15. Una matriz simétrica de tamaño 3×3 tiene tres autovalores distintos a, b y c. Si (2,−1, 3) y (−1, x, 2) son autovectores asociados a los auto...

15. Una matriz simétrica de tamaño 3×3 tiene tres autovalores distintos a, b y c. Si (2,−1, 3) y (−1, x, 2) son autovectores asociados a los autovalores a y b, respectivamente, halla el valor de x y halla un autovector asociado a c.

Solución: Como A es simétrica, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales. Por tanto se tiene 0 = (2,−1, 3) · (−1, x, 2) = −2− x+ 6, de donde x = 4. Un autovector de c debe ser ortogonal a los dos anteriores y por tanto sirve su producto vectorial (2,−1, 3)× (−1, 4, 2) = (−14,−7, 7) o cualquier múltiplo suyo, por ejemplo (2, 1,−1).

Álgebra Vetorial e Geometria Analítica

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Colégio Objetivo

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Estudando com Questões

30/06/2023

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Álgebra Vetorial e Geometria Analítica • ExatasExatas

Eusebio Valdez

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Ed

25.09.2023

Para encontrar o valor de x, podemos usar a propriedade de que os autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica são ortogonais. Portanto, podemos calcular o produto escalar entre os autovetores (2, -1, 3) e (-1, x, 2) e igualá-lo a zero: (2, -1, 3) · (-1, x, 2) = -2 - x + 6 = 0 Resolvendo essa equação, temos: -2 - x + 6 = 0 4 - x = 0 x = 4 Portanto, o valor de x é 4. Para encontrar um autovetor associado ao autovalor c, precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal aos dois autovetores anteriores. Podemos fazer isso calculando o produto vetorial entre eles: (2, -1, 3) × (-1, 4, 2) = (-14, -7, 7) Portanto, um autovetor associado ao autovalor c pode ser (-14, -7, 7) ou qualquer múltiplo dele, por exemplo, (2, 1, -1).

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