492 Dada la función F (x) = x(x2 − 1), considera la función de tres variables f(t, x, y) = tF (x) + (1 − t)F (y). Encuentra los puntos cŕıticos ...

Para encontrar os pontos críticos da função f(t, x, y) = tF(x) + (1 - t)F(y) sob a restrição tx + (1 - t)y = a, onde a é um número fixo, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função f em relação a t, x e y: ∂f/∂t = F(x) - F(y) ∂f/∂x = tF'(x) ∂f/∂y = -(1 - t)F'(y) Agora, vamos calcular as derivadas parciais da restrição em relação a t, x e y: ∂(tx + (1 - t)y)/∂t = x - y ∂(tx + (1 - t)y)/∂x = t ∂(tx + (1 - t)y)/∂y = 1 - t Agora, vamos igualar as derivadas parciais de f e da restrição multiplicadas pelos multiplicadores de Lagrange λ1, λ2 e λ3, respectivamente: F(x) - F(y) = λ1(x - y) tF'(x) = λ2t -(1 - t)F'(y) = λ31 - t Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os pontos críticos.