O que é homomorfismo de anéis?

Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis, e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, forem válidas as seguintes condições:

) (+)=()+()

) ()=()()

Para entender melhor essa definição, vamos analisar, em alguns exemplos, a existência ou não de homomorfismo de anel. Observe:

Seja f: A à B tal que f(a) = 0 Para a, b ∈A, temos: f (a + b) = f(a) + f(b) = 0 + 0 = 0 f (ab) = f(a) . f(b) = 0 . 0 = 0

Logo, f é um homomorfismo de anel (Esse homomorfismo é conhecido como homomorfismo nulo).

Seja f: Zà Z tal que f x) = -x Para x, y ∈Z, temos: f (x+y) = - (x + y) = (-x) + (-y) = f(x) + f(y) f (xy) = - (xy) - 7 - f(x) . f(y) = (-x) . (-y) = xy f (xy) ≠ f(x) . f(y) Logo, f não é um homomorfismo de anel