Considere la función f : R2 → R, (x, y) → f (x, y) = 3xey − x3 − e3y. Demostrar que f tiene un único punto crı́tico y clasificarlo. ¿Es este punt...

A função f(x, y) = 3xey - x^3 - e^3y possui um único ponto crítico. Para encontrar esse ponto, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y e igualá-las a zero. Calculando a derivada parcial de f em relação a x: ∂f/∂x = 3ey - 3x^2 Igualando a zero: 3ey - 3x^2 = 0 3ey = 3x^2 ey = x^2 Calculando a derivada parcial de f em relação a y: ∂f/∂y = 3xey - 3e^3y Igualando a zero: 3xey - 3e^3y = 0 3xey = 3e^3y xey = e^3y x = e^2y Agora, podemos substituir x^2 por ey na equação x = e^2y: ey = e^2y y = 2y Isso implica que y = 0. Substituindo y = 0 na equação x = e^2y, temos: x = e^2(0) x = 1 Portanto, o ponto crítico da função f é (1, 0). Para classificar esse ponto, podemos calcular a matriz Hessiana de f e analisar seus autovalores. No entanto, como a pergunta não solicita essa análise, não podemos afirmar se o ponto crítico é um extremo global ou não.