Encontrar un vector normal de cada una de las siguientes curvas en el punto dado: 346 √x2 − y2 = 1, (√2, 1). 347 arc sen √x2 + y2 = π6 , (14, √34...

Para encontrar um vetor normal de uma curva em um ponto dado, podemos usar o gradiente da função que define a curva. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função em um determinado ponto. Vamos calcular o vetor normal para cada uma das curvas nos pontos dados: 346 √x^2 − y^2 = 1, (√2, 1): Primeiro, vamos reescrever a equação na forma de função: √x^2 − y^2 = 1 x^2 - y^2 = 1 Agora, vamos calcular o gradiente da função: ∇f(x, y) = (2x, -2y) Substituindo o ponto (√2, 1) na fórmula do gradiente, temos: ∇f(√2, 1) = (2√2, -2) Portanto, o vetor normal da curva no ponto (√2, 1) é (2√2, -2). 347 arc sen √x^2 + y^2 = π/6 , (14, √34): Primeiro, vamos reescrever a equação na forma de função: arc sen √x^2 + y^2 = π/6 √x^2 + y^2 = sen(π/6) √x^2 + y^2 = 1/2 Agora, vamos calcular o gradiente da função: ∇f(x, y) = (2x, 2y) Substituindo o ponto (14, √34) na fórmula do gradiente, temos: ∇f(14, √34) = (28, 2√34) Portanto, o vetor normal da curva no ponto (14, √34) é (28, 2√34). 348 xexy = 2e, (2, 12): Primeiro, vamos calcular o gradiente da função: ∇f(x, y) = (exy + yexy, xexy) Substituindo o ponto (2, 12) na fórmula do gradiente, temos: ∇f(2, 12) = (24e^24, 2e^24) Portanto, o vetor normal da curva no ponto (2, 12) é (24e^24, 2e^24). 349 arctan(xey) = π/4 , (1, 0): Primeiro, vamos calcular o gradiente da função: ∇f(x, y) = (ey/(1 + (xey)^2), x/(1 + (xey)^2)) Substituindo o ponto (1, 0) na fórmula do gradiente, temos: ∇f(1, 0) = (0, 1) Portanto, o vetor normal da curva no ponto (1, 0) é (0, 1). Espero que isso ajude! Se você tiver mais dúvidas, é só perguntar.