Considere la función f : R2 → R tal que f(x, y) = x2 + 4y2 + xy − 2x− y. (a) Explique por qué la función f(x, y) es convexa. (b) Muestre que el ...

(a) Para mostrar que a função f(x, y) é convexa, precisamos verificar se a matriz Hessiana de segunda ordem é semi-definida positiva. A matriz Hessiana é dada por: H = [[2, 1], [1, 8]] Para verificar se a matriz é semi-definida positiva, podemos verificar se todos os seus autovalores são não negativos. Calculando os autovalores da matriz H, temos: λ1 = (10 + √(100 - 32)) / 2 = 9.464 λ2 = (10 - √(100 - 32)) / 2 = 0.536 Como ambos os autovalores são não negativos, concluímos que a matriz Hessiana é semi-definida positiva. Portanto, a função f(x, y) é convexa. (b) Para encontrar o mínimo global da função f(x, y), podemos encontrar os pontos críticos da função e verificar qual deles corresponde ao mínimo global. Para isso, igualamos as derivadas parciais de f(x, y) a zero: ∂f/∂x = 2x + y - 2 = 0 ∂f/∂y = 8y + x - 1 = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos o ponto crítico (x*, y*) = (1, -1/8). Para verificar se esse ponto corresponde ao mínimo global, podemos calcular o valor de f(x*, y*): f(1, -1/8) = 1^2 + 4(-1/8)^2 + 1(-1/8) - 2(1) - (-1/8) = -1 Portanto, o mínimo global da função f(x, y) é -1.