onde a 6= 0, y sus rectas tangentes por los puntos de abscisas x = 1 y x = −1. Comprueba que esas rectas no son paralelas y se cortan en el punto d...

onde a 6= 0, y sus rectas tangentes por los puntos de abscisas x = 1 y x = −1. Comprueba que esas rectas no son paralelas y se cortan en el punto de abscisa x = 1/a. Solución: Poniendo f(x) = x3 + ax2 + x+ 1 se tiene f(1) = a+ 3 y f(−1) = a− 1. También se tiene f ′(x) = 3x2 + 2ax+ 1, luego las pendientes de las tangentes por esos puntos son f ′(1) = 4 + 2a y f ′(−1) = 4− 2a. Como son valores distintos (pues igualando se obtendŕıa 4a = 0 y por tanto a = 0, en contra de la hipótesis), las rectas tangentes no son paralelas. Para x = 1, la recta tangente es y = y(1)+y′(1)(x−1) = a+3+(4+2a)(x−1) = (4+2a)x−(a+1). Para x = −1, la recta tangente es y = y(−1) + y′(−1)(x + 1) = a − 1 + (4 − 2a)(x + 1) = (4− 2a)x+ (3− a). El corte entre ambas se produce cuando ambas expresiones son iguales, aśı que igualemos y resol- vemos: (4 + 2a)x− (a+ 1) = (4− 2a)x+ (3− a) ⇔ 4ax = 4 ⇔ x = 1/a