3. (10 pts.) Sea G un grupo finito y sean H y K subgrupos normales de G, tales que G /H ' K. Demostrar que si el orden de G es igual al orden de HK...

3. (10 pts.) Sea G un grupo finito y sean H y K subgrupos normales de G, tales que G /H ' K. Demostrar que si el orden de G es igual al orden de HK entonces G es producto directo de H y K. DEMOSTRACIÓN Como H y K son normales entonces HK = KH y aśı HK es un subgrupo de G del mismo cardinal que G. Por lo tanto G = HK. Solo falta probar que H ∩K = {1G}. Aplicando el Segundo Teorema del Homomorfismo tenemos que: HK /H ' K /K ∩H la hipótesis establece que G /H ' K, aśı K /K ∩H ' K, de donde se obtiene que K ∩H = {1G}