Para f(x) = 1/(1 + √x), se pide: a) Determina su dominio. b) Calcula f ′(1). c) Calcula una primitiva de f(x). d) Deriva el resultado anterior para...

a) Para determinar o domínio da função f(x) = 1/(1 + √x), devemos observar que a raiz quadrada (√x) só está definida para valores de x maiores ou iguais a zero. Além disso, o denominador da função não pode ser igual a zero. Portanto, o domínio da função é dado por x ≥ 0. b) Para calcular f'(1), precisamos derivar a função f(x) em relação a x e, em seguida, substituir x por 1. Vamos fazer isso passo a passo: f(x) = 1/(1 + √x) Aplicando a regra do quociente, temos: f'(x) = [0 - (1/2√x)] / (1 + √x)^2 Agora, substituindo x por 1: f'(1) = [0 - (1/2√1)] / (1 + √1)^2 = -1/2 Portanto, f'(1) = -1/2. c) Para calcular uma primitiva de f(x), vamos integrar a função em relação a x. Vamos fazer isso passo a passo: ∫ f(x) dx = ∫ (1/(1 + √x)) dx Fazendo a substituição u = √x, temos du = (1/2√x) dx. Portanto: ∫ f(x) dx = ∫ (1/(1 + √x)) dx = ∫ (1/(1 + u)) (2u) du = 2 ∫ du = 2u + C = 2√x + C Portanto, uma primitiva de f(x) é F(x) = 2√x + C, onde C é uma constante. d) Para derivar o resultado anterior e verificar se está correto, vamos derivar a função F(x) = 2√x + C em relação a x: F'(x) = (2/2√x) = 1/√x Portanto, a derivada de F(x) é f(x) = 1/√x, que é igual à função original f(x). e) Para calcular a área encerrada entre a gráfica de y = f(x), os eixos de coordenadas e a reta x = 4, podemos dividir a área em duas partes: a área entre a gráfica de y = f(x) e o eixo x de 0 a 4, e a área entre a gráfica de y = f(x) e a reta x = 4. A primeira área pode ser calculada pela integral definida: ∫[0,4] f(x) dx = ∫[0,4] (1/(1 + √x)) dx Podemos calcular essa integral usando técnicas de integração ou por meio de uma tabela de integrais. A segunda área é um triângulo retângulo com base 4 e altura f(4) = 1/(1 + √4). Portanto, a área total é a soma dessas duas áreas.