7. Determinar la dimensión y una base de los subespacios vectoriales de E = R4[t]: a) F1 = {p(t) ∈ E | p′(0) = 0} b) F2 = {p(t) ∈ E | p(0) = p′(0)...

Para determinar a dimensão e uma base dos subespaços vetoriais F1, F2, F3 e F4, vamos analisar cada um deles separadamente: a) F1 = {p(t) ∈ E | p′(0) = 0} Nesse caso, estamos procurando polinômios cuja derivada em t=0 seja igual a zero. Isso significa que o termo constante do polinômio deve ser zero. Portanto, a dimensão de F1 é 3 e uma base possível seria {t, t^2, t^3}. b) F2 = {p(t) ∈ E | p(0) = p′(0)− p′(1) = 0} Aqui, estamos procurando polinômios cujo valor em t=0 seja igual à diferença entre a derivada em t=0 e a derivada em t=1. Isso implica que o termo constante do polinômio deve ser igual à diferença entre as derivadas em t=0 e t=1. Portanto, a dimensão de F2 é 2 e uma base possível seria {1, t-t^2}. c) F3 = {p(t) ∈ E | p(t) = p(0) + p′(0)t+ p′′(0)t^2} Nesse caso, estamos procurando polinômios que podem ser escritos como uma combinação linear do termo constante, da derivada em t=0 e da segunda derivada em t=0. Portanto, a dimensão de F3 é 3 e uma base possível seria {1, t, t^2}. d) F4 = {p(t) ∈ E | p(t) = p(1) + p′(0)t+ p(0)t^2 + p(0)t^3} Aqui, estamos procurando polinômios que podem ser escritos como uma combinação linear do valor em t=1, da derivada em t=0, do termo constante multiplicado por t^2 e do termo constante multiplicado por t^3. Portanto, a dimensão de F4 é 4 e uma base possível seria {1, t, t^2, t^3}. Espero que isso ajude! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.