27. Siendo E el espacio vectorial del ejercicio anterior, determinar la dimensión y una base del subespacio vectorial F formado por los vectores (...

Para determinar a dimensão e uma base do subespaço vetorial F formado pelos vetores (x1, x2, x3, x4) que satisfazem as equações x1 + 2x2 = 3x3 + 4x4 = 0, podemos utilizar o método da eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada reduzida da matriz ampliada do sistema de equações. A matriz ampliada do sistema é: [1 2 0 0 | 0] [0 0 3 4 | 0] Aplicando as operações elementares de linha, podemos obter a forma escalonada reduzida: [1 2 0 0 | 0] [0 0 1 4/3 | 0] A partir da forma escalonada reduzida, podemos observar que as variáveis x1 e x3 são variáveis livres, enquanto x2 e x4 são variáveis dependentes. Portanto, a dimensão do subespaço F é 2. Uma base para o subespaço F pode ser obtida atribuindo valores arbitrários para as variáveis livres e resolvendo o sistema de equações. Por exemplo, podemos atribuir x1 = 1 e x3 = 0, o que resulta em x2 = -1 e x4 = 0. Portanto, um vetor da base é (1, -1, 0, 0). Atribuindo x1 = 0 e x3 = 1, obtemos x2 = 0 e x4 = -4/3. Portanto, outro vetor da base é (0, 0, 1, -4/3). Todos os vetores do subespaço F podem ser escritos como combinações lineares desses vetores da base.