Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K de dimensión n, y sea f ∈ End(E). Probar que los subespacios vectoriales Ker f y Im f son...

Los subespacios vectoriales Ker f e Im f son invariantes por el endomorfismo f. Para demostrar esto, debemos mostrar que si v pertenece a Ker f, entonces f(v) también pertenece a Ker f, y si w pertenece a Im f, entonces f(w) también pertenece a Im f. Si v pertenece a Ker f, esto significa que f(v) = 0, ya que v es un vector en el núcleo de f. Ahora, si aplicamos f a f(v), obtenemos f(f(v)) = f(0) = 0. Por lo tanto, f(v) también pertenece a Ker f, lo que demuestra que Ker f es invariante por f. Por otro lado, si w pertenece a Im f, esto significa que w = f(u) para algún vector u en E. Ahora, si aplicamos f a w, obtenemos f(w) = f(f(u)) = f^2(u), donde f^2 representa la composición de f consigo mismo. Como f es un endomorfismo, f^2 también es un endomorfismo en E. Por lo tanto, f(w) pertenece a Im f, lo que demuestra que Im f es invariante por f. En resumen, los subespacios vectoriales Ker f e Im f son invariantes por el endomorfismo f.