24. Calcular la dimensión de los subespacios vectoriales de M3(R) siguientes: F1 = {A ∈M3(R) | A+ At = 0} F2 = {A ∈M3(R) | trA = 0} F3 = {A = (a...

Para calcular a dimensão dos subespaços vetoriais F1, F2 e F3 em M3(R), vamos analisar cada um deles separadamente: F1 = {A ∈ M3(R) | A + At = 0} Para que uma matriz A pertença a F1, ela deve ser uma matriz simétrica, pois a soma dela com sua transposta resulta em uma matriz nula. A dimensão de F1 é igual à dimensão do espaço das matrizes simétricas em M3(R), que é 6. F2 = {A ∈ M3(R) | trA = 0} Nesse caso, a condição é que a matriz A tenha traço igual a zero. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Podemos observar que a dimensão de F2 é igual a 8, pois existem 8 elementos independentes em uma matriz 3x3 e a condição de traço zero não restringe nenhum desses elementos. F3 = {A = (a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33) ∈ M3(R) | a12 + 2a13 = 2a22 + 3a33 = 0} Nesse caso, temos duas equações lineares que devem ser satisfeitas pelos elementos da matriz A. Podemos reescrever essas equações como: a12 + 2a13 = 0 2a22 + 3a33 = 0 Essas equações representam restrições sobre os elementos da matriz A. Podemos observar que a dimensão de F3 é igual a 7, pois existem 9 elementos independentes em uma matriz 3x3, mas as duas equações lineares restringem 2 desses elementos. Portanto, a dimensão dos subespaços vetoriais F1, F2 e F3 em M3(R) é, respectivamente, 6, 8 e 7.