22. Sea f el endomorfismo de M2(R) tal que f (( 1 0 0 0 )) = ( 0 1 1 1 ) , f (( 0 1 0 0 )) = ( 0 1 −1 1 ) , 155 f (( 0 0 1 0 )) = ( 0 1 −1 1 ) , f...

22. Sea f el endomorfismo de M2(R) tal que
f
((
1 0
0 0
))
=
(
0 1
1 1
)
,
f
((
0 1
0 0
))
=
(
0 1
−1 1
)
, 155
f
((
0 0
1 0
))
=
(
0 1
−1 1
)
,
f
((
0 0
0 1
))
=
(
0 1
−1 1
)
.
Estudiar si f diagonaliza.
Solución:
Escojamos a e1 =
(
1 0
0 0
)
, e2 =
(
0 1
0 0
)
, e3 =
(
0 0
1 0
)
, e4 =
(
0 0
0 1
)
como base y
escribamos la matriz de f en dicha base
A =

0 0 0 0
1 1 1 1
1 −1 −1 −1
1 1 1 1

det(A− tI) = t3(1− t).
Los valores propios son 0 de multiplicidad 3 y 1.
Puesto que rangoA = 2, dim KerA = 4− 2 = 2 6= 3. Por lo tanto el endomorfismo
no diagonaliza.