509 Se considera la función f(x, y) = x2y2 − 3xy − 4. Se pide: (a) Obtener y clasificar los puntos cŕıticos de f . (b) Hallar los puntos cŕıtico...

(a) Para encontrar os pontos críticos da função f(x, y) = x^2y^2 - 3xy - 4, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero. Calculando a derivada parcial em relação a x: ∂f/∂x = 2xy^2 - 3y Calculando a derivada parcial em relação a y: ∂f/∂y = 2x^2y - 3x Igualando as derivadas parciais a zero, temos o seguinte sistema de equações: 2xy^2 - 3y = 0 2x^2y - 3x = 0 Resolvendo o sistema, encontramos os pontos críticos. (b) Para encontrar os pontos críticos da função f(x, y) = x^2y^2 - 3xy - 4 no conjunto M = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 = 1}, precisamos encontrar os valores de x e y que satisfazem as equações do sistema e também a restrição x^2 + y^2 = 1. (c) Para determinar um polinômio P(x, y) de grau menor ou igual a dois, de forma que lim (x,y)→(1,1) f(x, y) - P(x, y) (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0, precisamos encontrar os coeficientes do polinômio P(x, y) que satisfaçam essa condição.