Estudiar para qué valores de α los siguientes conjuntos de vectores de R3 y R4 respectivamente, son linealmente independentes. a) {(1, α, 2), (−1,...

Para determinar si los conjuntos de vectores son linealmente independientes, podemos utilizar el criterio de la matriz de coeficientes. a) Para el conjunto de vectores en R3: {(1, α, 2), (−1, α, 3), (2, 1, 1)}. Construimos la matriz de coeficientes A utilizando los vectores como columnas: A = | 1 -1 2 | | α α 1 | | 2 3 1 | Para que los vectores sean linealmente independientes, la única solución al sistema homogéneo Ax = 0 debe ser la solución trivial x = 0. Resolvemos el sistema Ax = 0 y encontramos que la solución es x = (0, 0, 0) para cualquier valor de α. Por lo tanto, el conjunto de vectores es linealmente independiente para cualquier valor de α. b) Para el conjunto de vectores en R4: {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1,−1, 0, α), (1, 0, 2, 1)}. Construimos la matriz de coeficientes A utilizando los vectores como columnas: A = | 1 1 1 1 | | 1 1 0 0 | | 1 -1 0 α | | 1 0 2 1 | Para que los vectores sean linealmente independientes, la única solución al sistema homogéneo Ax = 0 debe ser la solución trivial x = 0. Resolvemos el sistema Ax = 0 y encontramos que la solución es x = (0, 0, 0, 0) para cualquier valor de α. Por lo tanto, el conjunto de vectores es linealmente independiente para cualquier valor de α. En resumen, tanto el conjunto de vectores en R3 como en R4 son linealmente independientes para cualquier valor de α.