Utilize a diagonalização de matrizes para encontrar matrizes B de ordem 2 tal que B^2 = A onde A =  2 1 −2 −1  .

Para diagonalizar a matriz A, precisamos encontrar seus autovalores e autovetores. Começamos encontrando os autovalores λ que satisfazem a equação det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade. det(A - λI) =  2-λ 1 -2 -1-λ  = (2-λ)(-1-λ) - 1(1)(-2) = λ² - λ - 3 = (λ - 2)(λ + 1) Portanto, os autovalores são λ1 = 2 e λ2 = -1. Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para λ1 = 2, temos: (A - λ1I)v1 = 0  2-2 1 -2 -1  v1 = 0  0 1 -2 -1  v1 = 0 v1 = t 1 2 1 , onde t é uma constante não nula. Para λ2 = -1, temos: (A - λ2I)v2 = 0  2+1 1 -2 -1+1  v2 = 0  3 1 -2 0  v2 = 0 v2 = t 2 -1 0 1 , onde t é uma constante não nula. Agora, podemos construir a matriz P cujas colunas são os autovetores normalizados: P =  1/√6 2/√6 2/√5 -1/√5 1/√30 -5/√30 -1/√5 2/√5  E a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal: D =  2 0 0 -1  Então, podemos escrever A como A = PDP^-1. Para encontrar B tal que B² = A, podemos usar a relação B = PDP^-1/2. Então, temos: B = PDP^-1/2 =  1/√6 2/√6 2/√5 -1/√5 1/√30 -5/√30 -1/√5 2/√5   √2 0 0 1/√-1   1/√6 2/√6 -2/√5 1/√5 -1/√30 5/√30 1/√5 -2/√5  Portanto, B =  1 2 -2 1 .