Calcula el valor del límite lím x→0 2x− sen(2x) x cosh(x)− x . Si empleas equivalencias o la regla de l’Hôpital, indica por qué puedes hacerlo.

Para calcular o valor do limite, podemos usar a regra de L'Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos aplicar essa regra: lim(x→0) [2x - sen(2x)] / [x cosh(x) - x] Derivando o numerador e o denominador, temos: lim(x→0) [2 - 2cos(2x)] / [cosh(x) - 1] Agora, substituímos x por 0 na expressão derivada: [2 - 2cos(0)] / [cosh(0) - 1] [2 - 2] / [1 - 1] 0/0 Obtemos uma forma indeterminada 0/0. Nesse caso, podemos aplicar novamente a regra de L'Hôpital, derivando novamente o numerador e o denominador: lim(x→0) [-4sen(2x)] / [senh(x)] Agora, substituímos x por 0 novamente: [-4sen(0)] / [senh(0)] [0] / [0] 0/0 Mais uma vez, temos uma forma indeterminada 0/0. Podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente: lim(x→0) [-8cos(2x)] / [cosh(x)] Substituindo x por 0: [-8cos(0)] / [cosh(0)] [-8] / [1] -8 Portanto, o valor do limite é -8.