8. Encuentra los puntos cŕıticos de la función f(x, y) = x3 + y3 + 9xy + 27 y decide si son máximos relativos, mı́nimos relativos o puntos-silla...

Para encontrar os pontos críticos da função f(x, y) = x^3 + y^3 + 9xy + 27, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero. Calculando a derivada parcial em relação a x: ∂f/∂x = 3x^2 + 9y Calculando a derivada parcial em relação a y: ∂f/∂y = 3y^2 + 9x Agora, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações: 3x^2 + 9y = 0 3y^2 + 9x = 0 Podemos simplificar as equações dividindo-as por 3: x^2 + 3y = 0 y^2 + 3x = 0 Agora, podemos resolver esse sistema de equações. Substituindo a primeira equação na segunda, temos: y^2 + 3(-3y) = 0 y^2 - 9y = 0 y(y - 9) = 0 Portanto, temos duas soluções para y: y = 0 e y = 9. Substituindo esses valores de y na primeira equação, encontramos os valores correspondentes de x: Para y = 0: x^2 + 3(0) = 0 x^2 = 0 x = 0 Para y = 9: x^2 + 3(9) = 0 x^2 + 27 = 0 x^2 = -27 (não há solução real) Portanto, o único ponto crítico é (0, 0). Agora, para determinar se é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela, podemos usar o teste da matriz Hessiana. Calculamos as segundas derivadas parciais: ∂²f/∂x² = 6x ∂²f/∂y² = 6y ∂²f/∂x∂y = 9 A matriz Hessiana é: H = | ∂²f/∂x² ∂²f/∂x∂y | | ∂²f/∂x∂y ∂²f/∂y² | Substituindo os valores de x e y no ponto crítico (0, 0), temos: H = | 6(0) 9 | | 9 6(0) | H = | 0 9 | | 9 0 | Calculando o determinante da matriz Hessiana, temos: det(H) = (0)(0) - (9)(9) = -81 Como o determinante é negativo e a segunda derivada parcial em relação a x é zero, temos um ponto de sela no ponto crítico (0, 0). Portanto, o ponto crítico (0, 0) é um ponto de sela.