2 AUTOVALORES Y AUTOVECTORES; DIAGONALIZACIÓN 16. Sea A una matriz 3 × 3 diagonalizable con autovalores 1 (simple) y −1 (doble). Demuestra que A2 ...
16. Sea A una matriz 3 × 3 diagonalizable con autovalores 1 (simple) y −1 (doble). Demuestra que A2 = I3 (la matriz identidad 3× 3).
Solución: Aparece una potencia de una matriz diagonalizable, por lo que es natural pensar en los argumentos del apartado sobre potencias de matrices en el tema de diagonalización. Como es diagonalizable, existen matrices del mismo tamaño P (invertible) y D (diagonal) tales que AP = PD, o sea A = PDP−1, y sabemos que A2 = PD2P−1. Pero las entradas en la diagonal de D son los autovalores repetidos según su multiplicidad, o sea D = diag(1,−1,−1) (o los mismos tres números en otro orden), y por tanto D2 = I3. Entonces A2 = PI3P−1 = PP−1 = I3.
17. Sea A una matriz 3×3 diagonalizable con autovalores 1 (doble) y 0 (simple). Demuestra que A2 = A.
Solución: Aparece una potencia de una matriz diagonalizable, por lo que es natural pensar en los argumentos del apartado sobre potencias de matrices en el tema de diagonalización. Como es diagonalizable, existen matrices del mismo tamaño P (invertible) y D (diagonal) tales que AP = PD, o sea A = PDP−1, y sabemos que A2 = PD2P−1. Pero las entradas en la diagonal de D son los autovalores repetidos según su multiplicidad, o sea D = diag(1, 1, 0) (o los mismos tres números en otro orden), y por tanto D2 = D. Entonces A2 = PDP−1 = A.
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Ed 
Para a primeira matriz, temos que A é diagonalizável com autovalores 1 (simples) e -1 (duplo). Queremos mostrar que A^2 = I3 (a matriz identidade 3x3). Sabemos que A é diagonalizável, então existem matrizes do mesmo tamanho P (invertível) e D (diagonal) tal que AP = PD, ou seja, A = PDP^(-1). E sabemos que A^2 = PD^2P^(-1). As entradas na diagonal de D são os autovalores repetidos de acordo com sua multiplicidade, ou seja, D = diag(1, -1, -1) (ou os mesmos três números em outra ordem), e portanto D^2 = I3. Então A^2 = PD^2P^(-1) = PI3P^(-1) = PP^(-1) = I3. Portanto, demonstramos que A^2 = I3. Para a segunda matriz, temos que A é diagonalizável com autovalores 1 (duplo) e 0 (simples). Queremos mostrar que A^2 = A. Da mesma forma que no caso anterior, temos que A = PDP^(-1), onde D = diag(1, 1, 0) (ou os mesmos três números em outra ordem). Nesse caso, D^2 = D. Então A^2 = PDP^(-1) = A. Portanto, demonstramos que A^2 = A.
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