14. Sea f el endomorfismo de R[t] definido por f(p(t)) = tp′′(t) + t2p′′′(t) a) Probar que R3[t] = {p(t) ∈ R[t] | gr p ≤ 3} es un subespacio invari...

14. Sea f el endomorfismo de R[t] definido por
f(p(t)) = tp′′(t) + t2p′′′(t)
a) Probar que R3[t] = {p(t) ∈ R[t] | gr p ≤ 3} es un subespacio invariante por f .
b) Encontrar la matriz de f|R3[t] en la base (1, t, t
2, t3) de R3[t].
c) Estudiar la diagonalización del endomorfismo anterior.
Solución:
a) Sea p(t) = aa + a1t+ a2t
2 + a3t
3 ∈ R3[t], miremos si f(p(t)) ∈ R3[t]
p′(t) = a1 + 2a2t+ 3a3t
2
p′′(t) = 2a2 + 6a3t
p′′′(t) = 6a3
Por lo tanto f(p(t)) = 2a2t + 6a3t
2 + 6a3t
2 = 2a2t + 12a3t
2 ∈ R3[t] y el subespacio
es invariante.
Podemos restringir pues la aplicación a este subespacio que es de dimensión finita.
b) Escribamos la matriz de la aplicación restricción en esta base mios de grado menor o igual a 1 son del núcleo de la aplicación, son pues
los únicos vectores propios (de valor propio cero) del endomorfismo.