Q3. Suponhamos que um espaço V seja escrito como soma direta de dois subespaços W1 e W2. Mostre que, para todo E V, existem vetores únicos U1 E W1 ...

Para mostrar que, para todo E em V, existem vetores únicos U1 em W1 e U2 em W2 tais que E = U1 + U2, podemos usar a definição de soma direta de subespaços. Seja V um espaço vetorial que pode ser escrito como soma direta de dois subespaços W1 e W2. Isso significa que para todo vetor E em V, existem vetores U1 em W1 e U2 em W2 tais que E = U1 + U2. Agora, vamos mostrar que esses vetores U1 e U2 são únicos. Suponha que existam outros vetores V1 em W1 e V2 em W2 tais que E = V1 + V2. Queremos mostrar que U1 = V1 e U2 = V2. Como E = U1 + U2 e E = V1 + V2, temos que U1 + U2 = V1 + V2. Podemos reorganizar essa equação da seguinte forma: U1 - V1 = V2 - U2. Agora, observe que U1 - V1 está em W1 e V2 - U2 está em W2, pois W1 e W2 são subespaços de V. No entanto, a soma direta de W1 e W2 implica que a única maneira de um vetor estar em V é se ele for a soma de um vetor em W1 e um vetor em W2. Portanto, U1 - V1 = 0 e V2 - U2 = 0. Isso implica que U1 = V1 e U2 = V2, mostrando assim a unicidade dos vetores U1 e U2. Portanto, para todo E em V, existem vetores únicos U1 em W1 e U2 em W2 tais que E = U1 + U2.