Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 16 m e uma base com raio de 4 m. A água está fluindo dentro do tanque a uma vazã...

Para determinar a rapidez com que o nível de água se elevará quando a água estiver com 5 m de profundidade, podemos utilizar a semelhança de triângulos entre o cone invertido e um cone reto. Sabemos que a altura total do cone invertido é de 16 m e a base tem um raio de 4 m. Quando a água atingir uma profundidade de 5 m, teremos um volume de água de V = π * r² * h, onde r é o raio da base do cone invertido e h é a altura da água. Podemos determinar o raio da água quando ela estiver a 5 m de profundidade utilizando a proporção entre as alturas dos cones: h1 / r1 = h2 / r2 Onde h1 é a altura total do cone invertido (16 m), r1 é o raio da base do cone invertido (4 m), h2 é a altura da água (5 m) e r2 é o raio da água. Substituindo os valores conhecidos na proporção, temos: 16 / 4 = 5 / r2 r2 = (4 * 5) / 16 r2 = 1,25 m Agora, podemos determinar a rapidez com que o nível de água se elevará utilizando a fórmula do volume do cone: V = (1/3) * π * r² * h Diferenciando a equação em relação ao tempo, temos: dV/dt = (1/3) * π * (2r * dr/dt) * h + (1/3) * π * r² * dh/dt Sabemos que dV/dt é a vazão de água, que é igual a 2 m³/min. Substituindo os valores conhecidos na equação, temos: 2 = (1/3) * π * (2 * 1,25 * dr/dt) * 5 + (1/3) * π * (1,25)² * dh/dt Simplificando a equação, temos: 2 = (25/6) * π * dr/dt + (25/12) * π * dh/dt Agora, podemos resolver a equação para determinar a taxa de variação do nível de água (dh/dt) quando a água estiver com 5 m de profundidade.