2. Consideremos los subconjuntos de R3[t] siguientes: i) F1 = {P (t) |P (0) = P (1)}. ii) F2 = {P (t) |P (0) = P (−1)}. iii) F3 = {P (t) |P (−1) = ...

Para determinar se cada um dos conjuntos Fi é um subespaço vetorial, precisamos verificar se eles satisfazem as três condições básicas: 1) O vetor nulo está contido no conjunto. 2) O conjunto é fechado em relação à adição de vetores. 3) O conjunto é fechado em relação à multiplicação por um escalar. Vamos analisar cada um dos conjuntos: i) F1 = {P(t) | P(0) = P(1)} Para verificar se F1 é um subespaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições mencionadas acima. 1) O vetor nulo está contido em F1? Sim, o polinômio nulo P(t) = 0 satisfaz a condição P(0) = P(1), portanto, o vetor nulo está em F1. 2) O conjunto é fechado em relação à adição de vetores? Se P1(t) e P2(t) estão em F1, isso significa que P1(0) = P1(1) e P2(0) = P2(1). Agora, vamos verificar se a soma P1(t) + P2(t) também está em F1: (P1 + P2)(0) = P1(0) + P2(0) = P1(1) + P2(1) = (P1 + P2)(1) Portanto, F1 é fechado em relação à adição de vetores. 3) O conjunto é fechado em relação à multiplicação por um escalar? Se P(t) está em F1, isso significa que P(0) = P(1). Agora, vamos verificar se o polinômio kP(t) também está em F1, onde k é um escalar qualquer: (kP)(0) = kP(0) = kP(1) = (kP)(1) Portanto, F1 é fechado em relação à multiplicação por um escalar. Portanto, podemos concluir que F1 é um subespaço vetorial. Você pode aplicar o mesmo raciocínio para analisar os conjuntos F2, F3 e F4 e verificar se eles também são subespaços vetoriais.