformada de Fourier
1. Linearidade: considere dois sinais x1(t) e x2(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )wbXwaXwXtbxtaxtx TF 213213 +=⎯⎯→←+=
2. Deslocamento no tempo
( ) ( )wXetx jwTF τ−⎯⎯→←τ−
( ) ( )wXtx TF⎯⎯→←
™ Seja:
O módulo (espectro de amplitude) permanece o mesmo.
(somente a fase é modificada)
marcelo bj 10análise de Fourier II
3. Se x( t ) é real, então:
O módulo é uma função par e a fase é ímpar
( ) ( )wXwX *=−
4. Integração e diferenciação
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )wXwX
jw
dx
wXjwtx
dt
d
TFt
nTF
n
n
δπ+⎯⎯→←ττ
⎯⎯→←
∫ ∞− 01
Estas propriedades são muito utilizadas em sistemas LIT.
Exemplo: função degrau unitário
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5. Compressão/Expansão
6. Dualidade
( ) ( ) ( ) ( )wxtXentãowXtxse −π↔↔ 2
Compressão no tempo ↔ expansão na frequência
( ) ( )αα⎯⎯→←α /wXtx TF
1
7. Teorema de Parseval
( ) ( ) ( )∫∫∫ ∞
∞−
∞
∞−
∞
∞− π
== dw|wX|df|fX|dt|tx| 222
2
1
Energia no tempo = energia na frequência
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8. Área sob x(t)
( ) ( )∫∞∞−= dttxX 0
9. Área sob X(w)
10. Convolução
( ) ( ) ( )wHwX)t(h*tx TF⎯⎯→←
11. Multiplicação
( ) ( ) ( ) ( )wW*wXtw.tx TF π⎯⎯→← 2
1
( ) ( )∫∞∞−π= dwwXx 210
→ exercícios
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12. Deslocamento na frequência ( teorema da modulação )
( ) ( )00 wwXe.tx TFtjw −⎯⎯→←
( ) ( ) ( )tfcostmtx 02π= ( ) ( )02
1 ffMfX ±=
¾ exercício:
Propriedade muito utilizada em telecomunicações
(deslocamento espectral)
M(f)
fW- W
X(f)
f0
ff0 + Wf0 - W- f00
1
1/2
0
marcelo bj 14análise de Fourier II
Diagrama de Bode
¾ Representação polar da transformada de Fourier
( ) ( ) ( )wXjewXwX ∠⋅=
( ) ( )( )wX
wY
wH =
( ) ( ) ( )wXwYwH ∠−∠=∠
¾ Módulo ou magnitude:
• informações sobre as amplitudes das exponenciais 
complexas
( ) ( ) ( ) ( ) ( )wHwXwY)t(h*txty TF =⎯⎯→←=
¾ para um sistema LIT:
ganho do sistema
fase do sistema
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¾ O módulo ou a magnitude é descrito em escala decibel [dB]:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) dBwXwYwHwH dB log20log20log20 −==
diagrama de bode → gráfico do ganho e da fase contra a frequência
¾Observe na equação acima que o gráfico em escala logarítmica 
(bode) é aditivo.
¾ A fase é descrita em radianos ou em graus.
¾ Os gráficos são feitos com eixo de frequência em escala 
logarítmica.
¾ É feita uma aproximação das curvas por linhas retas.
™ É uma representação gráfica muito utilizada para se observar a 
resposta em frequência H(w) de um sistema.
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¾ Considere uma função de transferência de primeira ordem tal que:
( )
01
1
p/jw
KwH +=
( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
2
0
2
0
12020
1
20
p/wlogKlog
p/w
KlogwH dB
¾ O módulo é dado por:
¾ Se jw = - p0 => H(w) vai para o infinito => p0 é um polo de H(w).
marcelo bj 17análise de Fourier II
™ O primeiro termo da equação é uma constante. Admitindo K = 1:
( ) dBKlogA 0120 ===
( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−== 2012020 p/wlogKlogjwHA dB
™ Para o segundo termo da equação acima, interessa-nos os valores de 
frequências baixas e altas em relação a w = p0.
( )[ ] dBAlogApw 01200 =⇒≅⇒<<
( )[ ] dBAlogApw 32200 −=⇒−≅⇒=
( )[ ] ⇒−≅⇒>> 00 20 p/wlogApw o ganho é linear naescala logarítmica
frequência de corte
marcelo bj 18análise de Fourier II
™ Na região em que w > = p0:
( )020 p/wlogA −≅ w1 w2
¾ w2 = 2w1 (oitava) 
( ) oitava/dBlogAAA 622012 ==−=Δ
¾ w2 = 10w1 (década) 
( ) década/dBlogAAA 20102012 ==−=Δ
-30
-20
0
-10
w1 w2
marcelo bj 19análise de Fourier II
exercício: circuito RC
C
R ( )
jwRC
wH += 1
1
( )
fRCj
fH π21
1
+=
( ) ( ) ( ) ( )fRCarctanfHfRCfH ππ 221
1
2
−=∠
+
=
-30
-20
-10
0
−π/2
0
−π/4
X(w) Y(w)
ganho fase
f f10-2 10-1 100 101 10-2 10-1 100 101
marcelo bj 20análise de Fourier II
Resposta em frequência de sistemas LIT
™ Vamos admitir um sistema LIT descrito por equação diferencial com 
coeficientes constantes tal que:
( ) ( )∑∑
==
=
M
k
k
k
k
N
k
k
k
k txdt
dbty
dt
da
00
¾ aplicando a transformada de Fourier em ambos os lados da 
equação acima tem-se que:
( ) ( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ℑ=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ℑ ∑∑
==
M
k
k
k
k
N
k
k
k
k txdt
dbty
dt
da
00
¾ pela propriedade da linearidade:
( ) ( )∑∑
== ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ℑ=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ℑ
M
k
k
k
k
N
k
k
k
k txdt
dbty
dt
da
00
marcelo bj 21análise de Fourier II
¾ aplicando a propriedade da diferenciação:
( ) ( ) ( ) ( )∑∑
==
=
M
k
k
k
N
k
k
k wXjwbwYjwa
00
¾ portanto a resposta em frequência do sistema será:
( ) ( )( )
( )
( )∑
∑
=
=== N
k
k
k
M
k
k
k
jwa
jwb
wX
wYwH
0
0
™ H(w) é uma função racional de w (ou jw)
¾ com polinômios no numerador e denominador.
¾ Os coeficientes dos polinômios são os da equação diferencial.
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exercícios